金融分析期權(quán)評(píng)價(jià)的二項(xiàng)式模型(已修改)
2025-08-31 15:39 本頁面
【正文】 7 期權(quán)評(píng)價(jià)的二項(xiàng)式模型 標(biāo)的資產(chǎn)（股票）價(jià)格的運(yùn)動(dòng)服從 二項(xiàng)式模型 (binomial model) 1979年，科克斯（ Cox）、羅斯（ Ross)和盧賓 斯坦（ Rubinsetein）的論文 《 期權(quán)定價(jià)：一種簡(jiǎn)化方法 》提出了二項(xiàng)式模型（ Binomial Model），該模型建立了期權(quán)定價(jià)數(shù)值法的基礎(chǔ)，解決了美式期權(quán)定價(jià)的問題。 二項(xiàng)式模型的假設(shè)主要有： 不支付股票紅利。 交易成本與稅收為零。 投資者可以以無風(fēng)險(xiǎn)利率拆入或拆出資金。 市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)。 一期模型的歐式看漲期權(quán)評(píng)價(jià) ? 股票的價(jià)格運(yùn)動(dòng)為 二項(xiàng)式 的，就是說在下一期的股價(jià)只有兩種可能的狀態(tài)：上升或下降，而且 S可能上升到 uS的概率為 ?，下降到 dS的概率為（ 1 ?）。 (其中 u 1+rf d 0。易于證明如果這個(gè)不等式成立。就存在套利的機(jī)會(huì) ) 。 S ? ? 1? 1? c uS dS ]0,m a x [ XuSc u ??]0,m a x [ XdSc d ?? t = 0 t = 1 t = 0 t = 1 圖 圖 S的運(yùn)動(dòng)如圖 call的價(jià)值運(yùn)動(dòng)如圖 現(xiàn)在 (t = 0)為了得到這個(gè)期權(quán)應(yīng)該付出多少錢？ ? 構(gòu)造一個(gè)投資組合：買一份股票和出售 m份期權(quán)，其中 m待定。該投資組合在 t = 0 的總投資為（ S – mc），在期權(quán)到期日 t =1，它以概率 ?取值 ，以概率 1?取值 ，如 圖 。 umcuS ?dmcdS ?Smc ? 1? t = 0 t = 1 圖 umcuS ?dmcdS ?? 選擇 m使得這個(gè)投資組合在 t =1的兩種狀態(tài)下取值相等（無風(fēng)險(xiǎn)），即： du mcdSmcuS ???du ccduSm???? )( （ ） ? 當(dāng) m按 ()式選取時(shí)，這個(gè)投資組合變成無風(fēng)險(xiǎn)組合， m稱為 對(duì)沖比 （ hedge ratio）。 ? 為了不存在套利機(jī)會(huì)，這個(gè)投資組合的期初投資(S – mc)在 t = 1的價(jià)值必須等于 (1+rf)(S – mc)（ 獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益 ），即 : duf mcdSmcuSmcSr ?????? ))(1()1(])1[(fufrmmcurSc?????（ ） ()式可改寫為： 則 ()可記為： ? ? ? ?)(1111???????????????????????????durucdudrcrc fdfuf)(])1([11dufcqqcrc ????令 ,)1( du drq f? ??? )()1(1duruq f?????? 0 q 1及 q + (1–q) =1，從而可把 (q， 1– q)看作一個(gè)概率分布，稱它為風(fēng)險(xiǎn)中性 (risk neutral)概率或?qū)_概率（ hedging probability），這樣， 可看作在風(fēng)險(xiǎn)中性概率下計(jì)算的 call在 t = 1的數(shù)學(xué)期望，從而 ()可寫為
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