【正文】 概念。 非歐幾何與歐式幾何不同，區(qū)別在于幾何原本第五公 設(shè)，其出現(xiàn)對(duì)人類(lèi)的空間觀念產(chǎn)生了巨大的影響。非歐幾何主要分為羅氏幾何和黎曼幾何，愛(ài)因斯坦的天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 2 廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。由于在真實(shí)的三維自然界中并不存在非歐幾何所描述的空間和曲面，因此非歐幾何學(xué)對(duì)建筑領(lǐng)域的影響更多體現(xiàn)在空間觀念的更新。 作為一個(gè)古老的數(shù)學(xué)分支，幾何學(xué)與代數(shù)、分析等數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)相互交匯發(fā)展。 偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓通過(guò)對(duì)笛卡爾的《幾何學(xué)》和歐幾里得的《幾何原本》等幾何著作的學(xué)習(xí)，迅速跨進(jìn)了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)前沿 —— 微積分和解析幾何，從而誕生了劃時(shí)代巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》及牛頓三大 成就之一 —— 微積分的思想，這些卓越的成就為物理和數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)展提供了直接有效的理論基礎(chǔ)，開(kāi)辟了一個(gè)新紀(jì)元。愛(ài)因斯坦的一生中未曾發(fā)表過(guò)數(shù)學(xué)論文，但他的研究卻讓人知道怎樣透過(guò)幾何認(rèn)識(shí)物理，強(qiáng)調(diào)了近代微分幾何和古典歐式幾何在物理學(xué)研究中的重要性，他一直把幾何作為思考某些物理問(wèn)題的語(yǔ)言，物理理論推演的催化劑，空間及時(shí)空中的諸多現(xiàn)象的理解都以幾何為基礎(chǔ)，廣義相對(duì)論的提出和時(shí)空的研究就離不開(kāi)黎曼幾何。因此，幾何學(xué)對(duì)于物理和數(shù)學(xué)其它分支等自然學(xué)科的發(fā)展具有重要意義。 幾何學(xué)已經(jīng)深深融入并影響著我們的生活， 本文對(duì)園林設(shè)計(jì)、建 筑設(shè)計(jì)、機(jī)械加工及工業(yè)設(shè)計(jì)、流體力學(xué)、天文軍事、繪畫(huà)與服裝服飾等方面所蘊(yùn)含的幾何思維進(jìn)行探討，展現(xiàn)幾何之美以及幾何的重要性，引導(dǎo)人們?cè)谖磥?lái)更加有效的運(yùn)用幾何。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 3 2 園林設(shè)計(jì)中的幾何思維 幾何圖案 皆由 點(diǎn)、線(xiàn)、面 、體這些 抽象的 元素組合而 成 ，它們 來(lái)源于自然現(xiàn)象，是人類(lèi)對(duì)客觀事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的高度概括。 自然界 中真實(shí) 存在 的眾多事 物所 運(yùn)用 的幾何知識(shí)恰恰 反映了客觀事物有條理有秩序的組織形式以及有規(guī)律有節(jié)奏的變化狀態(tài)，進(jìn)而營(yíng)造 出一種 美的 意境。 點(diǎn)、線(xiàn)、面等基本 幾何 元素 的合理 、有效 運(yùn)用是 事物構(gòu)造 設(shè)計(jì)的基 本手法。下面我們討論在 園林設(shè)計(jì) 中這些基本元素的應(yīng)用。 