【正文】 線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。經(jīng)典例題透析類型一：探究型題目1．如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90176。，∠CAB=30176。，請你設(shè)計三種不同的分法，把△ABC分割成兩個三角形，且要求其中有一個是等腰三角形。（在等腰三角形的兩個底角處標(biāo)明度數(shù)）思路點撥: 在三角形中，“等邊對等角”與“等角對等邊”，本題應(yīng)從角度入手進行考慮。下面提供四種分割方法供大家參考。解析：總結(jié)升華：對圖形進行分割是近年來新出現(xiàn)的一類新題型，主要考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況以及動手實踐能力，本類題目的答案有時不唯一。舉一反三：【變式1】如圖3，D是△ABC中BC邊上的一點，E是AD上的一點，EB=EC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC。請你先閱讀下面的證明過程。證明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）。上面的證明過程是否正確？如果正確，請寫出每一步的推理依據(jù)；如果不正確，請指出關(guān)鍵錯在哪一步，寫出你認為正確的證明過程?！敬鸢浮康谝徊藉e誤。因為在△ABE和△AEC中有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，不能判定它們?nèi)?。正確的證明過程是：因為EB=EC，所以∠EBD=∠ECD，所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，即：∠ABC=∠ACB，所以AB=AC。在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）?！咀兪?】已知△ABC為等邊三角形，在圖4中，點M是線段BC上任意一點，點N是線段CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點。（1）請猜一猜：圖4中∠BQM等于多少度？（2）若M、N兩點分別在線段BC、CA的延長線上，其它條件下不變，如圖5所示，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由?！敬鸢浮浚?）題通常猜想、測量或證明等方法不難發(fā)現(xiàn)∠BQM=60176。，而且這一結(jié)論在圖形發(fā)生變化后仍然成立。（2）題的證明過程如下：因為△ABC為等邊三角形，所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60176。，所以∠ACM=∠BAN。在△ACM和△BAN中，所以ΔACM≌ΔBAN，所以∠M=∠N，所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60176。類型二：與度數(shù)有關(guān)的計算2．如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30176。，求∠2的度數(shù)。思路點撥: 解該題的關(guān)鍵是要找到∠2和∠1之間的關(guān)系，顯然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C與∠2的關(guān)系問題就好解決了，而∠C=∠B，所以把問題轉(zhuǎn)化為欲找出∠2與∠B之間有什么關(guān)系，變成△ABD的角之間的關(guān)系，問題就容易的多了。解析：∵AB=AC∴∠B =∠C∵AB=BD∴∠2=∠3∵∠2=∠1+∠C∴ ∠2=∠1+∠B∵∠2+∠3+∠B=180176?！唷螧=180176。－2∠2∴∠2=∠1+180176。－2∠2∴3∠2=∠1+180176?！摺?=30176?！唷?=70176?？偨Y(jié)升華：關(guān)于角度問題可以通過建立方程進行解決。舉一反三：【變式1】如圖，D、E在△ABC的邊BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122176。，求∠DAE的度數(shù)?！敬鸢浮俊連E=BA∴∠2=∠BAE∵CD=CA∴∠1=∠CAD∵∠1+∠CAD+∠C=180176?！唷?=∵∠2+∠BAE+∠B=180176。∴∠2=∴∠1+∠2=∵∠B+∠C=180176。－∠BAC∴∠1+∠2=∵∠DAE=180176。－（∠1+∠2）∴∠DAE=90176。－=90176。－61176。=29176?！咀兪?】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30176。，求∠EDC的度數(shù)。【答案】∵ AB=AC，AD=AE∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD∵∠AED=∠C+∠EDC∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD∴∠EDC=∠BAD=15176。類型三：等腰三角形中的分類討論3．當(dāng)腰長或底邊長不能確定時，必須進行分類討論（1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。（2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。思路點撥: 由等腰三角形的性質(zhì)可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構(gòu)成三角形的前提，因此必須進行分類討論。解析：（1）因為8+8＞10，10+10＞8，則在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為8時，周長為8+8+10=26；當(dāng)腰長為10時，周長為10+10+8=28；故這個三角形的周長為26cm或28cm。