等差數(shù)列復(fù)習(xí)學(xué)案-文庫(kù)吧
2024-11-04 12:28 本頁(yè)面
【正文】 f(x)分別在230。2248。232。2232。248。22∴f(3)＜f(2)＜f(1)＜1，即b3＜b2＜b1＜1，1＜f(n)≤f(4)(n≥4)，即1＜bn≤b4(n≥4)，b4＝3，b3＝－{bn}中最大項(xiàng)為b4＝3，最小項(xiàng)為b3＝－1.【方法提煉】首項(xiàng)a1和公差d是等差數(shù)列{an}的基本量，只要確定了a1和d，數(shù)列{an}就能確定．因此，通過列方程(組)求得a1和d是解決等差數(shù)列{an}基本運(yùn)算的重要思想和方法．【針對(duì)訓(xùn)練1】設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}：在遞增等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d＞0，22236。236。236。239。a4＝a3a7，239。(a1＋3d)＝1(a1＋6d)，239。a1＝－3，∵237?！?37。解得237。 239。239。239。a＝1，a＋2d＝1，d＝n(－3＋2n－5)2∴an＝－3＋(n－1)2＝2n－5，Sn＝n－故所求an＝2n－5(n∈N*)，Sn＝n2－4n(n∈N*)．【探究突破二】等差數(shù)列的判斷與證明【例2】(2012陜西高考)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5，a3，a4成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的公比；(2)證明：對(duì)任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差數(shù)列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)證一：對(duì)任k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1(－2)＝0，所以，對(duì)任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．＋＋＋＋2a1(1－qk)a1(1－qk2)a1(1－qk1)a1(2－qk2－qk1)證二：對(duì)任k∈N＋，2Sk＝Sk＋2＋Sk＋1＝，1－q1－q1－q1－q＋＋2a1(1－qk)a1(2－qk2－qk1)aaqk2kk＋2k＋12Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－q)－(2－q－q)]＝q＋q－2)＝0，1－q1－q1－q1－q因此，對(duì)任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差數(shù)列．【方法提煉】判斷或證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列時(shí)，首先考慮的是定義，即證an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)，其中d為常數(shù)；對(duì)于遞推式，還可考慮利用等差中項(xiàng)，即證2an＋1＝an＋an＋2.【針對(duì)訓(xùn)練2】(2012江蘇南京金陵中學(xué)高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷)已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對(duì)任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.(1)求a3，a5；(2)設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．解：(1)由題意，令m＝2，n＝1，得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20.(2)當(dāng)n∈N*時(shí)，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8，于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8，即bn＋1－bn＝{bn}是公差為8的等差數(shù)列．【探究突破三】等差數(shù)列的性質(zhì)【例3】(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝9，a9＝－6，Sn＝63，求n；(2)若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為34，后3項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)的和為390，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．236。236。239。9＝a1＋3d，239。a1＝18，解：(1)設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則237。得237。 239。－6＝a1＋8d，239。d＝－3，238。238。3即63＝Sn＝18n－(n－1)，得n＝6或n＝(2)∵a1＋a2＋a3＝34，又an＋an－1＋an－2＝146，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴兩式相加得n(a1＋an)3(a1＋an)＝180，a1＋an＝60，由Sn＝390，得n＝【方法提煉】利用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq”可以把a(bǔ)n與Sn結(jié)合起來(lái)，這是解決等差數(shù)列問題的有效方法．【針對(duì)訓(xùn)練3】(2012江蘇徐州市高三第二次質(zhì)量檢測(cè))已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Sn7n＋45anTn，若＝，且是整數(shù)，則n的值為__________． Tnn＋3b2nn(n－1)d2230。d解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列前n項(xiàng)和為Sn＝na1＝n＋232。a1－2n，22所以可知等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)．S7n＋45因?yàn)?，所以可設(shè)Sn＝kn(7n＋45)，Tn＝kn(n＋3)，其中k為常數(shù)． Tnn＋3所以an＝Sn－Sn－1＝kn(7n＋45)－k(n－1)(7n＋38)＝k(14n＋38)，bn＝Tn－Tn－1＝kn(n＋3)－k(n－1)(n＋2)＝k(2n＋2)，則b2n＝k(4n＋2)，n＋16n＋16ak(14n＋38)7n＋19a＝＝3＋是整數(shù)． b2nk(4n＋2)b2n2n＋12n＋12n＋1a則2n＋1≤n＋16，即n≤＝15時(shí)，4，為整數(shù)． b2n【探究突破四】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【例4】 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為S7，且|a7|＜|a8|，求使Sn＞0的n的最大值． 解：由S7值最大，可得a7≥0，a8＜0，由|a7|＜|a8|，得a7＜－a8，即a7＋a8＜0，故a1＋a14＝a7＋a8＜(a1＋a13)14(a1＋a14)若a7＞0，則S13＝13a7＞0，S14＝0，即Sn＞0的最大正整數(shù)n＝12(a1＋a12)若a7＝0，則a6＞0，S13＝13a7＝0，S12＝＝6(a6＋a7)＝6a6＞0，即Sn＞0的最大正整數(shù)n＝綜上所述，當(dāng)a7≠0時(shí)，使Sn＞0的最大正整數(shù)n為13；當(dāng)a7＝0時(shí)，使Sn＞0的最大正整數(shù)n為12.【方法提煉】公差不為零的等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和的最值，一是把Sn轉(zhuǎn)化成n的二次函數(shù)求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值或最小值的項(xiàng)數(shù)n，代入前n項(xiàng)和公式求最值．a(chǎn)【針對(duì)訓(xùn)練4】已知{an}為等差數(shù)列，若1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正a10值時(shí)，n等于多少？解：由已知得，{an}是首項(xiàng)為正，公差為負(fù)的遞減等差數(shù)列，a由1，得a10＋a11＜0且a10＞0，a11＜0，a1020(a1＋a20)20(a10＋a11)∴S20＝10(a10＋a11)＜＝19a10＞0，22∴Sn取最小正值時(shí)n＝19【考情分析】通過分析江蘇卷近
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