【正文】 相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。【數(shù)量關系】線形植樹棵數(shù)＝距離247?？镁啵? 環(huán)形植樹棵數(shù)＝距離247?？镁?方形植樹棵數(shù)＝距離247?？镁啵? 三角形植樹棵數(shù)＝距離247?？镁啵? 面積植樹棵數(shù)＝面積247。（棵距行距）【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解136247。2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例2一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？ 解400247。4＝100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹。例3 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？ 解2204247。8－4＝110－4＝106（個）答：一共可以安裝106個照明燈。例4給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？ 解96247。（）＝96247。＝400（塊）答：至少需要400塊地板磚。例5一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解（1）橋的一邊有多少個電桿？500247。50＋1＝11（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？112＝22（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？222＝44（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。年齡問題 【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關系】 年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點?！窘忸}思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解35247。5＝7（倍）（35+1）247。（5+1）＝6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30247。（4－1）－7＝3（年）列成綜合算式（37－7）247。（4－1）－7＝3（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例3甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？ 解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析： 過去某一年 今年 將來某一年 甲 □歲 △歲 61歲 乙 4歲 □歲 △歲表中兩個“□”表示同一個數(shù)，兩個“△”表示同一個數(shù)。因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為（61－4）247。3＝19（歲）甲今年的歲數(shù)為△＝61－19＝42（歲）乙今年的歲數(shù)為□＝42－19＝23（歲）答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。1行船問題 【含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關系】（順水速度＋逆水速度）247。2＝船速（順水速度－逆水速度）247。2＝水速順水速＝船速2－逆水速＝逆水速＋水速2 逆水速＝船速2－順水速＝順水速－水速2 【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例1一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？ 解 由條件知，順水速＝船速＋水速＝320247。8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320247。8－15＝25（千米）船的逆水速為25－15＝10（千米）船逆水行這段路程的時間為320247。10＝32（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例2甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？ 解由題意得甲船速＋水速＝360247。10＝36 甲船速－水速＝360247。18＝20 可見（36－20）相當于水速的2倍，所以，水速為每小時（36－20）247。2＝8（千米）又因為，乙船速－水速＝360247。15，所以，乙船速為360247。15＋8＝32（千米）乙船順水速為32＋8＝40（千米）所以，乙船順水航行360千米需要 360247。40＝9（小時）答：乙船返回原地需要9小時。1列車問題 【含義】這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。【數(shù)量關系】火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）247。車速 火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）247。（甲車速－乙車速）火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）247。（甲車速＋乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例1一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？ 解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？9003＝2700（米）（2）這列火車長多少米？2700－2400＝300（米）列成綜合算式9003－2400＝300（米）答：這列火車長300米。例2一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？ 解火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為 8125－200＝800（米）答：大橋的長度是800米。例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？ 解從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為（225＋140）247。（22－17）＝73（秒）答：需要73秒。例4一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？ 解如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。150247。（22＋3）＝6（秒）答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。1時鐘問題 【含義】就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？ 解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以 分針追上時針的時間為20247。（1－1/12）≈22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？ 解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（54）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（54－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（54＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。（54－15）247。（1－1/12）≈6（分）（54＋15）247。（1－1/12）≈38（分）答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3六點與七點之間什么時候時針與分針重合？ 解六點整的時候，分針在時針后（56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（56）247。（1－1/12）≈33（分）答：6點33分的時候分針與時針重合。1盈虧問題 【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）247。分配差 如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）247。分配差 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）247。分配差 【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？ 解按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）247。分配差”的數(shù)量關系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）247。（4－3）＝12（人）（2）有多少個蘋果？312＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？ 解題中原定完成任務的天數(shù)，就相當于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）247。分配差”的數(shù)量關系，可以得知 原定完成任務的天數(shù)為（2608－3004）247。（300－260）＝22（天）這條路全長為300（22＋4）＝7800（米）答：這條路全長7800米。例3學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？ 解本題中的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有（1）有多少車？（30－0）247。（45－40）＝6（輛）（2）有多少人？406＋30＝270（人）答：有6輛車，有270人。1工程問題 【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。工作量＝工作效率工作時間 工作時間＝工作量247。工作效率工作時間＝總工作量247。（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。例1一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？ 解題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：1247。（1/10＋1/15）＝1247。1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完成。例2一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？ 解一設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1247。（1/6＋1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？ 24247。［1247。（1/6＋1/8）］＝7（個）（2）這批零件共有多少個？ 7247。（1/6－1/8）＝168（個）答：這批零件共有168個。解二上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的4－3/4＋3＝1/7 所以，這批零件共有24247。1/7＝168（個）例3一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成?，F(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？ 解必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為1和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是 60247。12＝560247。10＝660247。15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做還需要（60－52）247。（6＋4）＝5（小時）答：還需要5小時才能完成。例4一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？ 解注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（145），2個進水管15小時注水量為（1215），從而可知 每小時的排水量為（1215－145）247。（15－5）＝1 即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知 一池水的總工作量為145－15＝15 又因為在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為12，所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？（15＋12）247。（12）＝≈9（個）答：至少需要9個進水管。1正反比例問題 【含義】兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，