【正文】 纖通訊。 人們現(xiàn)在已經(jīng)認(rèn)識(shí)到光是一種特殊頻率段的電磁波，要真正了解菲涅耳公式就必須先了解電磁理論。應(yīng)用麥克斯韋電磁理論的邊值條件可以推導(dǎo)出菲涅耳公式。如此對(duì)光的本質(zhì)有一個(gè)全面深刻的理解。光在反射時(shí)會(huì)發(fā)生一些特殊現(xiàn)象，如全反射，自然光的起偏，半波損失。菲涅耳公式完美地解釋了產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因。作為波動(dòng)光學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)公式，認(rèn)真學(xué)習(xí)、分析菲涅耳公式是很有必要的。 菲涅耳公式有很大的使用局限性，其使用條件要求兩介質(zhì)必須是均勻的透明的介質(zhì)。對(duì)于不均勻介質(zhì)如晶體、不透明介質(zhì)如金屬菲涅耳公式不再適用。但是 現(xiàn)在科技技術(shù)有要求菲涅耳公式有更廣的應(yīng)用范圍，為此要對(duì)菲涅耳公式進(jìn)行修正，以滿足科技發(fā)展，目前有很多專家致力于此。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 第 1 章 菲涅耳公式 菲涅耳的貢獻(xiàn) 光學(xué)是在 17世紀(jì)才真正開始發(fā)展的，當(dāng)時(shí)人們對(duì)光的本質(zhì)有兩個(gè)認(rèn)識(shí)，一個(gè)是以牛頓為代表的“微粒說(shuō)”，一個(gè)是以惠更斯為代表的“波動(dòng)說(shuō)”。由于牛頓的權(quán)威性，一直到 18世紀(jì)，科學(xué)家們普遍支持“微粒說(shuō)”。 19世紀(jì)由于托馬斯楊和菲涅耳的工作，波動(dòng)光學(xué)得到長(zhǎng)足發(fā)展，人們開始初步認(rèn)識(shí)光的本質(zhì)。麥克斯韋的電磁理論指出光是電磁波中的一種。 1905年愛因斯坦 提出光量子理論，認(rèn)為光同時(shí)具有微粒和波動(dòng)兩種屬性?，F(xiàn)在人們還在不斷探索去徹底認(rèn)識(shí)光的本質(zhì)。 菲涅耳（ ）是法國(guó)的著名物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家 ,主要貢獻(xiàn)是對(duì)光的本質(zhì)的研究， 并設(shè)計(jì)做了一些關(guān)于光的干涉、衍射和偏振等實(shí)驗(yàn)。 他 和 楊氏的工作 使光的波動(dòng)說(shuō)得以復(fù)興和完善。 為了紀(jì)念他對(duì)波動(dòng)光學(xué)的巨大貢獻(xiàn)，現(xiàn)在很多光學(xué)概念以菲涅耳命名。楊氏第一次成功測(cè)定了光的波長(zhǎng)，菲涅耳利用波的疊加原理補(bǔ)充了惠更斯原理，形成惠更斯 — 菲涅耳原理（ 從同一波陣面上各點(diǎn)發(fā)出的子波，同時(shí)傳到空間某點(diǎn)時(shí)，可以相互疊加產(chǎn)生干涉現(xiàn)象 ） [1]。該 原理 能分析、處理菲涅耳衍射問(wèn)題，夫瑯 和 費(fèi)衍射問(wèn)題 ， 定性 地 說(shuō)明光 的 衍射規(guī)律，正確地計(jì)算出衍射條紋及其強(qiáng)度分布，也能解釋光的直線傳播現(xiàn)象 。這是波動(dòng)光學(xué)的一個(gè)重要原理。菲涅耳 建立了波帶作圖法形式的衍射理論，特殊的定積分 — “菲涅耳積分 ”， 用半波帶方法計(jì)算了一些障礙物產(chǎn)生的衍射花紋， 并 和實(shí)驗(yàn)符合得很好 。例如，泊松亮斑 。 泊松亮斑和楊氏雙縫干涉有力地證明光是一種波，使光的微粒論開始崩潰，人們開始普遍接受光的波動(dòng)說(shuō)。在研究光在兩種介質(zhì)表面反射時(shí)的偏振現(xiàn)象時(shí)，楊氏提出了光波和弦中傳播的波相仿的假設(shè)，認(rèn)為光波是橫波。菲涅耳接受 了這個(gè)假說(shuō)，認(rèn)為光是在以太中傳播的機(jī)械波，而以太是一種密度極小的彈性介質(zhì)，并且具有其他很多性質(zhì) [2]。 菲涅耳給出了一些晶體光學(xué)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)解釋，引入了晶體里傳播的兩個(gè)波面，即球面與扁球面概念，并指出它們是各向異性的。他還引入了正的晶體和負(fù)的晶體概念，同時(shí)強(qiáng)調(diào)必須在各種不同的情況下建立晶體內(nèi)部的光程。 成功地解釋了光的干涉、衍射和偏振現(xiàn)象，并導(dǎo)出了菲涅耳公式 [3]。但隨著科學(xué)的發(fā)展以太論陷入危機(jī)。