高中數學 332 簡單線性規(guī)劃問題教案 新人教a版必修5-文庫吧
2024-11-18 13:11 本頁面
【正文】 式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域 ABC 作一組與直線 l0平行的直線： l:2x+y=t,t∈R （或平行移動直線 l0），從而觀察 t 值的變化：t=2x+y∈ ［ 3,12］ (1) 從圖上可看出，點（ 0， 0）不在以上公共區(qū)域內，當 x=0， y=0 時， t=2x+y=（ 0， 0）在直線l0： 2x+y=0上 .作一組與直線 l0平行的直線（或平行移動直線 l0 可知，當 l 在 l0的右上方時，直線 l 上的點（ x,y)滿足 2x+y＞ 0,即 t＞ 而且，直線 l 往右平移時， t隨之增大（引導學生一起觀察此規(guī)律） 在經過不等式組所表示的公共區(qū)域內的點且平行于 l 的直線中，以經過點 B（ 5， 2）的直線 l2所對應的 t 最 大 ，以 經 過 點 A （ 1 ， 1 ） 的直 線 l1 所對應的 t 最小 . 所以tmax=25+2=12,t (2) (3) ［合作探究］ 師 諸如上述問題中，不等式組是一組對變量 x、 y的約束條件，由于這組約束條件都是關于 x、y 的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件 .t=2x+y是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、 y的解析式，我們把它稱為目標函數 .由于 t=2x+y又是關于 x、 y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數 另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示 外，也可用一次方程表示 一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題 .例如：我們剛才研究的就是求線性目標函數 z=2x+y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題 那么，滿足線性約束條件的解（ x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域 .在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域 .其中可行解（ 5， 2）和（ 1， 1）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解 課堂小結 用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟： ，要根據線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域） t=0，畫出直線 l0 、分析，平移直線 l0，從而找到最優(yōu)解 布置作業(yè) ，若采用甲種原料，每噸成本 1 000 元，運費 500元，可得產品 90 千克；若采用乙種原料，每噸成本為 1500 元，運費 400 元，可得產品 100 千克，如果每月原料的總成本不超過 6 000 元，運費不超過 2 000元，那么此工廠每月最多可生產多少千克產品？ 分析：將已 知數據列成下表： 甲原料（噸） 乙原料（噸） 費用限額 成本 1 000 1 500 6 000 運費 500 400 2 000 產品 90 100 解：設此工廠每月甲、乙兩種原料各 x噸、 y噸，生產 z千克產品，則 ?????????????,2 00 04 005 00,6 00 01 50 01 00 0,0,0yxyxyx 作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如右圖： 由??? ?? ?? .2045 ,1232 yx yx得?????????.720,712yx 令 90x+100y=t，作直線 :90x+100y=0，即 9x+10y=0 的平行線 90x+100y=t，當 90x+100y=t過點 M（ 712 , 720 ）時，直線 90x+100y=t 中的截距最大 由此得出 t 的值也最大， zma =90 712 +100 720 答：工廠每月生產 440 千克產品 A、 B 型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成 .已知木工做一張A、 B 型桌子分別需要 1 小時和 2小時，漆工油漆一張 A、 B 型桌子分別需 要 3 小時和 1 小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過 8 小時和 9 小時，而工廠造一張 A、 B 型桌子分別獲利潤 2千元和 3 千元，試問工廠每天應生產 A、 B型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？ 解：設每天生產 A 型桌子 x 張， B 型桌子 y張， 則???????????.0,0,93,82yxyxyx 目標函數為 z 作出可行域： 把直線 l： 2x+3y=0 向右上方平移至 l′ 的位置時，直線經過可行域上的點 M，且與原點距離最大，此時 z=2x+3y取得最大值 解方程??? ?? ?? ,93 ,82yx yx得 M 的坐標為（ 2， 3） 答：每天應生產 A 型桌子 2 張， B 型桌子 3張才能獲得最大利潤 106頁習題 組 第 2 課時 導入新課 師 前面我們學習了目標函數、線性目標函數、線性規(guī)劃問題、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念 師 同學們回憶一下用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟 生（ 1）首先，要根據線性約束條件畫出可 行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域） （ 2）設 t=0，畫出直線 l0 (3)觀察、分析，平移直線 l0，從而找到最優(yōu)解 (4)最后求得目標函數的最大值及最小值 推進新課 師 【例 1】 已知 x、 y滿足不等式組?????????????,0,0,2502,3002yxyxyx試求 z=300x+900y 的最大值時的整點的坐 標及相應的 z 的最大值 師 分析：先畫出平面區(qū)域，然后在平面區(qū)域內尋找使 z=300x+900y取最大值時的整點 解：如圖所示平面區(qū)域 AOBC，點 A（ 0， 125），點 B（ 150， 0），點 C的坐標由方程組 ???? ?? ?? 2502 3002 yx yx?????????,3200,3350yx 得 C（ 3350 , 3200 ）， 令 t=300x+900y， 即 ,90031 txy ??? 欲求 z=300x+900y 的最大值，即轉化為求截距 t[]900 的最大值，從而可求 t的最大值，因直線90031 txy ??? 與直線 xy 31?? 平行，故作 xy 31?? 的平行線，當過點 A（ 0， 125）時，對應的直線的截距最大，所以此時整點 A使 z 取最大值， zmax 師 【例 2】 求 z=600x+300y的最大值，使式中的 x、 y 滿足約束條件 3x+y≤300 ， x+2y≤250 ，
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