園林設(shè)計(jì)中點(diǎn)的運(yùn)用 點(diǎn)是園林設(shè)計(jì)中最小的平面形態(tài)單位，它不僅有色彩、質(zhì)地之分，另有位置、巨細(xì)之別，是園林整體設(shè)計(jì)中的最基本要素，并有著特殊的作用。毫不夸張地說(shuō)，在空間里任何形狀的物體都可以看作一個(gè)點(diǎn)，例如園林中的每一棵樹(shù)就可以看做一個(gè)點(diǎn)，園林中必不可少的假山、池塘或水池起著畫(huà)龍點(diǎn)睛的同時(shí)亦可看做點(diǎn)來(lái)研究，點(diǎn)綴在湖中的亭榭、小島也是對(duì)點(diǎn)的靈活運(yùn)用。 對(duì)于園林而言，點(diǎn)的排列就組成了園林的樹(shù)植分布，如等距分布、間隔排列等；讓很多人 樂(lè)此不彼的植物迷宮更是點(diǎn)的排列的典型應(yīng)用。點(diǎn)的多種排列讓我們生活中的園林多姿多彩，格調(diào)節(jié)奏大不同；而不同物體作為不同形態(tài)的點(diǎn)，在園林整體的布局設(shè)計(jì)、山水和植株等局部的設(shè)計(jì)，或靜或動(dòng)，相互映襯呼應(yīng)，主次分明的同時(shí)又彰顯著重點(diǎn)，構(gòu)成了迷人的園林風(fēng)光。 園林設(shè)計(jì)中線(xiàn)的運(yùn)用 眾多的點(diǎn)排列在一起就會(huì)顯現(xiàn)出線(xiàn)的趨勢(shì)，園林中的直線(xiàn)設(shè)計(jì)透露著穩(wěn)定靜止之美，垂線(xiàn)設(shè)計(jì)有著嚴(yán)肅端正之感，而折線(xiàn)介入動(dòng)靜之間，半拋物線(xiàn)有流動(dòng)之感，波浪線(xiàn)有節(jié)奏感，雙曲線(xiàn)則有對(duì)稱(chēng)之美。線(xiàn)的運(yùn)用在起到劃分空間的同時(shí)也借助線(xiàn)路的曲直、交叉、寬窄等來(lái) 引導(dǎo)園林中人流的分流及聚集，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)向的功能。正是應(yīng)用了幾何中線(xiàn)的多樣性，園林才被設(shè)計(jì)得生動(dòng)無(wú)比而科學(xué)。 線(xiàn)作為最基本的造型要素之一，經(jīng)常作為景觀設(shè)計(jì)大師們的首選設(shè)計(jì)語(yǔ)言。丹麥著名的景觀設(shè)計(jì)師布蘭德特（ 18781945）時(shí)常通過(guò)運(yùn)用植物來(lái)構(gòu)造直線(xiàn)型的空間組合，直線(xiàn)的設(shè)計(jì)元素和直線(xiàn)型的空間組合方式在布蘭德特的所有設(shè)計(jì)中隨處可見(jiàn)， Hellerup 海岸公園、 Ordrup 私家花園中都明顯顯示出這一特點(diǎn)。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 4 圖 21： Hellerup 海岸公園中線(xiàn)的運(yùn)用 通過(guò)上圖不難看出， 線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)感和均衡感，被靈活地運(yùn)用到園林設(shè)計(jì)中 ，讓人為景觀越發(fā)的充滿(mǎn)生命，親近大自然。 我國(guó)的園林景觀設(shè)計(jì)中注重強(qiáng)調(diào)線(xiàn)的引導(dǎo)性作用和靈動(dòng)、流暢性。我國(guó)古典園林景觀 —— 廊道，就起著非常明顯的線(xiàn)條引導(dǎo)作用。正如彭一剛老師所言，只要有路，就必然會(huì)有通，而通則會(huì)給人帶來(lái)一種神往與期待的心境。設(shè)計(jì)師們正是借助線(xiàn)的這一特性表達(dá)思想，吸引著人們前往它所暗示的地方。 