【正文】 （三）教學(xué)目標(biāo)1. 熟悉雞兔同籠的“砍足法”和“假設(shè)法”.2. 利用雞兔同籠的方法解決一些實(shí)際問題，需要把多個(gè)對象進(jìn)行恰當(dāng)組合以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)對象．知識精講一、雞兔同籠這個(gè)問題，是我國古代著名趣題之一．大約在年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題．書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有個(gè)頭；從下面數(shù)，有只腳．求籠中各有幾只雞和兔？ 你會解答這個(gè)問題嗎？你想知道《孫子算經(jīng)》中是如何解答這個(gè)問題的嗎？ 二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”．這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多．因此，腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即（只）．顯然，雞的只數(shù)就是（只）了。這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已．除此之外，“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設(shè)法”．假設(shè)法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設(shè)法能做到，假設(shè)里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到．解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有：雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)雞兔總數(shù)實(shí)際腳數(shù)）247。（每只兔子腳數(shù)每只雞的腳數(shù)）　　 兔數(shù)=雞兔總數(shù)雞數(shù)如果假設(shè)全是雞，那么就有：兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)）247。（每只兔子腳數(shù)每只雞的腳數(shù)）　 　 雞數(shù)=雞兔總數(shù)兔數(shù)當(dāng)頭數(shù)一樣時(shí)，腳的關(guān)系：兔子是雞的2倍當(dāng)腳數(shù)一樣時(shí)，頭的關(guān)系：雞是兔子的2倍在學(xué)習(xí)的過程中，注重假設(shè)法的運(yùn)用，滲透假設(shè)法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程，方程等專題中也都會接觸到假設(shè)法例題精講模塊一、多個(gè)量的“雞兔同籠”——雞兔同籠問題【例 1】 有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對(蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀)，求蜻蜓有多少只？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 ，蜻蜓、蟬都是6條腿，可先從腿數(shù)入手，則總腿數(shù)為(條)，所差(條)，應(yīng)有(只)(只)，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)(對)，比實(shí)際數(shù)少 (對)，這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計(jì)算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求(只).【答案】只【鞏固】 希望小學(xué)的生物標(biāo)本室里有蜻蜓，蟬，蜘蛛共11只，它們共有74條腿，10對翅膀，由圖7知該標(biāo)本室里有 只蜘蛛。圖7【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試，假設(shè)思想方法【解析】 這個(gè)題目就是有三種動物的雞兔同籠問題，需先轉(zhuǎn)化成兩種動物。蜻蜓與蟬有共同的特征，所以我們可以先把它們看成一種動物，取名叫蜻蟬。用假設(shè)法知：如果這11只全是蜻蟬，則應(yīng)長腿：（只），比實(shí)際少了：（只），用一只蜘蛛去換一只蜻蟬，則就多2只，要多8只則需要蜘蛛（只）?！敬鸢浮恐弧眷柟獭?犀牛、羚羊、孔雀三種動物共有頭26個(gè)，腳80只，犄角20只．已知犀牛有4只腳、1只犄角，羚羊有4只腳，2只犄角，孔雀有2只腳，沒有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有幾只呢？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 這道題有三種不同的動物混合在一起，這樣假設(shè)起來會比較麻煩，像前面的題一樣，我們可以觀察一下：雖然有三種不同的動物，但是犀牛和羚羊都是4只腳，這樣，只看腳數(shù)，就可以把孔雀與這兩種動物分開，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“雞兔同籠”問題，然后再通過犄角的不同，把犀牛和羚羊分開，也就是說我們需要做兩次“雞兔同籠”．假設(shè)26只都是孔雀，那么就有腳：（只），比實(shí)際的少：（只），這說明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀?；蛄缪?，減少一只孔雀，就會增加腳數(shù)：（只）．所以，孔雀有（只），犀牛和羚羊總共有（只）．