【正文】 3）求2cos2sin xxxy ??的導數(shù)； （ 4） 求 y=xxsin2的導數(shù)； （ 5） 求 y＝x xxxx 9532 ??? 的導數(shù)。 解析：（ 1）23 11 xxy ????, .233239。 xxy ??? （ 2）先化簡 , 2121111 ????????? xxxxxxy ? .112 12121 232139。 ?????? ?????? ?? xxxxy （ 3）先使用三角公式進行化簡 . xxxxxy s in212c os2s in ???? .c os211)(s i n21s i n21 39。39。39。39。 xxxxxy ?????????? ??? （ 4） y’=x xxxx 2 22 s in )39。(s in*s in)39。( ?=x xxx 2 2sin cossin2 ?； （ 5） ?y＝ 233x － x＋５－ 219?x 第 7 頁 共 27 頁 ?y’＝３ *（ x23 ）＇－ x＇＋５＇－９ 21(x ）＇＝３ *23 21x －１＋０－９ *（－ 21 ） 23?x＝ 1)11(29 2 ?? xx。 點評：（ 1）求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；（ 2） 有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導．有時可以避免使用商的求導法則，減少運算量。 例 4．寫出由下列函數(shù)復合而成的函數(shù)： （ 1） y=cosu,u=1+ 2X （ 2） y=lnu, u=lnx 解析：（ 1） y=cos(1+ 2X )； （ 2） y=ln(lnx)。 點評：通過對 y=（ 3x22) 展開求導及按復合關系求導，直觀的得到 39。xy = 39。uy . 39。xu .給出復合函數(shù)的求導法則，并指導學生閱讀法則的證明。 題型 3：導數(shù)的幾何意義 例 5．（ 1） （ 06 安徽卷） 若曲線 4yx? 的一條切線 l 與直線 4 8 0xy? ? ? 垂直，則 l 的方程為 （ ） A． 4 3 0xy? ? ? B． 4 5 0xy? ? ? C． 4 3 0xy? ? ? D． 4 3 0xy? ? ? （ 2） （ 06全國 II）過點（ － 1， 0）作拋物線 2 1y x x? ? ? 的切線，則其中一條切線為 （ ） （ A） 2 2 0xy? ? ? （ B） 3 3 0xy? ? ? （ C） 10xy? ? ? （ D） 10xy? ? ? 解 析 ： （ 1） 與直線 4 8 0xy? ? ? 垂直的直線 l 為 40x y m? ? ? ，即 4yx? 在某一點的導數(shù)為 4，而 34yx?? ，所以 4yx? 在 (1， 1)處導數(shù)為 4，此點的切線為 4 3 0xy? ? ? ，故選 A； （ 2） 21yx???，設切點坐標為 00( , )xy ，則切線的斜率為 2 0 1x? ，且20 0 0 1y x x? ? ? ，于是切線方程為 20 0 0 01 ( 2 1 ) ( )y x x x x x? ? ? ? ? ?，因為點（－ 1， 0）在切線上，可解得 0x ＝ 0 或－ 4，代入可驗正 D 正確，選 D。 點評：導數(shù)值對應函數(shù)在該點處的切線斜率。 第 8 頁 共 27 頁 例 6．（ 1） （ 06 湖北卷）半徑為 r 的圓的面積 S(r)＝ ? r2,周長 C(r)=2? r，若將 r 看作 (0，＋∞ )上的變量，則 (? r2)`＝ 2? r ○1 ， ○1 式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為 R 的球，若將 R 看作 (0，＋∞ )上的變量，請你寫出類似于 ○1 的式子： ○2 ； ○2 式可以用語言敘述為： 。 （ 2） （ 06 湖南卷） 曲線 1yx?和 2yx? 在它們交點處的兩條切線與 x 軸所圍成的三角形面積是 。 解析：（ 1） V 球 ＝ 343 R?，又 324 43 RR???（ ）＝ 故 ○2 式可填 324 43 RR???（ ）＝，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！?； （ 2） 曲線xy 1?和 2xy? 在它們的交點 坐標是 (1， 1)， 兩條切線 方程分別是 y=－ x+2和 y=2x－ 1，它們 與 x 軸所圍成的三角形的面積是43。 點評：導數(shù)的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對于較復雜問題有很好的效果。 題型 4：借助導數(shù)處理單調 性、極值和最值 例 7．（ 1） （ 06 江西卷）對于 R 上可導的任意函數(shù) f（ x），若滿足（ x－ 1） fx?（） ?0，則必有（ ） A． f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） B. f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） C． f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） D. f（ 0）＋ f（ 2） ?2f（ 1） （ 2） （ 06 天津卷）函數(shù) )(xf 的定義域為開區(qū)間 ),( ba ，導函數(shù) )(xf? 在 ),( ba 內的圖象如圖所示，則函數(shù) )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 內有極小值點（ ） A． 1 個 B． 2 個 C． 3 個 D． 4 個 （ 3） （ 06 全國卷 I）已知函數(shù) ? ? 11 axxf x ex ??? ?。（Ⅰ）設 0a? ，討論 ? ?y f x? 的單調性；（Ⅱ）若對任意 ? ?0,1x? 恒有 ? ? 1fx? ，求 a 的取值范圍。 解析：（ 1） 依題意，當 x?1 時， f?