圖 22：蘇州園林湖中水榭：曲折廊道、圓形門(mén)洞 不難看出，我國(guó)園林景觀中的花木造型、山水體、構(gòu)建物等就是對(duì)曲線(xiàn)的靈活、流動(dòng)性的運(yùn)用：蜿蜒的溪流，峰巒疊翠、高低不一的假山，波浪狀的云墻、門(mén)洞和花窗等都是 借助曲線(xiàn)的靈動(dòng)展現(xiàn)美感。藝術(shù)效果多種多樣的線(xiàn)穿插組合，構(gòu)成了園林景觀的奇特造型魅力。 園林設(shè)計(jì)中面的運(yùn)用 面是點(diǎn)和線(xiàn)圍起來(lái)的區(qū)域，是園林設(shè)計(jì)中必不可少、使用最廣的元素。排列成行的植物、平靜的水面、相互交錯(cuò)的人行道等都可看作是面。園林設(shè)計(jì)常常借助“面”來(lái)給人視覺(jué)上的沖擊力從而展現(xiàn)其主題。例如，園林常借助植被的色彩來(lái)體現(xiàn)面的錯(cuò)位、旋轉(zhuǎn)，漸變等給人以多樣性與視覺(jué)美感。 我國(guó)園林素有“無(wú)園沒(méi)山，有園則有水”的說(shuō)法。水體、山石是以面為單位布局構(gòu)成景觀區(qū)域，如鏡般平靜的水面在增添園林靈氣的同時(shí)給予人的心靈撫慰； 一片片高矮不一的山石為園林賦予層次感的同時(shí)又豐富環(huán)境?？萆剿侨毡咎旖蚩萍即髮W(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 5 園林中縮微式的園林景觀，通過(guò)把細(xì)細(xì)的白砂石鋪在地面上并有序地疊放一些石組，劃出紋理從而模擬出水面的效果，美化園林的同時(shí)也使人的心境產(chǎn)生神奇的力量，這也是園林設(shè)計(jì)中對(duì)面的運(yùn)用。面的鮮明形態(tài)、隨意性和灑脫性在園林設(shè)計(jì)中淋漓盡致的發(fā)揮，使園林變得更有內(nèi)涵。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 6 3 建筑設(shè)計(jì)中的幾何思維 歐式幾何學(xué)思維運(yùn)用 歐式幾何作為幾何學(xué)的一個(gè)最古老分支，主要是研究點(diǎn)、線(xiàn)、面等二維和 三維空間。 三角形、圓、矩形等線(xiàn)與面成為設(shè)計(jì)師們最常使用的設(shè)計(jì)語(yǔ)言。下圖分別為福建省委黨校辦公樓和日本現(xiàn)代主義的著名寫(xiě)字樓“方斗”辦公大樓。 圖 31：福建省的省委黨校辦公樓 圖 32：安藤忠雄設(shè)計(jì)的“方斗”辦公大樓 以上建筑無(wú)論從整體外觀還是內(nèi)部結(jié)構(gòu)，都是三維幾何體。側(cè)面是直角三角形和矩形的福建省委黨校辦公樓，運(yùn)用多種基本幾何圖形組合、相交設(shè)計(jì)而成，是形和體的體現(xiàn)；“方斗”辦公大樓最大限度的簡(jiǎn)化樓體的結(jié)構(gòu)，單以四個(gè)倒梯形集合體組合成簡(jiǎn)潔卻又極具個(gè)性的建筑作品。 另外，我們熟悉的北京奧運(yùn)主場(chǎng)館“ 鳥(niǎo)巢”是通過(guò)線(xiàn)的交錯(cuò)搭建而成，看似不規(guī)則，其實(shí)包含著幾何學(xué)和力學(xué)的知識(shí)，“鋼鐵線(xiàn)”來(lái)回穿梭遍布整個(gè)主館的外表面，簡(jiǎn)約而又不失藝術(shù)感。 拓?fù)鋷缀螌W(xué)思維運(yùn)用 拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何對(duì)象在連續(xù)變換的情況下依舊保持穩(wěn)定、不變特性的數(shù)學(xué)。所謂連續(xù)變換是使幾何對(duì)象受到彎曲、拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)或這些情況的任意組合，變換前連在一起的點(diǎn)變換后仍連在一起，相對(duì)位置不變 [7]。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 7 在建筑界，拓?fù)鋵W(xué)深受建造師們的喜愛(ài)，例如莫比烏斯環(huán)面。