數(shù)值分析-第五章-函數(shù)近似計(jì)算的插值法-文庫吧
2025-07-06 09:50 本頁面
【正文】 010( ) ( ) ( )()nniix x x x x xxx?? ? ? ????1 ()n x? ?令??? )(1 jn x?則 )())(())(( 1110 njjjjjjj xxxxxxxxxx ????? ?? ??n+1次多項(xiàng)式 )())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjj xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl???????????????????nj ,2,1,0 ??且 ()jilx10ijij??? ???nji ,2,1,0, ?? (4) 線性無關(guān)顯然 )(,),(),(),( 210 xlxlxlxl n?))(()(11jjnnxxxx??? ????從而 的插值基函數(shù)作如果用 )()(,),(),(),( 210 xfyxlxlxlxl n ??則的插值多項(xiàng)式為而 ,)()( xfxP n0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n np x a l x a l x a l x? ? ? ?為待定參數(shù)、其中 naaa ?10()nipx nifxf ii ,2,1,0)( ????令 即 ??njijj xla0)( nif i ,2,1,0 ???由 (4)式 ,可得 nifaii ,2,1,0 ???為記為項(xiàng)式為插值基函數(shù)的插值多以上在節(jié)點(diǎn)于是))((),1,0()(,),1,0()(,xLnixlnixxfynji ?? ???0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n np x L x l x f l x f l x f? ? ? ? ?)(xlj ??? ??? njii ijixxxx0 )()(其中 (6) (5) ( 5 ) ( ) ( )nL x y f x L a g ra n g e?稱 式 為 的 插 值 多 項(xiàng) 式( ) ( 0 , 1 , , )jl x i n n L a g ra n g e?稱 (6) 式 為 次 插 值 基 函 數(shù)0( ) ( ) ( )nn n k kkp x L x l x f?? ? ??其中 139。1()()( )( )nkn k kxlxx x x?????? 這個(gè)改寫了 Lagrange插值公式 ，在許多理論分析中是非常有用的。 Lagrange插值公式的標(biāo)準(zhǔn)型公式 : 例 1: 15)225(,13)169(,12)144()( ??? fffxf 滿足已知.)175(,)( 的近似值并求插值多項(xiàng)式的二次作 fL a g r a n g exf解 : 2 2 5,1 6 9,1 4 4 210 ??? xxx設(shè))(0 xl插值基函數(shù)為的二次則 L a g r a n g exf )())(())((202021xxxxxxxx?????2025)225)(169( ??? xx)(1 xl))(())((210120xxxxxxxx?????1400)225)(144(???? xx)(2 xl))(())((120210xxxxxxxx?????4536)169)(144( ??? xx0 1 212 , 13 , 15f f f? ? ?插值多項(xiàng)式為的二次因此 L a g r a n g exf )(2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )L x f l x f l x f l x? ? ?且 )175(f)175(2L?)175(15)175(13)175(12 210 lll ???731 5 82 3 ?在例 1中 ,如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 169和 225,也可以作插值 多項(xiàng)式 ,即 1次 Lagrange插值多項(xiàng)式 ,有兩個(gè)插值基函數(shù) , 這種插值方法稱為 Lagrange線性插值 ,也可以在 n+1個(gè) 節(jié)點(diǎn)中取相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)作線性插值 Lagrange線性插值基函數(shù) (一次插值 )為 Lagrange線性插值多項(xiàng)式為 0 1 0 1, , ,x x f f節(jié) 點(diǎn) 函 數(shù) 值101xxxx???0()lx 1()lx 010xxxx???1 0 0 1 1( ) ( ) ( )L x l x f l x f??1001xx fxx???0110xx fxx???例 2. ).175(1 fL a g r a n g e 中的線性插值多項(xiàng)式求例用之間與在由于插值點(diǎn) 225169175 21 ??? xxx解 : 為插值節(jié)點(diǎn)與因此取 225169 21 ?? xx)(1 xl212xxxx???56225??? x)(2 xl121xxxx???56169?? xLagrange插值基函數(shù)為 )175(f5622517513????5616 917 515 ???712 8 52 1 ?所以 1 1 1 2 2( ) ( ) ( )L x f l x f l x?? 5622513 ???? x5616915 ??? xLagrange線性插值多項(xiàng)式為 二、插值余項(xiàng) 插值的從上節(jié)可知 L a g r a n g exfy )(, ?0( ) ( )nn j jjL x l x f?? ?滿足 nixfxL iin ,1,0)()( ???],[ bax ??但 )()( xfxL n ? 不會(huì)完全成立 因此 , 插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差 , 那么我們怎樣估 計(jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？ 1( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n in n nR x f x L x xR x f x L x K x x? ???? ? ?設(shè) 則 為 其 零 點(diǎn) ，可 設(shè) 1( ) ( ) ( ) ( )nnf x L x K x x? ???即 設(shè) 0?1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?若 引 入 輔 助 函 數(shù))( x?則有 0?的區(qū)分與注意 xt)( ix?且)()()( 1 inin xxKxR ??? ?0?即個(gè)零點(diǎn)上至少有在區(qū)間若令因此 ,2],[)(, ?? nbatxx i ?,0)( ?x?ni ,1,0 ??nix i ,2,1,0,0)( ????1( ) ( ) , ( ) , ( )nnL x x f x t???由 于 和 為 多 項(xiàng) 式 因 此 若 可 微 則 也 可 微)()()()()(11xtRtxRtnn???????也可令1( ) ( ) ( ) ( )nnf x L x K x x? ?? ? ?1( ) ( ) ( ) ( )i n i n if x L x K x x? ?? ? ?根據(jù) Rolle
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