亞正定變換研究-文庫吧
2025-07-08 15:51 本頁面
【正文】 ) ( , , , )nn A? ? ? ? ? ? ?? 對 V???， 0?? ，令 1 1 2 2 nnx x x? ? ? ?? ? ? ?，采用向量的形式記號，則 121 2 1 2( , , , ) ( , , , )nnnxx Xx? ? ? ? ? ? ???????????????，這里12nxX????????????? 則 1 2 1 2( ) ( , , , ) ( , , , )nnX A X? ? ? ? ? ? ? ? ???，而 12( , , , )n X? ? ? ?? ，故 ( , ) ( ) 39。 39。AX X X AX? ? ? ?? （ 1） 3 （必要性）若 ? 是亞正定變換，則 ( , ) 0??? ? ，由（ 1）式得 39。0X AX? ，由0?? 及任意性，得知 X 是任意的 n 維非零列向量，于是 A 為亞正定矩陣 . （充分性）反之，若 A 為亞正定矩陣，則 39。0X AX? ，由（ 1）式得 ( , ) 0??? ? ，于是 ? 是亞正定變換 . 下面我們討論亞正定變換的一些性質 . 定理 2 設 ? 是 n 維歐氏空間 V 的一個亞正定變換，則 1?? 也是亞正定變換 . 證明 先證 ? 是可逆變換 .反證法 :若 ? 是不可逆的，則存在 0 V??? ，使( ) 0??? ，即 ( , ) 0??? ? 此與 ? 為亞正定矩陣變換矛盾， 故 ? 是可逆變換 . 從而 ? 是滿射的，因此 0,V?? ? ? 必有 0?? ,使 ()?? ?? ,則 1()? ? ??? 1 1 1( , ) ( ( ( ) ) , ( ) ) ( ( ) , ) 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 故 1?? 是亞正定變換 . 定理 3 設 ,??是 n 維歐氏空間 V 的亞正定變換，則 ??? 也是亞正定變換 . 證明 由于 ,??是亞正定變換，則對 0 V?? ? ? ，有 ( , ) 0??? ? ，且 ( , ) 0??? ? 即對 0 V?? ? ? ，有 ( ( ) , ) ( , ) ( , ) 0? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 故 ??? 為亞正定變換 . 定理 3證畢 . 定義 3[12] 設 ,??是歐氏空間 V 的兩個線性變換 ,? 在標準正交基 12, , , n? ? ?下的矩陣為 A ,若 ? 在 12, , , n? ? ? 下的矩陣為 39。A ,則稱 ? 為 ? 的 共軛變換 . 定理 4 若 ? 是 n 維歐氏空間 V 的亞正定變換，則 ? 的共軛變換 39。? 也是亞正定變換 . 證明 令 ? 是 n 維歐氏空間 V 的一個亞正定變換 , 12, , , n? ? ? 為 V 的任一標準正交基，設 ? 在 12, , , n? ? ? 下的矩陣為 A ，即 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn A? ? ? ? ? ? ??，根據(jù)共軛變換定義，有 4 1 2 1 239。( , , , ) ( , , , ) 39。nn A? ? ? ? ? ? ?? 因此，由定理 1知，當 ? 是亞正定變換時， A 是亞正定矩陣，對 10 nXR?? ? ? ，有 39。0X AX? ，故 ( 39。 ) 39。 39。 39。 0X AX X A X??，即 39。A 為亞正定矩陣，于是， 39。? 是亞正定變換 . 注 由于 ? 與 39。? 互為共軛變換，根據(jù)定理 4知，線性變換 ? 為亞正定變換的充分必要條件是 39。? 為亞正定變換 . 在歐氏空間 V 中，有著名的 Cauchy不等式：對任意 , V??? ，有 2( , ) ( , )( , )? ? ? ? ? ?? 當且僅當 ,??線性相關時 ,等號才成立 . 我們通過引入亞正定變換，將對這一重要不等式進行推廣： 定理 5 設 ? 是 n 維歐氏空間 V 的 一個亞正定變換，對任意 , V??? ，有 2[ ( , ) ( , ) ] 4( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
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