著名的莫比烏斯大廈整個(gè)頂部的造型就是一個(gè)龐大而極具藝術(shù)氣息的莫比烏斯畫(huà)面，聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)工作室在構(gòu)思設(shè)計(jì) 這個(gè)建筑的時(shí)候非常巧妙的通過(guò)概念圖解的方式形象的表述了莫比烏斯環(huán)面這一空間概念。 圖 33：莫比烏斯住宅的簡(jiǎn)單幾何圖解和實(shí)物圖。 邊長(zhǎng)為 1 半徑為 1 的所處位置為 xoy 平面，中心為 ? ?0,0,0 的莫比烏斯環(huán)面的參數(shù)方程為： ? ? ? ?? ? ? ?? ?????????????????????????????????????????????2s in2,s in2c o s21,c o s2c o s21,uvvuzuuvvuyuuvvux 其中 ?20 ??u 且 11 ??v 。莫比烏斯住宅的幾何分解就是在 xoy 平面上兩條互鎖的線(xiàn)扭轉(zhuǎn)構(gòu)成的，這一扭轉(zhuǎn)使功能、整體結(jié)構(gòu)及交通流線(xiàn)有效、流暢地組合在了一起。從幾何平面和剖面的角度來(lái)理解莫比烏斯環(huán)面，它展現(xiàn)出來(lái)的連續(xù)面構(gòu)成的空間讓人有一種共享空間的錯(cuò)覺(jué)。 拓?fù)鋵W(xué)將連續(xù)性的概念帶入了建筑學(xué)中，使得由簡(jiǎn)單的拓?fù)渥儞Q可造就出復(fù)雜的建筑空間。下圖為浙 江金華建筑藝術(shù)公園的閱讀空間。 圖 34：浙江金華建筑藝術(shù)公園的閱讀空間和解剖圖 建筑大師赫爾佐格在有限的空間里（ m8m8m8 ?? ）進(jìn)行一系列的空間拓?fù)涮旖蚩萍即髮W(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 8 變換設(shè)計(jì)成以孔洞形式存在的復(fù)雜空間，并用 300 多張的剖面圖對(duì)這個(gè)小建筑進(jìn)行解讀。赫爾佐格的構(gòu)思來(lái)源于我國(guó)古典園林的隔扇，選取一個(gè)展開(kāi)立方體面，再將其圍成一個(gè)立方體，然后對(duì)這個(gè)新圍成的立方體按照隔扇的孔洞進(jìn)行拓?fù)鋵W(xué)的變換，就產(chǎn)生了這個(gè)復(fù)雜的拓?fù)淇臻g。 多面體幾何學(xué)思維運(yùn)用 古希 臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了三維多面凸體，之后開(kāi)普勒和普安索發(fā)現(xiàn)了內(nèi)凹多面體。豐富的多面體和多樣的組合方式吸引了建筑師們的目光，他們運(yùn)用這些產(chǎn)生了各種匪夷所思的空間形態(tài)和空間變換。建筑師們通過(guò)對(duì)各種多面體的復(fù)雜組合造就了一大批有著大量表面、迎合現(xiàn)代人新奇感的建筑。下圖為其設(shè)計(jì)在國(guó)際上備受贊譽(yù)的波爾圖音樂(lè)廳。 圖 35：波爾圖音樂(lè)廳 復(fù)雜多變的建筑立面為波爾圖音樂(lè)廳的內(nèi)部產(chǎn)生了許多大小不一的空間，這個(gè)設(shè)計(jì)不僅能有效地達(dá)到想要的音樂(lè)效果，從外部各角度看還給人一種全新的視覺(jué)上的享受。音樂(lè)廳的內(nèi)部也是各種不規(guī)則的空間構(gòu) 成，例如讓人產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)的傾斜天花板、彎曲的樓梯或走廊、四面體的空間等。設(shè)計(jì)者庫(kù)哈斯有效的運(yùn)用不同數(shù)量的面構(gòu)成多面體，使得整個(gè)建筑不管是外部還是內(nèi)部都交輝相應(yīng)，多面體的奇異感被展現(xiàn)無(wú)遺，使其功能與藝術(shù)有機(jī)結(jié)合。 