（ x） ?0，函數(shù) f（ x）在（ 1，＋ ?）上是增函數(shù)；當 x?1 時， f?（ x） ?0， f（ x）在（－ ?， 1）上是減函數(shù)，故 f（ x）當 x＝ 1 時取得最小值，即有 f（ 0） ?f（ 1）， f（ 2） ?f（ 1），故選 C； （ 2） 函數(shù) )(xf 的定義 域為開區(qū)間 ),( ba ，導函數(shù) )(xf? 在 ),( ba 內的圖象如圖所示，第 9 頁 共 27 頁 函數(shù) )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 內有極小值 的 點 即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導數(shù)值為由負到正的點，只有 1 個，選 A。 （ 3）： (Ⅰ )f(x)的定義域為 (－∞ ,1)∪ (1,+∞ ).對 f(x)求導數(shù)得 f 39。(x)= ax2+2－ a(1－ x)2 e－ ax。 (ⅰ )當 a=2 時 , f 39。(x)= 2x2(1－ x)2 e－ 2x, f 39。(x)在 (－∞ ,0), (0,1)和 (1,+ ∞ )均大于 0, 所以 f(x)在 (－∞ ,1), (1,+∞ ).為增函數(shù)； (ⅱ )當 0a2 時 , f 39。(x)0, f(x)在 (－∞ ,1), (1,+∞ )為增函數(shù) .； (ⅲ )當 a2 時 , 0a－ 2a 1, 令 f 39。(x)=0 ,解得 x1= － a－ 2a , x2= a－ 2a ； 當 x 變化時 , f 39。(x)和 f(x)的變化情況如下表 : x (－∞ , － a－ 2a ) (－a－ 2a ,a－ 2a ) (a－ 2a ,1) (1,+∞ ) f 39。(x) ＋ － ＋ ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ ↗ f(x)在 (－∞ , － a－ 2a ), ( a－ 2a ,1), (1,+∞ )為增函數(shù) , f(x)在 (－ a－ 2a , a－ 2a )為減函數(shù)。 (Ⅱ )(ⅰ )當 0a≤ 2 時 , 由 (Ⅰ )知 : 對任意 x∈ (0,1)恒有 f(x)f(0)=1； (ⅱ )當 a2 時 , 取 x0= 12 a－ 2a ∈ (0,1),則由 (Ⅰ )知 f(x0)f(0)=1； (ⅲ )當 a≤ 0 時 , 對任意 x∈ (0,1),恒有 1+x1－ x 1 且 e－ ax≥ 1， 得： f(x)= 1+x1－ xe－ ax≥ 1+x1－ x 1. 綜上當且僅當 a∈ (－∞ ,2]時 ,對任意 x∈ (0,1)恒有f(x)1。 點評：注意求函數(shù)的單調性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導函數(shù)的正負對應原函數(shù)增減。 例 8． （ 1）（ 06 浙江卷） 32( ) 3 2f x x x? ? ?在區(qū)間 ? ?1,1? 上的最大值是 （ ） (A)－ 2 (B)0 (C)2 (D)4 第 10 頁 共 27 頁 （ 2） （ 06山東卷） 設函數(shù) f(x)= 322 3 ( 1 ) 1 , 1 .x a x a? ? ? ?其 中（Ⅰ）求 f(x)的單調區(qū)間；（Ⅱ）討論 f(x)的極值。 解析：（ 1） 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x? ? ? ? ?，令 ( ) 0fx? ? 可得 x＝ 0 或 2（ 2 舍去），當－ 1?x?0 時， ()fx? ?0，當 0?x?1 時， ()fx? ?0，所以當 x＝ 0 時， f（ x）取得最大值為 2。選 C； （ 2）由已知得 ? ?39。 ( ) 6 ( 1)f x x x a? ? ?，令 39。( ) 0fx? ，解得 120, 1x x a? ? ?。 （Ⅰ）當 1a? 時， 39。2( ) 6f x x? ， ()fx在 ( , )???? 上單調遞增； 當 1a? 時， ? ?39。 ( ) 6 1f x x x a? ? ?????， 39。( ), ( )f x f x 隨 x 的變化情況如下表： x ( ,0)?? 0 (0, 1)a? 1a? ( 1, )a? ?? 39。()fx + 0 ? 0 ? ()fx 極大值 極小值 從上表可知，函數(shù) ()fx 在 ( ,0)?? 上單調遞增；在 (0, 1)a? 上單調遞減；在( 1, )a? ?? 上單調遞增。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當 1a? 時，函數(shù) ()fx沒有極值；當 1a? 時，函數(shù) ()fx在 0x?處取得極大值，在 1xa??處取得極小值 31 ( 1)a?? 。 點評： 本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小 值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。 題型 5：導數(shù)綜合題 例 9．（ 06廣東卷）設函數(shù) 3( ) 3 2f x x x? ? ? ?分別在 12xx、 處取得極小值、極大值 .xoy平面上點 AB、 的坐標分別為 11()x f x（ , ） 、 22()x f x（ , ） ，該平面上動點 P 滿足 ? 4PA PB? ,點 Q 是點 P 關于直線 2( 4)yx??的對稱點 .求 (I)求點 AB、 的坐標； (II)求動點 Q 的軌跡方程 . 第 11 頁 共 27 頁 解 析： (Ⅰ )令 033)23()( 23 ?????????? xxxxf 解得 11 ??? x或 ； 當 1??x 時 , 0)( ?? xf ， 當 11 ??? x 時 , 0)( ?? xf ， 當 1?x 時 ， 0)( ?? xf 。 所以 , 函 數(shù) 在 1??x 處 取 得 極 小 值 , 在 1?x 取 得 極 大 值 , 故1,