假設(shè)14只都是犀牛，那么就有犄角：（只），比實(shí)際的少：（只），這說明犀牛多了羚羊少了，需要減少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，減少一只犀牛，犄角數(shù)就會增加：（只），所以，羚羊的只數(shù)：（只），犀牛的只數(shù)：（只）．［小結(jié)］這道題出現(xiàn)了三種動物，關(guān)鍵是尋找不同動物的相同點(diǎn)，把三種動物化為兩類，先使用“雞兔同籠”問題的解法把另外特殊的一種區(qū)分出來，再使用另外條件區(qū)分具有相同點(diǎn)的動物．【答案】犀牛只，羚羊只，孔雀只模塊二、多個(gè)量的“雞兔同籠”——變例【例 2】 食品店上午賣出每千克為20元、25元、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，則每千克20元的收入：元，所以賣出：千克，所以賣出每千克25元和每千克30克的糖果共千克，相當(dāng)于將題目轉(zhuǎn)換成：賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問：每千克25元的糖果售出了多少千克？轉(zhuǎn)換成了最基本的雞兔同籠問題．假設(shè)全是每千克元的，（千克），所以30元的是千克，所以元的有：（千克）關(guān)鍵：將三種以及更多的動物/東西，轉(zhuǎn)化為兩種最基本模型。即：抓住轉(zhuǎn)化后的“頭”與“腳”?！敬鸢浮壳Э恕眷柟獭?年春，我國南方遭受到重大雪災(zāi)，實(shí)驗(yàn)小學(xué)三年級一班的名同學(xué)給南方的災(zāi)區(qū)捐款元。其中有名同學(xué)每人捐元，其他同學(xué)捐元或元，則捐元的有 名，捐元的有 名?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級，第8題，假設(shè)思想方法【解析】 由題意，（名）同學(xué)捐元或元，一共捐了（元），那么捐元的同學(xué)有：（人），捐元的有：（名）。【答案】名【例 3】 某場足球賽賽前售出甲、乙、丙三類門票共400張，甲類票50元／張，乙類票40元/張，丙類票30元/張，共收入15500元，其中乙類、丙類門票張數(shù)相同．則甲類、乙類、丙類門票分別售出多少張?【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第14題【解析】 雞兔同籠問題，乙類、丙類門票張數(shù)相同，則可以看成價(jià)格為35元／張的同一類門票．容易得到甲類門票售出張，乙類、丙類各售出(400 100)247。2=150張．【答案】甲門票售出張，乙和丙售出張【例 4】 有紅、黃、綠種顏色的卡片共有張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有和，黃色卡片的兩面上分別寫著和，綠色卡片的兩面上分別寫著和．現(xiàn)在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫有較大數(shù)字的那面朝上，經(jīng)計(jì)算，各卡片上所顯示的數(shù)字之和為．若把所有卡片正反面翻轉(zhuǎn)一下，各卡片所顯示的數(shù)字之和則變成．問黃色卡片有多少張？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 開始的時(shí)候，黃色和綠色的卡片上都是，紅色卡片上是．如果全部是紅色卡片，那么數(shù)字之和為：，比實(shí)際的少：．每增加一張黃色或綠色卡片，那么數(shù)字就會增加：．那么，黃色和綠色卡片之和：（張），紅色卡片有：（張）．翻轉(zhuǎn)過來后，紅色和黃色卡片上都是，綠色卡片上是．紅色卡片有張，剩下的綠色和黃色卡片上的數(shù)字之和為：．如果張卡片都是黃色的，那么這張卡片上的數(shù)字之和為：，比實(shí)際的少：．每增加一張綠色卡片，數(shù)字之和就會增加：，所以，綠色卡片有：（張），黃色卡片有：（張）．【答案】張【例 5】 商店出售大,中,小氣球,大球每個(gè)3元,？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 因?yàn)榭傚X數(shù)是整數(shù),大,小球的價(jià)錢也都是整數(shù),所以買中球的錢數(shù)是整數(shù),可以把這兩種球看作一種,每個(gè)價(jià)錢是 (2+13)247。(2+3)=(元). 從公式可算出,大球個(gè)數(shù)是 (55)247。()=30(個(gè)). 買中,小球錢數(shù)各是 (120303)247。2=15(元). 可買10個(gè)中球,15個(gè)小球. 【答案】大球個(gè)，中球個(gè)。小球個(gè)【例 6】 從甲地至乙地全長45千米,有上坡路,平路,平路上速度是每小時(shí)5千米,李強(qiáng)行走了10小時(shí)。從乙地到甲地,各種路段分別是多少千米 【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 把來回路程452=90(千米),回來是下坡。一種路程,根據(jù)例15,雞兔同籠+11=21,總腳數(shù)90,雞, (90421)247。(54)=6(小時(shí)). 單程平路行走時(shí)間是6247。2=3(小時(shí)). 從甲地至乙地,上坡和下坡用了103=7(小時(shí))行走路程是 4553=30(千米). 又是一個(gè)雞兔同籠,上坡行走的時(shí)間是(6730)247。(63)=4(小時(shí)). 行走路程是34=12(千米). 下坡行走的時(shí)間是74=3(小時(shí)).行走路程是63=18(千米).【答案】上坡千米，平路千米，下坡千米.【例 7】 在一次考試中有選擇題、填空題和解答題三類題共道．選擇題和填空題每題分，解答題每題分．這次考試總分是分，其中選擇題和解答題的分值比填空題多分，這次考試有多少道選擇題？多少道填空題？多少道解答題？