菲涅耳建立在以太的種種假設(shè)上的理論搖搖欲墜。但是 菲涅耳的研究使停滯百年之久的光學(xué)改變了面貌，光學(xué)的方法論基礎(chǔ)徹底發(fā)生了 變化 ， 他的學(xué)術(shù)思想和創(chuàng)造具有革命特色 。因此菲涅耳被人譽(yù)為“ 19世紀(jì)最偉大的科學(xué)家”、“波動(dòng)光學(xué)的奠基者”、“物理光學(xué)的締造者”和“物理光學(xué)之父”。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 菲涅耳公式的推導(dǎo) 麥克斯韋的電磁理論指出光是一種電磁波。由麥克斯韋方程組提供的邊值關(guān)系可知，任何波動(dòng)在不同界面上的反射和折射現(xiàn)象屬于邊值問(wèn)題，是由波動(dòng)的基本物理量在邊界上的行為確定的 [4]。 一般情況下的電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系 .0)(,)(,)(,0)(12121212????????????BBnDDnαHHnEEn?????????????? (11) 式中 ? 和 ?? 是面自由電荷、電流密度。在絕緣介質(zhì)界面上， 0?? ， 0??? 。在討論時(shí)諧電磁波（單色波）時(shí)，介質(zhì)表面的邊值關(guān)系只需考慮以下兩式 .0)( ,0)( 12 12 ??? ??? HHn EEn ?????? （ 12） 假設(shè)入射波為單色平面波其波函數(shù)為 )](ie x p [),( i0ii0i ?? ???? trkEtrE ????? （ 13） 自介質(zhì) 1 射向介質(zhì) 2 的的界面（設(shè)界面是無(wú)窮大平面），分成一個(gè)反射波 ),(r trE?? 和一個(gè)折射波 ),(t trE?? ，且反射波和折射波也是平面波，它們的波函數(shù)為 [5] )](ie x p [),( r0rr0r ?? ???? trkEtrE ????? （ 14） )](ie x p [),( t0tt0t ?? ???? trkEtrE ????? （ 15） 由斯涅耳定律可知入射波、反射波和折射波的頻率相同。但是斯涅耳定律只給出了反射波，折射波和入射波傳播方向間的關(guān)系，而菲涅耳公式則描述了反射波，折射波和入射波在振幅和位相之間的定量關(guān)系。 本文只推導(dǎo)反射波，折射波和入射波電場(chǎng) E? 的菲涅耳公式。可將電矢 量 E? 分解為一對(duì)正交的電場(chǎng)分量（ sE? ， pE? ），一個(gè)振動(dòng)方向垂直于入射面（ ik? 與界面法線構(gòu)成的平面）的 s 振動(dòng)和一 個(gè)振動(dòng)方向平行于入射面的 p 振動(dòng)，然后分別討論，之后利用疊加原理求出反射波 rE? 和折射波 tE? 。這是因?yàn)楣獠ㄔ诮缑娣瓷浜驼凵溥^(guò)程中， s 振動(dòng)和 p 振動(dòng)是兩個(gè)特征振動(dòng)，即 s 振動(dòng)和 p 振動(dòng)之間互不交混，彼此獨(dú)立，有各自的的傳播特性，可由（ 12）式證明 [6]。與 sE? 聯(lián)系的光波被稱為 s 光；與 pE? 聯(lián)系的光波被稱為 p 光。因?yàn)橐懻摲瓷洳ê驼凵洳ǖ奈幌?，必須先?guī)定兩個(gè)振動(dòng)的正向和負(fù)向。現(xiàn)在一般約定 s 振動(dòng)以垂直紙面，向外為正；而 p 振動(dòng)的正向滿足 ksp ??? //? 。當(dāng)然 s 振動(dòng)和 p 振動(dòng)正向的選擇畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 也可以是與此相反，這并不影響結(jié)果的普遍性。 圖 11 電矢量 E? 的分解 圖 12 s 振動(dòng)和 p 振動(dòng)的正向 s 光的菲涅耳公式 當(dāng)入射波電場(chǎng)只有 s 振動(dòng)時(shí)，反射波和折射波也只有 s 振動(dòng)，且三者方向一致，根據(jù)（ 12）式，有 tosrosios EEE ?? （ 16） tt o prr o pii o p c o sc o sc o s ??? HHH ?? （ 17） 在非磁性各向同性介質(zhì)中 H? 和 E? 的數(shù)值關(guān)系滿足 EBH 001 ?? ?? （ 18） 且 E? 和 H? 