【正文】 纖通訊。 人們現(xiàn)在已經(jīng)認識到光是一種特殊頻率段的電磁波，要真正了解菲涅耳公式就必須先了解電磁理論。應用麥克斯韋電磁理論的邊值條件可以推導出菲涅耳公式。如此對光的本質(zhì)有一個全面深刻的理解。光在反射時會發(fā)生一些特殊現(xiàn)象，如全反射，自然光的起偏，半波損失。菲涅耳公式完美地解釋了產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因。作為波動光學中的一個基礎(chǔ)公式，認真學習、分析菲涅耳公式是很有必要的。 菲涅耳公式有很大的使用局限性，其使用條件要求兩介質(zhì)必須是均勻的透明的介質(zhì)。對于不均勻介質(zhì)如晶體、不透明介質(zhì)如金屬菲涅耳公式不再適用。但是 現(xiàn)在科技技術(shù)有要求菲涅耳公式有更廣的應用范圍，為此要對菲涅耳公式進行修正，以滿足科技發(fā)展，目前有很多專家致力于此。 畢業(yè)設(shè)計（論文） 2 第 1 章 菲涅耳公式 菲涅耳的貢獻 光學是在 17世紀才真正開始發(fā)展的，當時人們對光的本質(zhì)有兩個認識，一個是以牛頓為代表的“微粒說”，一個是以惠更斯為代表的“波動說”。由于牛頓的權(quán)威性，一直到 18世紀，科學家們普遍支持“微粒說”。 19世紀由于托馬斯楊和菲涅耳的工作，波動光學得到長足發(fā)展，人們開始初步認識光的本質(zhì)。麥克斯韋的電磁理論指出光是電磁波中的一種。 1905年愛因斯坦 提出光量子理論，認為光同時具有微粒和波動兩種屬性?，F(xiàn)在人們還在不斷探索去徹底認識光的本質(zhì)。 菲涅耳（ ）是法國的著名物理學家和數(shù)學家 ,主要貢獻是對光的本質(zhì)的研究， 并設(shè)計做了一些關(guān)于光的干涉、衍射和偏振等實驗。 他 和 楊氏的工作 使光的波動說得以復興和完善。 為了紀念他對波動光學的巨大貢獻，現(xiàn)在很多光學概念以菲涅耳命名。楊氏第一次成功測定了光的波長，菲涅耳利用波的疊加原理補充了惠更斯原理，形成惠更斯 — 菲涅耳原理（ 從同一波陣面上各點發(fā)出的子波，同時傳到空間某點時，可以相互疊加產(chǎn)生干涉現(xiàn)象 ） [1]。該 原理 能分析、處理菲涅耳衍射問題，夫瑯 和 費衍射問題 ， 定性 地 說明光 的 衍射規(guī)律，正確地計算出衍射條紋及其強度分布，也能解釋光的直線傳播現(xiàn)象 。這是波動光學的一個重要原理。菲涅耳 建立了波帶作圖法形式的衍射理論，特殊的定積分 — “菲涅耳積分 ”， 用半波帶方法計算了一些障礙物產(chǎn)生的衍射花紋， 并 和實驗符合得很好 。例如，泊松亮斑 。 泊松亮斑和楊氏雙縫干涉有力地證明光是一種波，使光的微粒論開始崩潰，人們開始普遍接受光的波動說。在研究光在兩種介質(zhì)表面反射時的偏振現(xiàn)象時，楊氏提出了光波和弦中傳播的波相仿的假設(shè)，認為光波是橫波。菲涅耳接受 了這個假說，認為光是在以太中傳播的機械波，而以太是一種密度極小的彈性介質(zhì)，并且具有其他很多性質(zhì) [2]。 菲涅耳給出了一些晶體光學現(xiàn)象的數(shù)學解釋，引入了晶體里傳播的兩個波面，即球面與扁球面概念，并指出它們是各向異性的。他還引入了正的晶體和負的晶體概念，同時強調(diào)必須在各種不同的情況下建立晶體內(nèi)部的光程。 成功地解釋了光的干涉、衍射和偏振現(xiàn)象，并導出了菲涅耳公式 [3]。但隨著科學的發(fā)展以太論陷入危機。菲涅耳建立在以太的種種假設(shè)上的理論搖搖欲墜。但是 菲涅耳的研究使停滯百年之久的光學改變了面貌，光學的方法論基礎(chǔ)徹底發(fā)生了 變化 ， 他的學術(shù)思想和創(chuàng)造具有革命特色 。因此菲涅耳被人譽為“ 19世紀最偉大的科學家”、“波動光學的奠基者”、“物理光學的締造者”和“物理光學之父”。 畢業(yè)設(shè)計（論文） 3 菲涅耳公式的推導 麥克斯韋的電磁理論指出光是一種電磁波。