（2）當(dāng)腰長為3時，因為3+3＜7，所以此時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長為7時，因為7+7＞3，所以此時能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個三角形的周長為17cm?？偨Y(jié)升華：對于此類題目在進行分類討論時，必須運用三角形的三邊關(guān)系來驗證是否能構(gòu)成三角形舉一反三：【變式1】當(dāng)頂角或底角不能確定時，必須進行分類討論等腰三角形的一個角是另一個角的4倍，求它的各個內(nèi)角的度數(shù)【答案】（1）當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時，設(shè)頂角為x，則底角為4x，∴ 4x+4x+x=180176。，∴ x=20176。，∴ 4x=80176。，于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：20176。，80176。，80176。（2）當(dāng)頂角是底角的4倍時，設(shè)底角為x，則頂角為4x，∴ x+x+4x=180176。，∴ x=30176。，∴ 4x=120176。，于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：30176。，30176。，120176。故三角形各個內(nèi)角的度數(shù)為20176。，80176。，80176。或30176。，30176。，120176?！咀兪?】當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時，必須分類討論等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25176。，求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)?！敬鸢浮吭O(shè)AB=AC，BD⊥AC；（1）高與底邊的夾角為25176。時，高一定在△ABC的內(nèi)部，如右圖，∵∠DBC=25176。，∴∠C=90176?！螪BC=90176。25176。=65176。，∴ ∠ABC=∠C=65176。，∠A=180176。265176。=50176。圖1（2）當(dāng)高與另一腰的夾角為250時，①如圖2，高在△ABC內(nèi)部時，當(dāng)∠ABD=25176。時，∠A=90176?！螦BD=65176。，∴ ∠C=∠ABC=（180176?！螦）247。2=176。；②如圖3，高在△ABC外部時，∠ABD=25176。，圖2∴ ∠BAD=90176?！螦BD=90176。25176。=65176。，∴ ∠BAC=180176。65176。=115176。，∴∠ABC=∠C=（180176。115176。）247。2=176。故三角形各內(nèi)角為：65176。，65176。，50176。或65176。，176。，176?；?15176。，176。，176。圖3【變式3】由腰的垂直平分線所引起的分類討論在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40176。，求底角B的度數(shù)。分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC相交有兩種情形；解：（1）如圖，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，∠ADE=40176。，則∠A=900∠ADE=50176。，∵AB=AC，∴∠B=（180176。50176。）247。2=65176。（2）如圖，AB邊的垂直平分線與直線AC的反向延長線交于點D，∠ADE=40176。，則∠DAE=50176?！唷螧AC=130176。，∵AB=AC，∴∠B=（180176。130176。）247。2=25176。，故∠B的大小為65176。或25176?！咀兪?】由腰上的中線引起的分類討論等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。【答案】如圖，∵BD為AC邊上的中線，∴AD=CD，（1）當(dāng)（AB+AD）（BC+CD）=3時，則ABBC=3，∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；（2）當(dāng)（BC+CD）（AB+AD）=3時，則BCAB=3，∵BC=5 ∴AB=BC3=2；但是當(dāng)AB=2時，三邊長為2，2，5；而2+2＜5，不合題意，舍去；故腰長為8。類型四：證明題4．已知：如圖，∠ABC，∠ACB的平分線交于F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。求證：BD＋EC＝DE。思路點撥: 因為DE＝DF＋FE，即結(jié)論為BD＋EC＝DF＋FE，分別證明BD＝DF，CE＝FE即可，于是運用“在同一三角形中，等角對等邊”易證結(jié)論成立。解析：∵DE∥BC，∴∠3＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵BF平分∠ABC∴∠1＝∠2∴∠1＝∠3∴DB＝DF（等角對等邊）同理：EF＝CE，∴BD＋EC＝DF＋EF即BD＋EC＝DE?？偨Y(jié)升華：在三角形中，利用“等角對等邊”證明線段相等，是一種常用的方法。舉一反三：【變式1】如圖，C是線段AB上的一點，△ACD和△BCE是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。求證：（1）∠AOB＝120176。；（2）CM＝CN；（3）MN∥AB?！敬鸢浮浚?）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∠BCD＝∠BCE＋∠