【正文】 112n+1)令n=1，2，?，（n1），代入得（n1）個等式累加，即（a2a1）+（a3a2）+?+（anan1）文德教育an=a1+12(112n1)=4n34n2★ 說明 只要和f（1）+f（2）+?+f（n1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，?，（n1）代入，可得n1個等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）例{an}中，a1=1，對于n＞1（n∈N）有an=3an1+2，： 由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an1+2。兩式相減：an+1an=3（anan1）因此數(shù)列{an+1an}是公比為3的等比數(shù)列，其首項為a2a1=（31+2）1=4 ∴an1 n+1an=43n1 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2an=43即 an=23n11 解法二： 上法得{an+1an}是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2a1=4，a3a2=43，a23n24a3=43，?，anan1=4，把n1個等式累加得： ∴an=23n11(4)遞推式為an+1=p an+q n（p，q為常數(shù)）b2n+1bn=3(b題的解法，得：b2nnbn1)由上n=32(3)∴abnn=2=3(1n1nn2)2(3)(5)遞推式為an+2=pan+1+qan思路：設(shè)an+2=pan+1+qan,可以變形為：an+2aan+1=b(an+1aan)，想于是{an+1αan}是公比為β的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。求an。文德教育(6)遞推式為Sn與an的關(guān)系式關(guān)系；2）試用n表示an?！郤n+1Sn=(anan+1)+(12n212n1)∴a1n+1=anan+1+2n1∴a1n+1=2an+1n2上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則{2nan}是公差為2的等差數(shù)列?！?nan= 2+（n1）2=2n數(shù)列求和的常用方法：拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。錯項相減法：適用于差比數(shù)列（如果{an}等差，{bn}等比，那么{anbn}叫做差比數(shù)列）即把每一項都乘以{bn}的公比q，向后錯一項，再對應(yīng)同次項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。252。適用于數(shù)列236。237。1252。236。239。1239。238。a253。和237。nan+1254。239。238。a{an+a253。（其中 n+1239。n}等差）254?？闪秧棡椋?a=1d(1a1，nan+1na)n+11=1an+an+1d(an+1an)等差數(shù)列前n項和的最值問題：（文德教育若等差數(shù)列{an}的首項a10，公差d0，則前n項和Sn有最大值。（?。┤粢阎梐，則S236。a237。n179。0nn最大219。238。a；n+1163。0（ⅱ）若已知Sn=pn2+qn，則當n取最靠近q2p的非零自然數(shù)時Sn最大；若等差數(shù)列{an}的首項a10，公差d0，則前n項和Sn有最小值（?。┤粢阎梐S236。an163。0n，則n最小219。237。；238。an+1179。0（ⅱ）若已知S=pn2n+qn，則當n取最靠近q2p的非零自然數(shù)時Sn最??；數(shù)列通項的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。⑵已知Sn（即a1+a2+L+an=f(n)）求an，用作差法：a={S,(n=1)nS1。nSn1,(n179。2)236。f(1),(n=已知agaf(n)求a239。1)12gLgan=n，用作商法：an=237。f(n)。239。(n1),(n179。238。f2)⑶已知條件中既有Sn還有an，有時先求Sn，再求an；有時也可直接求an。⑷若an+1an=f(n)求an用累加法：an=(anan1)+(an1an2)+L+(a2a1)+a1(n179。2)。⑸已知an+1a=f(n)求an，用累乘法：an=annaan1La2n1an2aa1(n179。2)。1⑹已知遞推關(guān)系求an，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如an=kan1+b、an=kan1+bn（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an；形如ann=kan1+k的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個等差數(shù)列后，再求an。（2）形如a1n=ankan1+b的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。（3）形如akn+1=an的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項。（7）（理科）數(shù)學歸納法。（8）當遇到an+1an1=d或an+1a=q時，分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結(jié)果可n1能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是文德教育等差數(shù)列前n和公式的推導方法）.（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導方法）.（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，：①1=11； ②1=1n(n+1)nn+1n(n+k)k(1n1n+k)； ③1k21k21=12(1k11k+1)，11k1k+1=1(k+1)k111k2(k1)k=k1； k④111 ；⑤n11n(n+1)(n+2)=12[n(n+1)(n+1)(n+2)](n+1)!=n!；(n+1)!⑥2(n+1n)=212n+n+1nn+n1=2(nn1)二、解題方法：求數(shù)列通項公式的常用方法：公式法由Sn求an（n=1時，a1=S1，n179。2時，an=SnSn1）求差（商）法如：{a1n}滿足12a1+22a2+??+12nan=2n+51解：n=1時，12a1=2180。1+5，∴a1=14 n179。2時，12a11+22a12+??+2n1an1=2n1+5212得：12nan=2∴an+1n=2∴an=236。14(n=1)237。238。2n+1(n179。2)［練習］數(shù)列{a5n}滿足Sn+Sn+1=3an+1，a1=4，求an（注意到a+1n+1=Sn+1Sn代入得：SnS=4n 又S是等比數(shù)列，Sn1=4，∴{Sn}n=4n179。2時，an1n=SnSn1=??=34疊乘法例如：數(shù)列{aan+1n}中，a1=3，a=nnn+1，求an解：a2a3??an=12a1a2an123??n1n，∴ana=11n文德教育又a31=3，∴an=n等差型遞推公式由anan1=f(n)，a1=a0，求an，用迭加法n179。2時，a2a1=f(2)252。 a239。