北師大版九下《從梯子的傾斜程度談起》（2課時）-文庫吧
2025-11-05 08:29 本頁面
【正文】 討論小明和小亮的做法 . [生 ]在上圖中，我們可以知道 Rt△ AB1C1，和 Rt△ AB2C2是相似的 .因為∠ B2C2A＝∠ B1C1A＝ 90176。，∠ B2AC2＝∠ B1AC1，根據(jù)相似的條件，得 Rt△ AB1C1∽ Rt△ AB2C2. [生 ]由圖還可知： B2C2⊥ AC2， B1C1⊥ AC1，得 B2C2//B1C1， Rt△ AB1C1∽ Rt△ AB2C2. [生 ]相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得 2221111212211 , ACCBCA CBCAACCB CB ?? 即. 如果改變 B2 在梯子上的位置，總可以得到 Rt△ B2C2A∽ Rt△ Rt△ B1C1A，仍 能得到222111 ACCBACCB ? 因此，無論 B2在梯子的什么位置 (除 A外 )， 222111 ACCBACCB ? 總成立 . [師 ]也就是說無論 B2在梯子的什么位置 (A除外 )，∠ A的對邊與鄰邊的比值是不會改變的 . 現(xiàn)在如果改變∠ A的大小，∠ A的對邊與鄰邊的比值會改變嗎 ? [生 ]∠ A的大小改變，∠ A的對邊與鄰邊的比值會改變 . [師 ]你又能得出什么結(jié)論呢 ? [生 ]∠ A的對邊與鄰邊的比只與∠ A的大小有關(guān)系，而與它所在直角三角形的大小無關(guān) .也就是說，當直角三角形中的一個銳角確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定 . [師 ]這位同學(xué)回答得很棒，現(xiàn)在我們再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何評價 ? [生 ]小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度，因為圖中直角三角形中的銳角 A是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與 B B2在梯子上的位置無 關(guān)，即 與直角三角形的大小無關(guān) . [生 ]但我覺得小亮的做法更實際，因為要測量 B1C1的長度，需攀到 梯子的最高端，危險并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成 . [師 ]這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡 .我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué) . 由于直角三角形中的銳角 A確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義： (多媒體演示 ) 如圖，在 Rt△ ABC中，如果銳角 A確定，那么∠ A的對邊與鄰邊之比便隨之確定， 這個比叫做∠ A的正切 (tangent)，記作 tanA，即 tanA=的鄰邊的對邊AA?? . 注意： ，它表示∠ A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠” . ，它表示一個比值，即直角三角形中∠ A的對邊與鄰邊的比 . “ tan”乘以“ A” . ，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠ A是銳角的正切 . 思考： 1.∠ B的正切如何表示 ?它的數(shù)學(xué)意義是什么 ? ，課本圖 1— 3，梯子的傾斜程度與 tanA有關(guān)系嗎 ?[來 [生 ]1.∠ B的正切記作 tanB，表示∠ B的對邊與鄰邊的比值，即 tanB=的鄰邊的對邊BB??. ，因此，在圖 1— 3 中，梯子越陡， tanA的值越大；反過來， tanA的值越大，梯子越陡 . [師 ]正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛，例如建筑，工程技術(shù)等 .正切經(jīng)常用來描述山 坡的坡度、堤壩的坡度 . 如圖，有一山坡在 水平方向上每前進 100 m，就升高 60 m，那么山 坡的坡度 (即坡角α的正 切 —— tanα就是 tanα =α 5310060? . 這里要注意區(qū) 分坡度和坡角 .坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡度 .坡度越大，坡面就越陡 . Ⅲ .例題講解 多媒體演示 [例 1]如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡 ? 分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出 tanα、 tanβ的值，比較大小，越大，扶梯就越陡 . 解：甲梯中， tanα = 125513 5 22 ????? 的鄰邊的對邊??. 乙梯中 tanβ =4386 ???? 的鄰邊的對邊??. 因為 tanβ＞ tanα，所以乙梯更陡 . [例 2]在△ ABC中，∠ C=90176。， BC=12cm， AB=20cm， 求 tanA和 tanB的值 . 分析：要求 tanA， tanB的值，根據(jù)勾股定理先求出直角邊 AC的長度 . 解：在△ ABC中，∠ C＝ 90176。， 所以 AC= 2222 1220 ??? BCAB =16(cm), tanA= ,431612 ????? ACBCAA 的鄰邊的對邊 tanB= .341216 ????? BCACBB 的鄰邊的對邊 所以 tanA=43 ， tanB=34 . Ⅳ，隨堂練習(xí) ，△ ABC[是等腰直角三角形， 你能根據(jù)圖中所給 數(shù)據(jù)求出 tanC嗎 ? 分析：要求 ∠ C所在的直角三角形，因為 BD⊥ AC，所以∠ C在 Rt△BDC中 .然后求出∠ C的對邊與鄰邊的比，即DCBD的值 . 解：∵△ ABC是等腰直角三角形， BD⊥ AC， ∴
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