【正文】 j)或a1iA1j+a2iA2j+L+aniAnj(i185。j)11例證：如322243331444=1A11+2A12+3A13+4A14=a21A11+a22A12+a23A13+a24A14=021四、習(xí)題P46T2(3)(4)(5)167。 克拉默法則一、克拉默法則定理1：含有n個(gè)未知數(shù)x1,x2,L,xn與n個(gè)方程的線性方程組236。a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1239。ax+ax+L+ax=b239。2112222nn2237。(1)LLLLLLLLLLLL239。239。238。an1x1+an2x2+L+annxn=bn稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1=b2=L=bn=0時(shí)稱為齊次線性方程組。如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D=A185。0（這里A=(aij)n180。n），那么(1)有唯一解，且解為xj=DjD(j=1,2,L,n)，其中Dj(j=1,2,L,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)替代后所得到的n階行列式。推論：(1)如果線性方程組(1)無解或至少有兩個(gè)不同的解，那么它的系數(shù)行列式D=0。(2)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D185。0，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式D=0。注意：用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：①方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)；②系數(shù)行列式不等于零。克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。它主要適用于理論推導(dǎo)。二、習(xí)題P50T2 T3 ；P51 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T3T6第三章矩陣教學(xué)目標(biāo)與要求，掌握矩陣的3種運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法)，以及它們的運(yùn)算律(單位陣、對角陣、數(shù)量矩陣、三角陣、轉(zhuǎn)置矩陣、對稱和反對稱陣)及其性質(zhì)，掌握方陣行列式的性質(zhì)，熟悉逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律 ，以及常用結(jié)論，掌握初等變換求逆矩陣的方法 ，會用初等變換求矩陣的秩 教學(xué)重點(diǎn)，以及初等變換法求逆矩陣，以及初等變換法求矩陣的秩 教學(xué)難點(diǎn)，以及求逆的方法 ，以及求秩的方法167。 矩陣的概念及其運(yùn)算一、矩陣的概念定義：稱由m180。n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,L,m。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數(shù)表230。a11231。231。a21A=231。M231。231。a232。m1a12a22Mam2La1n246。247。La2n247。為矩陣，簡記為A=(aij)m180。n=Am180。n。M247。247。Lamn247。248。矩陣的相等：Am180。n=Bm180。n219。aij=bij(i=1,2,L,m。j=1,2,L,n)230。b1246。231。247。231。b2247。行矩陣（行向量）：A=(a1,a2,L,an)；列矩陣（列向量）：A=231。247。M231。247。231。b247。232。n248。二、矩陣的運(yùn)算矩陣的加法定義1：設(shè)A=(aij)m180。n，B=(bij)m180。n，則A+B=(aij+bij)m180。n注意：兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)才能進(jìn)行加法運(yùn)算。矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B,C都是m180。n矩陣)：(1)交換律：A+B=B+A；(2)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)(3)負(fù)矩陣A+(A)=0，規(guī)定減法運(yùn)算：AB=A+(B)矩陣的數(shù)乘233。la11234。la21定義2：數(shù)l與矩陣A的乘積記作lA或Al，規(guī)定為lA=234。234。M234。235。lam1la12Lla1n249。la22Lla2nMlam2MLlamn；矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B都是m180。n矩陣，l,m為數(shù))：(1)(lm)A=l(mA)；(2)(l+m)A=lA+mA；(3)l(A+B)=lA+lB；(4)1A=A；(5)lA=0219。l=0或A=0矩陣的乘法定義3：設(shè)A=(aij)m180。s，B=(bij)s180。n,那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)m180。n矩陣C=(cij)m180。n，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+L+aisbsj=229。aikbkj(i=1,2,L,m。j=1,2,L,n)k=1s記為Cm180。n=Am180。sBs180。n（A的列數(shù)等于B的行數(shù)）。例1：求矩陣A=231。231。4246。230。24246。230。2247。231。與B=247。231。36247。247。的乘積AB與BA。12232。248。232。248。 解：AB=231。231。4246。230。1632246。230。24246。230。2247。231。