倒數(shù)和微分求導(dǎo)法則-文庫(kù)吧
2025-07-08 10:52 本頁(yè)面
【正文】 x? ??221( c ot ) c s c .si nxx x? ? ? ? ?同理可得 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 001( ) . ( 6 )()fx y?? ? ?證 00,x x x y y y? ? ? ?設(shè) 則ΔΔ00( ) ( ) ,x y y y????＋ΔΔ 00( ) ( ) .y f x x f x? ? ?ΔΔ 定理 設(shè) 為 的反函數(shù)， 在 ()y f x? ()xy?? ? 由 假設(shè) , 在點(diǎn) 1f ? ?? 0x 的某鄰域內(nèi)連續(xù) ,且嚴(yán)格 二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f 00()xy?? 則 在點(diǎn) 可導(dǎo) , 且 0y 0( ) 0 ,y? ? ? 點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào) , 且 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0 0 。 0 0 .x y x y? ? ? ? ? ?Δ Δ Δ Δ? ?00 0011l i m .()limxyyfxxxyy?????? ? ? ??ΔΔΔΔ例 4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ,0)( 0 ?? y? 便可證得 注意到 單調(diào) , 從而有 ( i) a r c s in a r c c o s 。xx和( ii ) a r c t a n a r c c o t .xx和返回 后頁(yè) 前頁(yè) 解 ( i ) a r c s in , ( 1 , 1 ) s iny x x x y? ? ? ?是在21 1 1( ar c si n ) , ( 1 , 1 ) .( si n ) c os 1xx yy x? ? ? ? ? ??? 21, ( ar c c os ) , ( 1 , 1 ) .1xxx? ? ? ? ??同理上的反函數(shù)，故 ()22?π π，返回 后頁(yè) 前頁(yè) yyyx 22 t a n11s e c1)( t a n1)( a r c t a n??????).,(,1 1 2 ??????? xx同理有 21( ar c c ot ) ,1x x? ???( , ) .x ? ? ? ? ? 的反函數(shù)，故 ( ii ) a r c t a n t a ny x x y?? 是在上 ()22?π π，返回 后頁(yè) 前頁(yè) 定理 0( ) ( )u x x y f u???設(shè) 在點(diǎn) 可導(dǎo)， 在點(diǎn)00 ()u x f??? 可 導(dǎo) ， 則 復(fù) 合 函 數(shù)在點(diǎn) x0 可 這個(gè)定理一般用有限增量公式來(lái)證明 ， 但為了與 ? ?0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 7 )f x f u x f x x? ? ? ?? ? ? ? ???導(dǎo)， 且 三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 證法 , 為此需要先證明一個(gè)引理 . 今后學(xué)習(xí)向量函數(shù)相聯(lián)系 ， 這里采用另一種新的 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 引理 f 在點(diǎn) x0 可導(dǎo)的充要條件是 : 在 x0 的 某鄰 00( ) ( ) ,U x x H x域 上存在一個(gè)在 連續(xù)的函數(shù) 使證 設(shè) f (x) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) , 且令 00000( ) ( ) ,()()( ) , .f x f xx U xxxHxxxfx? ????? ?? ? ??00( ) ( ) .f x H x? ?且 ),)(()()( 00 xxxHxfxf ???000000( ) ( )li m ( ) li m ( ) ( ) ,x x x xf x f xH x f x H xxx??? ?? ? ??因返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0()H x x故 在 連續(xù)，且00, ( ) ( ( ) ) ,H x x U x x?反之 設(shè)存在 在點(diǎn) 連續(xù) 且0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .f x f x H x x x x U x? ? ? ?? ? ? ? ),()(l i ml i m00000xHxHxx xfxfxxxx??????得 f (x) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo) , ).()( 00 xHxf ??且下面證明定理 ( 公式 (7) ) . ).(),)(()()( 000 xUxxxxHxfxf ????根據(jù)極限 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ),(0 uFu 連續(xù)的函數(shù)個(gè)在點(diǎn) 且使 )()( 00 uFuf ??同理， ,)( 0 可導(dǎo)在點(diǎn) xxu ?? 則存在一個(gè)在點(diǎn) x0 ).(),)(()()( 000 uUxuuuFufuf ????0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .u u x x x x x x U x? ? ?? ? ? ? ? ?于是當(dāng) 有 ),( 0xUx?由引理的必要性 ,)( 0 可導(dǎo)在點(diǎn)及 uuf 知存在一 ( ),x? 00( ) ( ) ,xx??? ?使 且 連續(xù)的函數(shù) 00( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) .f x f x F x x x x? ? ? ?? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 公式 (7)改寫為 0 0 0 0 0( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) .H x F x x f u x? ? ???? ? ?d d d ,d d dx y uy u x?0, x??由于 在點(diǎn) 連續(xù) )( 00 xuF ??在點(diǎn) 連續(xù)， 0( ) ( ( ) ) ( ) .H x F x x x???所以 在點(diǎn) 連續(xù)根據(jù)引 理的充分性 , 0 ,fx? 在點(diǎn) 可導(dǎo) 且)()( 0xf ???( ) , ( ) ,y f u u x???其中 這樣就容易理解 “鏈” 的 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 (7) 又稱為 “鏈?zhǔn)椒▌t” . 若將 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ) .f x f x x? ? ?? ? ??與 的不同含義例 5 .s i n 2 yxy ?? 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在鏈?zhǔn)椒▌t中一定要區(qū)分 ()( ( ) ) ( ) | uxf x f u ?? ??? ?22d d d ( sin ) ( ) c o s 2 2 c o s .d d dy y
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