金融分析期權評價的二項式模型(已修改)
2025-08-31 15:39 本頁面
【正文】 7 期權評價的二項式模型 標的資產（股票）價格的運動服從 二項式模型 (binomial model) 1979年，科克斯（ Cox）、羅斯（ Ross)和盧賓 斯坦（ Rubinsetein）的論文 《 期權定價：一種簡化方法 》提出了二項式模型（ Binomial Model），該模型建立了期權定價數(shù)值法的基礎，解決了美式期權定價的問題。 二項式模型的假設主要有： 不支付股票紅利。 交易成本與稅收為零。 投資者可以以無風險利率拆入或拆出資金。 市場無風險利率為常數(shù)。 一期模型的歐式看漲期權評價 ? 股票的價格運動為 二項式 的，就是說在下一期的股價只有兩種可能的狀態(tài)：上升或下降，而且 S可能上升到 uS的概率為 ?，下降到 dS的概率為（ 1 ?）。 (其中 u 1+rf d 0。易于證明如果這個不等式成立。就存在套利的機會 ) 。 S ? ? 1? 1? c uS dS ]0,m a x [ XuSc u ??]0,m a x [ XdSc d ?? t = 0 t = 1 t = 0 t = 1 圖 圖 S的運動如圖 call的價值運動如圖 現(xiàn)在 (t = 0)為了得到這個期權應該付出多少錢？ ? 構造一個投資組合：買一份股票和出售 m份期權，其中 m待定。該投資組合在 t = 0 的總投資為（ S – mc），在期權到期日 t =1，它以概率 ?取值 ，以概率 1?取值 ，如 圖 。 umcuS ?dmcdS ?Smc ? 1? t = 0 t = 1 圖 umcuS ?dmcdS ?? 選擇 m使得這個投資組合在 t =1的兩種狀態(tài)下取值相等（無風險），即： du mcdSmcuS ???du ccduSm???? )( （ ） ? 當 m按 ()式選取時，這個投資組合變成無風險組合， m稱為 對沖比 （ hedge ratio）。 ? 為了不存在套利機會，這個投資組合的期初投資(S – mc)在 t = 1的價值必須等于 (1+rf)(S – mc)（ 獲得無風險收益 ），即 : duf mcdSmcuSmcSr ?????? ))(1()1(])1[(fufrmmcurSc?????（ ） ()式可改寫為： 則 ()可記為： ? ? ? ?)(1111???????????????????????????durucdudrcrc fdfuf)(])1([11dufcqqcrc ????令 ,)1( du drq f? ??? )()1(1duruq f?????? 0 q 1及 q + (1–q) =1，從而可把 (q， 1– q)看作一個概率分布，稱它為風險中性 (risk neutral)概率或對沖概率（ hedging probability），這樣， 可看作在風險中性概率下計算的 call在 t = 1的數(shù)學期望，從而 ()可寫為
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