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法，希望杯【解析】 選擇題和填空題的分值一樣，可以歸為一類。如果這次考試的道題全是解答題，則總分應(yīng)是：(分)，但實(shí)際總分是分，所以選擇題和填空題共有： (道)，解答題有：(道)．選擇題比填空題少：(分)，選擇題有：(道)，填空題有：(道)．【答案】選擇題題，填空題題，解答題題【例 8】 :一等獎(jiǎng)1000元,二等獎(jiǎng)250元,？ 【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 假設(shè)全是三等獎(jiǎng)，共有：9500/50=190（人）中獎(jiǎng)，比實(shí)際多：190100=90（人） 1000/50=20，也就是說：把20個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而人數(shù)減少了：201=19（人） 250/50=5，也就是說：把5個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而人數(shù)減少了：51=4（人）。 因?yàn)槎喑龅氖?0人，而：90=19*2+4*13. 即：要使總?cè)藬?shù)為100，只需要把20*2=40個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成2個(gè)一等獎(jiǎng)，把5*13=65個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成13個(gè)二等獎(jiǎng)就可以了。 所以，二等獎(jiǎng)有13個(gè)人。【答案】人【鞏固】 有50位同學(xué)前往參觀,乘小巴前往每人4元,問其中乘小巴的同學(xué)有多少位？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 由于總錢數(shù)110元是整數(shù),小巴和地鐵票也都是整數(shù),因此乘電車前往的人數(shù)一定是5的整數(shù)倍. 如果有30人乘電車, 30=74(元). 還余下5030=20(人). 如果有40人乘電車 40=62(元). 還余下5040=10(人)都乘地下鐵路前往,錢還有多(62610).,只有35是5的整數(shù)倍. 現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成雞兔同籠了: 總頭數(shù) 5035=15, 總腳數(shù) 35=68. 因此,乘小巴前往的人數(shù)是 (61568)247。(64)=11. 【答案】【例 9】 學(xué)校組織新年游藝晚會,用于獎(jiǎng)品的鉛筆,圓珠筆和鋼筆共232支, ？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 從條件鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍,這兩種筆可并成一種筆,四支鉛筆和一支圓珠筆成一組,這一組的筆,每支價(jià)格算作 (4+)247。5=(元). 雞兔同籠公式可算出,鋼筆支數(shù)是 (232)247。()=12(支). 鉛筆和圓珠筆共 23212=220(支). 其中圓珠筆 220247。(4+1)=44(支). 鉛筆 22044=176(支). 【答案】鋼筆支，圓珠筆支，鉛筆支【例 10】 某次考試有52人參加，共考5道題，每題做錯(cuò)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表如下圖．還知道每人都至少做對1道題，做對1道題的有7人，5道題全對的有6人，做對2道題和3道題的人數(shù)一樣多．那么做對4道題的人數(shù)是多少？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 總共答對了：道題，做對4道題的人總共有：人，這39人總共答對了：道題．可假設(shè)做對2道題的有1人，假設(shè)出錯(cuò)量：，所以假設(shè)正確，對二、三道題的各1人，對4道題的37人．難點(diǎn)：給的是做錯(cuò)題的表，而條件給的是做對的條件?！敬鸢浮咳恕眷柟獭?某次數(shù)學(xué)考試考五道題,全班52人參加,共做對181道題,已知每人至少做對1道題,做對1道的有7人,5道全對的有6人,做對2道和3道的人數(shù)一樣多,那么做對4道的人數(shù)有多少人？【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 對2道,3道,4道題的人共有 5276=39(人). 他們共做對1811756=144(道). 由于對2道和3道題的人數(shù)一樣多,((2+3)247。2=).這樣 兔腳數(shù)=4,雞腳數(shù)=, 總腳數(shù)=144,總頭數(shù)=39. 對4道題的有 (39)247。()=31(人). 【答案】人【例 1】 （2009“數(shù)學(xué)解題能力展示讀者評選活動三年級初賽11題）一些奇異的動物在草坪上聚會. 有獨(dú)腳獸（1個(gè)頭、1只腳）、雙頭龍（2個(gè)頭、4只腳）、三腳貓（1個(gè)頭、3只腳）和四腳蛇（1個(gè)頭、4只腳）. 如果草坪上的動物共有58個(gè)頭、160只腳，且四腳蛇的數(shù)量恰好是雙頭龍數(shù)量的2倍. 那么，有_____________只獨(dú)腳獸參加聚會. 【考點(diǎn)】雞兔同籠問題 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法，迎春杯，整體法【解析】 方法一：列表分析奇異動物的頭和腳如下： 因?yàn)樗哪_蛇恰好是雙頭龍數(shù)量的2倍，所以可以將兩只雙頭龍和一個(gè)四腳蛇打捆，這樣每捆三個(gè)動物，4個(gè)頭12只腳，恰好是四個(gè)三腳貓，這樣本題就可以看成是兩類動物：一類是1個(gè)頭1只腳