單調(diào)性證明不等式-文庫吧
2024-10-30 23:20 本頁面
【正文】 x2), 則稱函數(shù)f(x)[8]設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù), 在(a,b)(a,b)內(nèi)f162。(x)0 , 那么函數(shù)y = f(x)在[a,b]上單調(diào)增加。如果在(a,b)內(nèi)f162。(x)0 , 那么函數(shù)y = f(x)在[a,b], 在高等數(shù)學(xué)中是經(jīng)常使用的方法, [3]當(dāng)0xp2時(shí), 證明:2psinx證明構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinx, 則 xf39。(x)=xcosxsinxcosx=2(xtanx).x2x因?yàn)?x39。時(shí), xtanx0, 即f(x)(x)在(0,p2)內(nèi)為嚴(yán)格單x174。0+limf(x)f(x)limf(x).x174。02pf(x)=1, 而lim+x174。0limf(x)=x174。022pp,故1sinx2.xpx2ln(1+x)0 時(shí), 證明: [2]證明構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)x, 則f39。(x)=1x, 當(dāng)x0時(shí), 1=1+x1+xf39。(x)(x)在(0,+165。)(x)=f(0)=0, 即 故x0時(shí)f(x)lim+x174。0ln(1+x)x0,ln(1+x)39。ln(1+x), 則g(x)=1x=再構(gòu)造函數(shù)g(x)=+x1+x當(dāng)x0時(shí)g(x)0, 所以由有限增量公式知g(x)在x0時(shí)為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù),故當(dāng)x0 時(shí), g(x)limg(x)=g(0)= x174。+039。x2x2xln(1+x)0,xln(1+x).22x2ln(1+x), 當(dāng)x0 時(shí)x2第四篇：利用函數(shù)單調(diào)性證明積分不等式(修改)利用函數(shù)單調(diào)性證明積分不等式黃道增浙江省臺州學(xué)院（浙江317000）摘要：積分不等式的證明方法多種多樣，本文主要利用被積函數(shù)的單調(diào)性和通過構(gòu)造輔助函數(shù)的單調(diào)性證明積分不等式。關(guān)鍵詞：積分不等式是微積分學(xué)中一類重要的不等式，其證明方法多種多樣。如果題目條件中含“單調(diào)性”或隱含“單調(diào)性”的條件，利用函數(shù)單調(diào)性證明比較簡單。本文主要討論利用被積函數(shù)的單調(diào)性和通過構(gòu)造輔助函數(shù)的單調(diào)性證明積分不等式。1 利用被積函數(shù)的單調(diào)性證明方法根據(jù)定積分性質(zhì)之一：設(shè)f(x)與g(x)為定義[a,b]在上的兩個(gè)可積函數(shù)，若f(x)163。g(x),x206。[a,b]，則242。f(x)dx163。242。g(x)例1設(shè)f(x)為[0,1]上非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，證明：對于0ab1，有242。證明：由f(x)的單調(diào)遞減性得：若0x163。a1，有f(x)179。f(a)所以242。f(x)dx179。242。f(a)dx=af(a)（1）00a0af(
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