3a2=f(3)239。253。兩邊相加，得：????239。anan1=f(n)239。254。 ana1=f(2)+f(3)+??+f(n)∴an=a0+f(2)+f(3)+??+f(n)［練習］數(shù)列{a=3n1n}，a1=1，an+an1(n179。2)，求an（a1nn=2(31)）等比型遞推公式an=can1+d(c、d為常數(shù)，c185。0，c185。1，d185。0) 可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an+x=c(an1+x)222。an=can1+(c1)x 令(c1)x=d，∴x=dc1∴237。236。ad252。n+c1253。是首項為254。ad238。1+c1，c為公比的等比數(shù)列 ∴add246。n+c1=230。231。232。an11+c1247。248。c ∴a230。d246。n1n=232。231。a1+c1247。248。cd c1［練習］數(shù)列{an}滿足a1=9，3an+1+an=4，求ann1（an=8230。231。4246。232。3247。248。+1）倒數(shù)法例如：a2an1=1，an+1=an+2，求an由已知得：1a=an+2=1n+12a+1n2an ∴11a1=2n+1an \236。237。1252。238。a253。為等差數(shù)列，1=1，公差為1 n254。a126文德教育\111a=1+(n1)n2=2(n+1)∴an=2n+12．數(shù)列求和問題的方法（1）、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。1＋3＋5＋??＋(2n1)=n2【例8】 求數(shù)列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），?前n項的和。解 本題實際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項中，共有1+2+?+n=12n(n+1)個奇數(shù)，∴最后一個奇數(shù)為：1+[12n(n+1)1]2=n2+n1 因此所求數(shù)列的前n項的和為（2）、分解轉(zhuǎn)化法對通項進行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?】求和S=1（n21）+ 2（n222）+3（n232）+?+n（n2n2）解 S=n2（1+2+3+?+n）（13+23+33+?+n3）（3）、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。例求和：S16C2nn=3Cn+n+L+3nCn例解 S012nn=0Cn+3Cn+6Cn+L+3nCn∴ Sn=3n2n1（4）、錯位相減法文德教育如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和．例1求數(shù)列1，3x，5x2,?,(2n1)xn1前n項的和．解 設(shè)Sn=1+3+5x2+?+(2n1)xn1． ①(2)x=0時，Sn=1．(3)當x≠0且x≠1時，在式①兩邊同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+?+(2n1)xn，②①②，得(1x)S23+?+2xn1(2n1)xnn=1+2x+2x+2x．(5)裂項法：把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：例1求和1115+137+59+L1(2n1)(2n+3)注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負項一樣多。在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數(shù)學思想在解決數(shù)列問題時的應(yīng)用。二、常用數(shù)學思想方法 1．函數(shù)思想運用數(shù)列中的通項公式的特點把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?3】 等差數(shù)列{an}的首項a1＞0，前n項的和為Sn，若Sl=Sk（l≠k）問n為何值時Sn最大？此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)?！遖1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函數(shù)的圖像開口向下文德教育∵ f（l）=f（k）2．方程思想【例14】設(shè)等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q。分析 本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及推理能力。解 ∵依題意可知q≠1。∵如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此應(yīng)推出a1=0與等比數(shù)列不符?！遯≠1整理得 q3（2q6q31）=0 ∵q≠0此題還可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），∴由S336633+S6=2S9可得2+q=2（1+q+q），2q+q=03．換元思想【例15】 已知a，b，c是不為1的正數(shù)，x，y，z∈R+，且求證：a，b，c順次成等比數(shù)列。證明 依題意令ax=by=cz=k ∴x=1ogak，y=logbk，z=logck∴b2=ac ∴a，b，c成等比數(shù)列（a，b，c均不為0）數(shù)學5（必修）第二章：數(shù)列一、選擇題1．數(shù)列{a1n}的通項公式an=，則該數(shù)列的前（）項之和等于9。n+n+1A．98 B．99C．96 D．972．在等差數(shù)列{an}中，若S4=1,S8=4，則a17+a18+a19+a20的值為（）A．9 B．12C．16 D．173．在等比數(shù)列{an}中，若a2=6，且a52a4a3+12=0，則an為（）A．6 B．6(1)n2 C．62n2 D．6或6(1)n2或62n2二、填空題文德教育1．已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1an=an+1an，則數(shù)列通項an=___________。2．已知數(shù)列的Sn=n2+n+1，則a8+a9+a10+a11+a12=_____________。3．三個不同的實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，且a,c,b成等比數(shù)列，則a:b:c=_________。三、解答題1． 已知數(shù)列{aSnn}的前n項和n=3+2，求an2． 數(shù)列l(wèi)g1000,lg(1000cos600),lg(1000cos2600),...lg(1000cosn1600),?的前多少項和為最大？3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=2an2n(n∈N+)（1）求數(shù)列{an}的通項公式an。（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列{bna}的前n項和，求n+2證T1n≥2。第三篇：語言運用題解題技法語言運用題解題技法1．長句短句與短句變長句 ①長句變短句、謂、賓獨立成句,然后再將定、狀、補分別組句,不能成句的仍作修飾