數(shù)值分析-第五章-函數(shù)近似計(jì)算的插值法-wenkub
2022-08-20 09:50:45 本頁(yè)面
【正文】 題 , (*)式為插值條件 , ( ) ( )P x f x稱(chēng) 函 數(shù) 為 函 數(shù) 的 插 值 函 數(shù)則稱(chēng)之為插值多項(xiàng)式為多項(xiàng)式函數(shù)如果 ,)( xP稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn)點(diǎn) ,2,1,0, nix i ??稱(chēng)為插值區(qū)間區(qū)間 ],[ ba個(gè)等分點(diǎn)上若給定如函數(shù) 5],0[,sin ?xy ?其插值函數(shù)的圖象如圖 0 1 2 3 01sinx的的的xy 1 2 3 1sinx的的的xyxyy( ) ( )f x P x對(duì) 于 被 插 函 數(shù) 和 插 值 函 數(shù)ix在 節(jié) 點(diǎn) 處 的 函 數(shù) 值 必 然 相 等( ) ( )P x f x但 在 節(jié) 點(diǎn) 外 的 值 可 能 就 會(huì) 偏 離( ) ( )P x f x因 此 近 似 代 替 必 然 存 在 著 誤 差整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞 . 為了使插值函數(shù)更方便在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算 ,一般插值函 數(shù)都使用代數(shù)多項(xiàng)式或有理函數(shù) . 本章討論的就是 代數(shù)插值多項(xiàng)式 . 1. 滿(mǎn)足插值條件的多項(xiàng)式 P(x)是否存在且唯一？ 2. 若滿(mǎn)足插值條件的 P(x)存在 ,又如何構(gòu)造出 P(x)。 插值問(wèn)題的提出 167。 即插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法有哪些？ 3. 用 P(x)代替 f(x)的誤差估計(jì)，即截?cái)嗾`差的估計(jì)； 對(duì)于多項(xiàng)式插值，我們主要討論以下幾個(gè)問(wèn)題 ： 4. 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)無(wú)限加密時(shí)，插值函數(shù)是否收斂于 f(x)。 Lagrange插值多項(xiàng)式 維的間是的多項(xiàng)式構(gòu)成的線(xiàn)性空所有次數(shù)不超過(guò) n1?n根據(jù)線(xiàn)性空間的理論 , 11nn??這 個(gè) 維 線(xiàn) 性 空 間 的 基 也 由 個(gè) 多 項(xiàng) 式 組 成并且形式不是唯一的 n而 任 意 一 個(gè) 次 多 項(xiàng) 式 可 由 基 線(xiàn) 性 表 示且在不同的基下有不同的形式 01( ) , ( ) , , ( ) 1nx x x n? ? ? ?設(shè) 為 上 述 維 線(xiàn) 性 空 間 的 一 個(gè) 基線(xiàn)性表示可由次多項(xiàng)式且任意 )(,),(),()( 10 xxxxPn nn ??? ?線(xiàn)性無(wú)關(guān)顯然 )(,),(),( 10 xxx n??? ?)()()()( 1100 xaxaxaxP nnn ??? ???? ?的插值函數(shù)為某個(gè)函數(shù)如果 )()( xfxP n為插值基函數(shù)則稱(chēng) )(,),(),( 10 xxx n??? ?( ) 0 , 1 , 2 , ,n i ip x f i n??且滿(mǎn)足插值條件 : 為插值節(jié)點(diǎn)其中 nix i ,2,1,0, ??( ) 0 , 1 , 2 , ,iif x f i n??上的一組節(jié)點(diǎn)為區(qū)間如果 ],[210 babxxxxa n ?????? ?njxln j ,2,1,0),( ??次多項(xiàng)式我們作一組)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjj xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl?????????????????????? ??? njii ijixxxx0 )()( nj ,2,1,0 ??010( ) ( ) ( )()nniix x x x x xxx?? ? ? ????1 ()n x? ?令??? )(1 jn x?則 )())(())(( 1110 njjjjjjj xxxxxxxxxx ????? ?? ??n+1次多項(xiàng)式 )())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjj xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl???????????????????nj ,2,1,0 ??且 ()jilx10ijij??? ???nji ,2,1,0, ?? (4) 線(xiàn)性無(wú)關(guān)顯然 )(,),(),(),( 210 xlxlxlxl n?))(()(11jjnnxxxx??? ????從而 的插值基函數(shù)作如果用 )()(,),(),(),( 210 xfyxlxlxlxl n ??則的插值多項(xiàng)式為而 ,)()( xfxP n0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n np x a l x a l x a l x? ? ? ?為待定參數(shù)、其中 naaa ?10()nipx nifxf ii ,2,1,0)( ????令 即 ??njijj xla0)( nif i ,2,1,0 ???由 (4)式 ,可得 nifaii ,2,1,0 ???為記為項(xiàng)式為插值基函數(shù)的插值多以上在節(jié)點(diǎn)于是))((),1,0()(,),1,0()(,xLnixlnixxfynji ?? ???0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n np x L x l x f l x f l x f? ? ? ? ?)(xlj ??? ??? njii ijixxxx0 )()(其中 (6) (5) ( 5 ) ( ) ( )nL x y f x L a g ra n g e?稱(chēng) 式 為 的 插 值 多 項(xiàng) 式( ) ( 0 , 1 , , )jl x i n n L a g ra n g e?稱(chēng) (6) 式 為 次 插 值 基 函 數(shù)0( ) ( ) ( )nn n k kkp x L x l x f?? ? ??其中 139。 缺點(diǎn)： 基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量大 ?每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式的所有系 數(shù)都得重算； ?計(jì)算量為 。 ? 為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們“量化”。 45 概念： 同時(shí)含有一般解釋變量與虛擬變量的模型 稱(chēng) 為 虛 擬 變 量 模 型 或 者 方 差 分 析（ analysisof variance: ANOVA） 模型 。 在該模型中，如果仍假定 E(?i)=0，則 企業(yè)女職工的平均薪金為： 1. 加法方式 47 iiii XDXYE 10)0,|( ?? ??? 企業(yè)男職工的平均薪金為： iiii XDXYE 120 )()1,|( ??? ????幾何意義： ? 假定 ?20，則兩個(gè)函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。 教育水平考慮三個(gè)層次：高中以下， 高中， 大學(xué)及其以上。 ? 斜率的變化可通過(guò)以乘法的方式引入虛擬變量來(lái)測(cè)度 。 ? 假定 E(?i)= 0， 上述模型所表示的函數(shù)可化為： 正常年份： tttt XDXCE )()1,|( 210 ??? ???? 反常年份： tttt XDXCE 10)0,|( ?? ???57 當(dāng)截距與斜率發(fā)生變化時(shí)，則需要同時(shí)引入加法與乘法形式的虛擬變量 。 (3) ?1=?1 ， 但
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