【正文】 了放縮法的基本概念, 在此基礎(chǔ)上總結(jié)出增減放縮法、公式放縮法、利用函數(shù)的性質(zhì)放縮和綜合法等用放縮法證明不等式的常用技巧,以及數(shù)列不等式證明中放縮法的應(yīng)用,。關(guān)鍵詞：不等式。放縮法。技巧。適當(dāng)Proving the Inequity by Amplification and MinificationStudent： Guide teacher：Huainan Normal University Department of MathematicsAbstract: This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification on the basis of this, it sums up some monly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three do much help to demonstrating words: inequality。amplification and minification。skill。appropriate引 言在證明不等式的過程中,我們的基本解題思路就是將不等式的一邊通過若干次適當(dāng)?shù)暮愕茸冃位虿坏茸冃?放大或縮小),根據(jù)等式的傳遞性①和不等式的傳遞性②,不等式的證明最大特色就是在變形過程中它有“不等的”變形,即對(duì)原式進(jìn)行了“放大”或“縮小”.而這種對(duì)不等式進(jìn)行不等變形,從而使不等式按同一方向變換,方法靈活多變,應(yīng)當(dāng)注意以下兩點(diǎn)：?掌握放縮法的一些常用策略和技巧；?放縮法要放縮得恰到好處, 3 放縮法的常用技巧 增減放縮法 增加（減去）不等式中的一些正（負(fù)）項(xiàng)在不等式的證明中常常用增加（減去）一些正(負(fù))項(xiàng),從而使不等式一邊的各項(xiàng)之和變大(小), 設(shè)a,b,c都是正數(shù),ab+bc+ca=1,求證：a+b+c179。：Q(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=12[(ab)2+(bc)+(ca)+3(ab+bc+ca)22]179。3(ab+bc+ca)=333\a+b+c179。3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 增大（減小）不等式一邊的所有項(xiàng)將不等式一邊的各項(xiàng)都增大或減小,[1](02年全國(guó)卷理科第21題)設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=an2nan+1,且an179。n+2(n=1,2,3,L),求證：11+a1+11+a2+11+a3+L+11+an163。12證明：由an+1=an2nan+1,得：an+1=an(ann)+1, Qann179。2,\an+1179。2an+1,\1+an+1179。2(1+an)0, \11+an+111163。121+an11,于是有：1+a211+a311+a4163。21+a111，122163。21+a211163。11+a111+a1, 163。21+a3163。123，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 4 ??, 11+an163。11163。12n121+an111+a1，1\11+a1+11+a2+11+a3+L+1+an111246。1230。163。231。1++2+L+n1247。222232。248。1+a11=11n21163。21=111+a11+32 增大（減小）不等式一邊的部分項(xiàng)在不等式的證明中,有時(shí)候增大或減小不等式一邊的所有項(xiàng)會(huì)造成放縮過度,因此, 求證證明：Q122+132+142+L+1n2179。n22n(n206。N，*,n179。2).1n2=1nn121n(n+1)12=1n1n+11 \122133,1314,L,(n1)2（n2）個(gè)不等式相加,得 122+132+142+L+1(n1)2121n=n22n\122+132+1n2142+L+n22n1(n1)2+1n2n22n+ 增大（減?。┓肿踊蚍帜傅闹翟龃蠡驕p小不等式一邊分?jǐn)?shù)中分子或分母的值, 5 例4 求證+91125+L+1(2n+1)2114(n206。N).*證明：Q1(2k+1)219+125(2k+1)211=14k(k+1)=1230。11246。231。247。(k179。1), 4232。kk+1248。\+L(2n+1)2 1233。230。1246。230。11246。1246。249。230。1234。231。1247。+231。247。+L+231。247。 4235。232。2248。232。23248。232。nn+1248。1230。1246。1231。1247。,4232。n+1248。419125+L+114.=即+ 公式放縮法(2n+1)2即利用已有的大家熟悉的不等式來(lái)進(jìn)行放縮,這里我們主要利用的是均值不等式1以及aba+ma+m,a,b,m206。R,ab(+), 均值不等式例5 若n206。N,n1,求證：(n!)*2233。(n+1)(2n+1)249。：Q12Lnn2221+2+L+nn1622，而12+22+L+n2= 故n1222Lnn 即(n!)2234。235。16n(n+1)(n+2)(n+1)(2n+1)n233。(n+1)(2n+1)249。6 已知:Sn=1180。2+2180。3+L+n180。(n+1)n?均值不等式： a1a2Lan163。a1+a2+L+ann,ai206。R+(i=1,2,Ln).淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 6 求證:證明:Qn=n(n+1)2Sn(n+1)180。nn(n+1)n+(n+1)2 \Sn=1180。2+2180。3+L+n180。(n+1) =32+52+L2n+12 n(n+1)2(n+1)22 又Sn=1180。2+2180。3+L+n180。(n+1)1+2+L+n= aba+ma+m,a,b,m206。R,abn(n+1)2(+)a1+a+b1+bc1+[4] 若正數(shù)a,b,c滿足a+bc,求證：證明：Qa+bc,\a+bc0。\c1+cc+(a+bc)1+c+(a+bc)=a1+a+b+b1+a+ba1+a+b1+b， 利用函數(shù)的性質(zhì) 利用特殊函數(shù)的單調(diào)性這里的特殊函數(shù)主要指一些已知單調(diào)性的函數(shù), 求證：log23：我們先給出常規(guī)解法；log23log34=lg3lg2lg4lg32=lg3lg2lg4lg2lg322，230。lg2+lg4246。230。lg8246。230。lg9246。2Qlg2lg4231。247。=231。247。231。247。=lg3，2232。248。232。2248