247。247。 =231。247。231。247。231。247。16248。232。12248。232。36248。232。8BA=231。231。4246。230。24246。230。00246。230。2247。231。247。247。=231。185。AB 247。231。247。231。247。232。36248。232。12248。232。00248。例1說明：矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地AB185。BA。若AB=BA，則稱方陣A與B可交換。矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律：(1)結(jié)合律：(AB)C=A(BC)(2)l(AB)=(lA)B=A(lB)(3)分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA例2：舉例說明下列命題是錯(cuò)誤的（1）若A=0，則A=0；2（2）若A=A，則A=0或A=E； 2（3）若AX=AY，且A185。0，則X=Y。230。11246。230。10246。230。10246。230。10246。解：（1）A=231。（2）A=231。（3）A=X=231。231。11247。247。；231。00247。247。；231。00247。247。,Y=231。231。01247。247。232。248。232。248。232。248。232。248。三、方陣的冪及方陣多項(xiàng)式定義：設(shè)A是n階方陣，則A1=A,A2=AA,L,Ak+1=AkAklk+lklkl方陣的冪滿足的運(yùn)算律：(1)AA=A；(2)(A)=A方陣多項(xiàng)式設(shè)f(x)=a0xm+a1xm1+L+am1x+am(a0185。0)為m次多項(xiàng)式，A為n階方陣，則 稱f(A)為方陣A的多項(xiàng)式。f(A)=a0Am+a1Am1+L+am1A+amE仍為一個(gè)n階方陣，四、習(xí)題P61 T2(3)(4)(5)(8)T3T4T6167。 特殊矩陣與方陣行列式一、特殊矩陣單位矩陣230。1231。231。0En=231。M231。231。0232。230。l1231。231。0L=231。M231。231。0232。0L0246。247。1L0247。，性質(zhì)：EA=AE=A 247。MM247。0L1247。248。n180。n0L對角矩陣0246。247。l2L0247。=diag(l1,l2,L,ln)MM247。247。0Lln247。248。mm性質(zhì)：[diag(l1,l2,L,ln)]m=diag(l1,lm2,L,ln)，m為正整數(shù)。數(shù)量矩陣230。l0L231。231。0lLlE=lE=231。MM231。231。00L232。三角矩陣0246。247。0247。，性質(zhì)：lEA=lAE=lA M247。247。l247。248。a12La1n246。230。a11247。231。a22La2n247。231。a21或231。247。MMM247。231。231。0Lann247。248。232。an1性質(zhì)：A=a11a22Lann轉(zhuǎn)置矩陣 230。a11231。231。0A=231。M231。231。0232。0L0246。247。a22L0247。 247。MM247。an2Lann247。248。如果A=(aij)m180。n，則AT=(aij)n180。m。性質(zhì)：(1)(A)=A；(2)(A+B)=A+B；(3)(lA)=lA；(4)穿脫原理：(AB)=BA對稱矩陣和反對稱矩陣TT設(shè)A=(aij)n180。n，如果A=A，則稱A為對稱矩陣；如果A=A，則稱A為反對稱TTTTTTTTTT矩陣。二、方陣行列式性質(zhì)：①AB=AB=BA（A,B都是n階方陣）n②A=A n③kA=knA三、伴隨矩陣定義：n階行列式A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣230。A11231。231。A12231。M231。231。A232。1n稱為A的伴隨矩陣。A21LAn1246。247。A22LAn2247。MM247。247。A2nLAnn247。248。n1*例1：試證：（1）AA*=A*A=AE；（2）當(dāng)A185。0時(shí)，A=A證明：（1）因?yàn)?30。a11231。231。a21*故AA=231。M231。231。a232。n1236。A,i=jai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=237。(i,j=1,2,L,n)238。0,i185。ja12La1n246。230。A11A21LAn1246。230。A0L0246。247。247。231。247。231。a22La2n247。231。A12A22LAn2247。231。0AL0247。=231。=AE 247。247。231。247。MMMMMMMM247。247。231。247。231。247。231。247。231。an2Lann248。232。A1nA2nLAnn248。232。00LA247。248。同理可得A*A=AE。*（2）對A*A=AE兩邊取行列式，得AA=AE*即 AA=AE=A，所以當(dāng)A185。0時(shí)，A=A*nnn1。四、習(xí)題P69 T1T2T6T7T8(2)167。 逆矩陣一、逆矩陣定義：對于n階方陣A，如果有一個(gè)n階方陣B，使AB=BA=E則稱A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，記為B=A。可逆的判定定理定理：方陣A可逆219。A185。0；當(dāng)A可逆時(shí)，A=11* A，其中A*為A的伴隨矩陣。A=E。證明：，即存在A，使AA1111故AA=AA=E=1，所以A185。0167。 AA=AA=AE；因?yàn)锳185。0，故有**A1*1*A=AA=E AA=1*A。A按照逆矩陣的定義，即有A1注意：當(dāng)A185。0時(shí)，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣?？梢?，可逆矩陣就是非奇異矩陣。同時(shí)，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法（公式法）。