由麥克斯韋方程組提供的邊值關(guān)系可知，任何波動在不同界面上的反射和折射現(xiàn)象屬于邊值問題，是由波動的基本物理量在邊界上的行為確定的 [4]。 一般情況下的電磁場的邊值關(guān)系 .0)(,)(,)(,0)(12121212????????????BBnDDnαHHnEEn?????????????? (11) 式中 ? 和 ?? 是面自由電荷、電流密度。在絕緣介質(zhì)界面上， 0?? ， 0??? 。在討論時諧電磁波（單色波）時，介質(zhì)表面的邊值關(guān)系只需考慮以下兩式 .0)( ,0)( 12 12 ??? ??? HHn EEn ?????? （ 12） 假設(shè)入射波為單色平面波其波函數(shù)為 )](ie x p [),( i0ii0i ?? ???? trkEtrE ????? （ 13） 自介質(zhì) 1 射向介質(zhì) 2 的的界面（設(shè)界面是無窮大平面），分成一個反射波 ),(r trE?? 和一個折射波 ),(t trE?? ，且反射波和折射波也是平面波，它們的波函數(shù)為 [5] )](ie x p [),( r0rr0r ?? ???? trkEtrE ????? （ 14） )](ie x p [),( t0tt0t ?? ???? trkEtrE ????? （ 15） 由斯涅耳定律可知入射波、反射波和折射波的頻率相同。但是斯涅耳定律只給出了反射波，折射波和入射波傳播方向間的關(guān)系，而菲涅耳公式則描述了反射波，折射波和入射波在振幅和位相之間的定量關(guān)系。 本文只推導反射波，折射波和入射波電場 E? 的菲涅耳公式。可將電矢 量 E? 分解為一對正交的電場分量（ sE? ， pE? ），一個振動方向垂直于入射面（ ik? 與界面法線構(gòu)成的平面）的 s 振動和一 個振動方向平行于入射面的 p 振動，然后分別討論，之后利用疊加原理求出反射波 rE? 和折射波 tE? 。這是因為光波在界面反射和折射過程中， s 振動和 p 振動是兩個特征振動，即 s 振動和 p 振動之間互不交混，彼此獨立，有各自的的傳播特性，可由（ 12）式證明 [6]。與 sE? 聯(lián)系的光波被稱為 s 光；與 pE? 聯(lián)系的光波被稱為 p 光。因為要討論反射波和折射波的位相，必須先規(guī)定兩個振動的正向和負向。現(xiàn)在一般約定 s 振動以垂直紙面，向外為正；而 p 振動的正向滿足 ksp ??? //? 。當然 s 振動和 p 振動正向的選擇畢業(yè)設(shè)計（論文） 4 也可以是與此相反，這并不影響結(jié)果的普遍性。 圖 11 電矢量 E? 的分解 圖 12 s 振動和 p 振動的正向 s 光的菲涅耳公式 當入射波電場只有 s 振動時，反射波和折射波也只有 s 振動，且三者方向一致，根據(jù)（ 12）式，有 tosrosios EEE ?? （ 16） tt o prr o pii o p c o sc o sc o s ??? HHH ?? （ 17） 在非磁性各向同性介質(zhì)中 H? 和 E? 的數(shù)值關(guān)系滿足 EBH 001 ?? ?? （ 18） 且 E? 和 H? 正交，則由（ 17）（ 18）式可得 tt o s2rr o s1ii o s1 c o sc o sc o s ??? EnEnEn ?? （ 19） 再聯(lián)立（ 16）（ 19），可得電場的 s 光的反射波和入射波振幅比，反射系數(shù) sr 以及折射波和入射波振幅比，透射系數(shù) st ： t2i1i1i o st o sst2i1t2i1i o sr o ssc o sc o sc o s2c o sc o sc o sc o s???????nnnEEtnnnnEEr??????? （ 110） 將斯涅耳定律代入上式有 )s i n (c o ss i n2)s i n ()s i n (tiiti o st osstitii o sr o ss????????????????EEtEEr （ 111） sHr? rk? r?r? i? isH? ipE? ik? rpE? t? tpE? sHt? rk? 1 2 sEr rk? r?r? i? isE ipE ik? rpE t? tpE sHt rk? 1 2 畢業(yè)設(shè)計（論文） 5 p 光的菲涅耳公式 p 光的菲涅耳公式的推導與 s 光的菲涅耳公式的 推導完全一樣。