正交，則由（ 17）（ 18）式可得 tt o s2rr o s1ii o s1 c o sc o sc o s ??? EnEnEn ?? （ 19） 再聯(lián)立（ 16）（ 19），可得電場(chǎng)的 s 光的反射波和入射波振幅比，反射系數(shù) sr 以及折射波和入射波振幅比，透射系數(shù) st ： t2i1i1i o st o sst2i1t2i1i o sr o ssc o sc o sc o s2c o sc o sc o sc o s???????nnnEEtnnnnEEr??????? （ 110） 將斯涅耳定律代入上式有 )s i n (c o ss i n2)s i n ()s i n (tiiti o st osstitii o sr o ss????????????????EEtEEr （ 111） sHr? rk? r?r? i? isH? ipE? ik? rpE? t? tpE? sHt? rk? 1 2 sEr rk? r?r? i? isE ipE ik? rpE t? tpE sHt rk? 1 2 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 p 光的菲涅耳公式 p 光的菲涅耳公式的推導(dǎo)與 s 光的菲涅耳公式的 推導(dǎo)完全一樣。只是要注意 p 光的正向規(guī)定?？傻?p 光的反射系數(shù) pr 和透射系數(shù) pt ： t1i2i1i o pt o ppt1i2t1i2i o pr o ppc o sc o sc o s2c o sc o sc o sc o s???????nnnEEtnnnnEEr??????? （ 112） 代入斯涅耳定律有 )c o s ()s i n (c o ss i n2)t a n ()t a n (titiiti o ptopptitiio pr o pp??????????????????EEtEEr （ 113） 把（ 111）和（ 113）稱為菲涅耳公式。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 第 2 章 菲涅耳公式的討論 利用菲涅耳公式可以具體討論反射波和折射波的振幅、位相、偏振和光強(qiáng)度等性質(zhì)。一般分成兩種情形，光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)的情形以及光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)的 情形。 光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)時(shí)可設(shè) 11?n ， ?n (因?yàn)榭諝獾恼凵渎蕿?1，玻璃的折射率為 )，利用菲涅耳公式可畫出 sr 、 pr 、 st 和 pt 隨入射角 i? 的變化曲線如圖 21（ a）。而光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)，這時(shí)可假設(shè) ?n ， 12?n ，同樣利用菲涅耳公式可畫出 sr 、pr 、 st 和 pt 隨入射角 i? 的變化曲線如圖 21（ b）。 （ a） 11?n ， ?n （ b） ?n ， 12?n 圖 21 sr 、 pr 、 st 和 pt 隨 i? 的變化曲線 振幅的變化規(guī)律 根據(jù)前文的定義可知，反射系數(shù)和透射系數(shù)的絕對(duì)值表示反射波和折射波相對(duì)入射波的振幅之比。由圖 21（ a）可以看出折射波的振幅隨著入射角 i? 的增大而減小。當(dāng) ???i時(shí)， 0s?t ， 0p?t ，表明掠入射時(shí)，不會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，這與我們觀察到的現(xiàn)象相符。反射時(shí)， s 光的振幅隨著 i? 的增大而單調(diào)遞增到 1。 p 波的振幅先是隨著 i? 的增大而減小； Bi ??? 時(shí)，振幅為零； Bi ??? 時(shí)，隨著 i? 的 增大而單調(diào)遞增到 1。正入射是一種特殊情況， 0ti ???? ， ps rr? ， ps tt? ，菲涅耳公式簡(jiǎn)化為 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 2110212102nnntnnnnr????? （ 21） 21 nn? 的情況分析方法同 21 nn? 的情況一樣，就不再贅述。 位相的變化規(guī)律 反射系數(shù)和透射系數(shù)的的符號(hào)表示反射波、折射波和入射波的位相關(guān)系。 21 nn? 的情況。對(duì)于折射波， st 和 pt 始終大于零，說(shuō)明折射波和入射波位相相同。 sr 始終為負(fù)，這說(shuō)明反射波的電場(chǎng)的 s 振動(dòng)和入射波的電場(chǎng)的 s 振動(dòng)的方向相反，即在界面處對(duì)于 s 光反射波相對(duì)入射波總有 ? 的位相的躍變。 Bi ??? 時(shí)， 0?pr ； Bi ??? 時(shí)，