1推論：若AB=E（或BA=E），則B=A。證明：AB=AB=E=1，故A185。0，從而A存在，于是1B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A1二、逆矩陣的運(yùn)算律方陣的逆矩陣滿足下列運(yùn)算律：①若n階方陣A可逆，則A也可逆，且(A)②若A可逆，數(shù)l185。0，則lA可逆，且(lA)1111=A；1=lA1；1③若A,B均為n階可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且AB=AC，則B=C； ⑤若A可逆，則A也可逆，且(A)T； =B1A1（穿脫原理）T1=(A1)T；⑥若A可逆，則A也可逆，且(A*)1=(A1)*；⑦若A可逆，則(A*)T=(AT)*；1⑧若A可逆，則A=A1*⑨若A,B均為n階可逆方陣，則(AB)*=B*A*（穿脫原理）證明： ①因?yàn)锳A1=E，由推論可知，(A1)1=A②因?yàn)閘A1lA1=AA1=E，由推論可知，(lA)=11lA11③(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E，由推論有，(AB)11④因?yàn)锳可逆，則AAB=AAC，即EB=EC，故B=C=B1A1⑤AT(A1)T=(A1A)T=ET=E，由推論有，(A)⑥因?yàn)锳可逆，故A1T1=(A1)T=1*AA1A，且A*=A*=E，從而(A*)1=A； AAAA1又A(A)=(A)A11*1*=A1E，即(A1)*=AA1E=1A A所以(A)*1=(A1)*。T*TT11T⑦因?yàn)?A*)T=(AA1)T=A(A1)T，(A)=A(A)=A(A)所以(A)=(A)111⑧因?yàn)锳A=E=1，即AA=1，所以A=*TT*11=A A⑨由AB=AB185。0可知，AB也可逆。又(AB)(AB)*=ABE，所以(AB)*=AB(AB)1=ABB1A1=BB1AA1=B*A*230。ab246。1例問A=231。231。cd247。247。滿足什么條件時(shí)可逆，并求A。232。248。解：A=adbc，A=231。231。c232。*230。db246。247。，當(dāng)A=adbc185。0時(shí)，A可逆； 247。a248。且A1=1230。db246。231。247。 231。247。adbc232。ca248。例設(shè)A是三階方陣，且A=解：(3A)118A*=11*，求(3A)18A 271112A18AA1=A1A1 333=(1)A1=(1)3A11 33=27A=1例解矩陣方程231。25231。230。246。230。719232。13247。247。248。X=231。231。246。232。411247。247。248。 解：X=230。231。25246。1230。719246。230。35246。230。719231。246。230。1232。13247。247。248。231。231。232。411247。247。248。=231。231。232。12247。247。248。231。231。232。411247。247。248。=231。231。232。1三、習(xí)題P75 T2T3(3)T6T7T92246。3247。247。248。 167。 分塊矩陣和初等矩陣一、分塊矩陣設(shè)An180。n=231。231。O232。230。A1O246。230。B1247。231。，B=n180。n247。231。OA2248。232。O246。247。，其中Ai與Bi(i=1,2)是同階的子方塊，則 247。B2248。O246。247。 A2B2247。248。O246。247。 1247。A2248。1246。A2247。 O247。248。230。A1+B1①A+B=231。231。O232。230。A1k③A=231。231。O232。k230。A1B1246。247。；②AB=231。231。OA2+B2247。232。248。O230。A11O246。1247。；④A=231。k247。231。OA2248。232。1230。O231。⑤A=A；⑥A12231。A232。2A1246。230。O231。1247。=231。AO247。248。232。1二、初等矩陣定義：由n階單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣。三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣(1)交換第i行和第j行；對應(yīng)En(i,j)(2)第i行乘k倍；對應(yīng)En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；對應(yīng)En(i,j(k))230。24246。例將A=231。231。13247。247?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形。232。248。解：A=231。231。230。24246。230。13246。230。13246。230。13246。230。10246。247。247。247。247。247。174。231。174。231。174。231。174。231。=B 247。231。247。231。247。231。247。231。247。232。13248。232。24248。232。02248。232。01248。232。01248。則231。231。0246。230。10246。230。01246。230。13246。230。1247。231。247。231。01/2247。247。231。231。21247。247。231。231。10247。247。A=B 01232。248。232。248。232。248。232。248。12即 E2(1,2(3))E2(2())E2(2,1(2))E2(1,2)A=B初等變換與初等矩陣的關(guān)系定理1：設(shè)A是一個(gè)m180。n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于對A左乘一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于對A右乘一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣。三、初等變