只是要注意 p 光的正向規(guī)定?？傻?p 光的反射系數(shù) pr 和透射系數(shù) pt ： t1i2i1i o pt o ppt1i2t1i2i o pr o ppc o sc o sc o s2c o sc o sc o sc o s???????nnnEEtnnnnEEr??????? （ 112） 代入斯涅耳定律有 )c o s ()s i n (c o ss i n2)t a n ()t a n (titiiti o ptopptitiio pr o pp??????????????????EEtEEr （ 113） 把（ 111）和（ 113）稱為菲涅耳公式。 畢業(yè)設(shè)計（論文） 6 第 2 章 菲涅耳公式的討論 利用菲涅耳公式可以具體討論反射波和折射波的振幅、位相、偏振和光強度等性質(zhì)。一般分成兩種情形，光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)的情形以及光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)的 情形。 光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)時可設(shè) 11?n ， ?n (因為空氣的折射率為 1，玻璃的折射率為 )，利用菲涅耳公式可畫出 sr 、 pr 、 st 和 pt 隨入射角 i? 的變化曲線如圖 21（ a）。而光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)，這時可假設(shè) ?n ， 12?n ，同樣利用菲涅耳公式可畫出 sr 、pr 、 st 和 pt 隨入射角 i? 的變化曲線如圖 21（ b）。 （ a） 11?n ， ?n （ b） ?n ， 12?n 圖 21 sr 、 pr 、 st 和 pt 隨 i? 的變化曲線 振幅的變化規(guī)律 根據(jù)前文的定義可知，反射系數(shù)和透射系數(shù)的絕對值表示反射波和折射波相對入射波的振幅之比。由圖 21（ a）可以看出折射波的振幅隨著入射角 i? 的增大而減小。當 ???i時， 0s?t ， 0p?t ，表明掠入射時，不會發(fā)生折射現(xiàn)象，這與我們觀察到的現(xiàn)象相符。反射時， s 光的振幅隨著 i? 的增大而單調(diào)遞增到 1。 p 波的振幅先是隨著 i? 的增大而減??； Bi ??? 時，振幅為零； Bi ??? 時，隨著 i? 的 增大而單調(diào)遞增到 1。正入射是一種特殊情況， 0ti ???? ， ps rr? ， ps tt? ，菲涅耳公式簡化為 畢業(yè)設(shè)計（論文） 7 2110212102nnntnnnnr????? （ 21） 21 nn? 的情況分析方法同 21 nn? 的情況一樣，就不再贅述。 位相的變化規(guī)律 反射系數(shù)和透射系數(shù)的的符號表示反射波、折射波和入射波的位相關(guān)系。 21 nn? 的情況。對于折射波， st 和 pt 始終大于零，說明折射波和入射波位相相同。 sr 始終為負，這說明反射波的電場的 s 振動和入射波的電場的 s 振動的方向相反，即在界面處對于 s 光反射波相對入射波總有 ? 的位相的躍變。 Bi ??? 時， 0?pr ； Bi ??? 時，