可拓集合及其應(yīng)用研究-經(jīng)營管理(已修改)
2025-08-26 13:42 本頁面
【正文】 可拓集合及其應(yīng)用研究 楊春燕，張擁軍，蔡文 （廣東工業(yè)大學(xué)可拓工程研究所 , 廣東 廣州 510080 ） 摘要 ： 文章介紹了擴(kuò)展的可拓集合概念，提出了可拓集合論需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容，并綜述了可拓集合在人工智能、市場、資源、檢測和控制等領(lǐng)域的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 ： 可拓集合；關(guān)聯(lián)函數(shù)；可拓變換；可拓不等式 1 1 引 言 集合是描述人腦思維對客觀事物的識別與分類的數(shù)學(xué)方法?？陀^事物是復(fù)雜的，處于不斷運(yùn)動(dòng)和變化之中，因此，人腦思維對客觀事物的識別和分類并不只有一個(gè)模式，而是多種形式的，從而描述這種識別和 分類的集合也不應(yīng)是唯一的，而應(yīng)是多樣的 。 數(shù)學(xué)中的矛盾方程、矛盾不等式所描述的問題原形，實(shí)際上很多是有解的，認(rèn)為“無解”的原因，在很多情況下，是因?yàn)橹豢紤]數(shù)量關(guān)系而沒有把事物和特征引入數(shù)學(xué)。例如“曹沖稱象”問題，只考慮數(shù)量關(guān)系是無法解決的，即是矛盾問題，但事實(shí)上它是有解的。為此，有必要把解決矛盾問題的過程形式化，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具使之定量化。 1983 年，文 [1]提出了可拓集合及其可拓域、穩(wěn)定域、零界等概念，用它們來描述“是”與“非”的相互轉(zhuǎn)化，從而能定量地表述事物的質(zhì)變和量變的過程，而零界概念則描述了事物 “既是又非”的質(zhì)變點(diǎn)。這些為矛盾問題的解決提供了合適的數(shù)學(xué)工具。 文獻(xiàn) [13]中用一元組建立了可拓集合的初步定義， 文獻(xiàn) [4]引進(jìn)了變換 T ，用二元組來規(guī)定可拓集合，并定義了可拓集合的 正域、負(fù)域、零界、可拓域、穩(wěn)定域等，但由于它用兩個(gè)定義共同來描述元素的可變性及量變和質(zhì)變的過程，因而難以從可拓集合直接反映出“是”與“非”相互轉(zhuǎn)化的形式化描述，在此定義中涉及到的變換 T只是對元素的變換。文獻(xiàn) [58]又將變換 T 擴(kuò)展為對關(guān)聯(lián)函數(shù)或?qū)φ撚虻淖儞Q。 為了概括十多年來對可拓集合研究的成果，使可拓集合的定義能直接描述元素 性質(zhì)的可變性和量變、質(zhì)變的過程，我們用三元組（ u, y, y’）和可拓變換 T=(TU , Tk , Tu)來規(guī)定可拓集合。本文首先介紹擴(kuò)展的可拓集合概念，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行討論。 2 2 擴(kuò)展的可拓集合概念 [9] 可拓集合的基本概念 —— 關(guān)于元素變換的可拓集合 定義 1 設(shè) U 為論域， k 是 U 到實(shí)域 I 的一個(gè)映射， T 為給定的對元素的變換，稱 A~ (T)={ (u, y, y’)∣ u∈ U, y=k(u)∈ I, y’=k(Tu)∈ I } 為論域 U上關(guān)于元素變換的一個(gè)可拓集合， y=k(u)為 A~ (T )的關(guān)聯(lián)函數(shù)， y’=k(Tu)為 A~ (T ) 關(guān)于變換 T 的關(guān) 聯(lián)函數(shù)，稱為可拓函數(shù)。 （ 1） （ 1） 當(dāng) T=e（ e為幺變換） 時(shí)，記 A~ (e)=A~ ={ (u, y)∣ u∈ U, y=k(u)∈ I }[3] ，稱 A={ (u, y)∣ u∈ U, y=k(u)≥ 0 } 為 A~ 的正域； A ={ (u, y)∣ u∈ U, y=k(u)≤ 0 } 為 A~ 的負(fù)域； J0={ (u, y)∣ u∈ U, y=k(u)= 0 } 為 A~ 的零界。 （ 2） （ 2） 當(dāng) T≠ e 時(shí)，稱 ?A +(T )= { (u, y, y’)∣ u∈ U, y=k(u)≤ 0 , y’=k(Tu)≥ 0}為 A~ (T )的正可拓域； ?A (T )= { (u, y, y’)∣ u∈ U, y=k(u)≥ 0 , y’=k(Tu)≤ 0 }為 A~ (T )的負(fù)可拓域； A+(T )= { (u, y, y’)∣ u∈ U, y=k(u)≥ 0 , y’=k(Tu)≥ 0}為 A~ (T )的正穩(wěn)定域； A(T )= { (u, y, y’)∣ u∈ U, y=k(u)≤ 0 , y’=k(Tu)≤ 0}為 A~ (T )的負(fù)穩(wěn)定域； J0(T )= { (u, y, y’)∣ u∈ U, y’=k(Tu) =0}為 A~ (T )的拓界。 可拓集合的一般概念 定義 1 是關(guān)于元素變換的可拓集合。定義 1 中假定論域 U 和關(guān)聯(lián)準(zhǔn)則 k 都是固定的，但在實(shí)際問題中， U 和 k也是可以改變的。為了體現(xiàn)這兩種變換下的可拓集合，我們給出如下的一般定義。 定義 2 設(shè) U 為論域 ， k 是 U 到實(shí)域 I 的一個(gè)映射， T=(TU ,Tk, Tu)為給定的變換，稱 A~ (T )={ (u, y, y’)∣ u∈ TUU, y=k(u)∈ I, y’= Tk k(Tu u)∈ I } 為論域 TUU 上的一個(gè)可拓集合， y=k(u)為 A~ (T)的關(guān)聯(lián)函數(shù)， y’= Tk k(Tu u)為 A~ (T)的可拓函數(shù)。其中 TU 、 Tk 、 Tu分別為對論域 U、 關(guān)聯(lián)函數(shù) k(u) 和元素 u的變換。這里規(guī)定：當(dāng) u∈ TUUU時(shí)， y=k(u)0。 （ 1） （ 1） 當(dāng) TU=e , Tk=e , Tu=e 時(shí)， A~ (T)=A~ ， 即定義 1 的（ 1）。 （ 2） （ 2） 當(dāng) TU=e , Tk=e 時(shí)， TUU=U， Tk k=k, A~ (T)=A~ (Tu)，此可拓集合為關(guān)于元素 u 變換的可拓集合， 即定義 1 的（ 2）。 （ 3） （ 3） 當(dāng) TU=e , Tu=e 時(shí)， TUU=U， Tu u=u A~ (T )=A~ (Tk)={ (u, y, y’)∣ u∈ U, y=k(u)∈ I, y’= Tk k(u)∈ I }, 此可拓集合為關(guān)于關(guān)聯(lián)函數(shù) k(u) 變換的可拓集合，它同樣有可拓域、穩(wěn)定域和拓界。 （ 4） 當(dāng) Tu=e 且 TUU﹣ U≠ Ф 時(shí)， Tu u=u , k(u) , u∈ U∩ TUU Tk k(u) =k’(u)=
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