非歐幾何學(xué)思維運(yùn)用 歐氏幾何在其問(wèn)世開(kāi)始的兩千多年一直占據(jù)著空間，隨著羅巴切夫斯基提出了非歐幾何學(xué)這個(gè)概念之后，情況慢慢的發(fā)生了微妙的變化。非歐幾何這一偉大數(shù)學(xué)成就極大推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，而且對(duì)當(dāng)代空間概念的革新帶來(lái)了深遠(yuǎn)的影響。非歐幾何學(xué)在建筑學(xué)中的影響更多表現(xiàn)在空間概念上，也普遍運(yùn)用于現(xiàn)代建筑 中流暢的曲面和三維流線(xiàn)造型。 著名建筑大師扎哈哈迪德就是非歐幾何的擁護(hù)者，流暢建筑形態(tài)、玲瓏柔順的曲線(xiàn)是她作品中最常見(jiàn)的構(gòu)圖思維。一句“沒(méi)有曲線(xiàn)就沒(méi)有未來(lái)??”把她對(duì)非歐幾何的熱愛(ài)表露無(wú)遺。下圖為她設(shè)計(jì)的香奈兒移動(dòng)展覽館。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 9 圖 36：巴黎香奈兒流動(dòng)藝術(shù)展覽館的內(nèi)部局部視圖、外部整體視圖和俯視結(jié)構(gòu)圖。 整個(gè)建筑體不管是表面還是內(nèi)在，都是通過(guò)對(duì)連續(xù)變換、平滑流暢過(guò)渡、曲線(xiàn)幾何形的空間形態(tài)研究后設(shè)計(jì)出來(lái)的。復(fù)雜的幾何曲面是整個(gè)建筑最顯著的特點(diǎn)。這個(gè)流線(xiàn)曲面的建筑內(nèi)部和外部空間都設(shè)計(jì)得非常圓滑柔順、 呈現(xiàn)出一種動(dòng)態(tài)的流暢感，其設(shè)計(jì)展現(xiàn)出了與歐幾里得空間完全相異的嶄新面貌。 雪花、云彩、綿延的山脈，蜿蜒曲折的海岸線(xiàn)，這些美妙的大自然形態(tài)存在的不規(guī)則性與復(fù)雜性是歐氏幾何難以解釋的。 1975 年，數(shù)學(xué)家曼德?tīng)柌剂_特在他的著作《分形：形式、偶然、維數(shù)》中首次使用了“分形”這個(gè)詞語(yǔ)。他發(fā)現(xiàn)上述的這些大自然事物中具有自相似的結(jié)構(gòu)，他將這種結(jié)構(gòu)統(tǒng)稱(chēng)為分形幾何。 分形幾何和建筑學(xué)之間有著特別的內(nèi)在聯(lián)系。西方中世紀(jì)的哥特式教堂有著十分顯著的分形特征。 圖 37：典型教堂建筑（圣彼得堡大教堂）的俯視的平面布局圖和窗 這些教堂的整體構(gòu)造是以軸對(duì)稱(chēng)或者中心對(duì)稱(chēng)建造具有“ Koch 曲線(xiàn)”的分形特征的自相似建筑群體，精細(xì)的建筑構(gòu)件重復(fù)地出現(xiàn)，從教堂裝飾花紋到窗戶(hù)再到各面墻體都是有自相似韻律的編排將教堂設(shè)計(jì)成逐漸地變化親近人們同時(shí)又恢弘而有趣的建筑。 此外，舉世聞名的旅游景點(diǎn)的埃菲爾鐵塔也有著分形幾何的身影。設(shè)計(jì)師把天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 10 埃菲爾鐵塔的整個(gè)塔身設(shè)計(jì)成 4 個(gè) A 形狀的結(jié)構(gòu)體，塔身的鋼鐵架構(gòu)的細(xì)件設(shè)計(jì)采用的都是多層次、自相似漸變的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，這樣在達(dá)到基本承重的同時(shí)又很好得減小了塔的重量。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 11 4 機(jī)械加工及工業(yè)設(shè)計(jì)中的幾何思維 光學(xué)系統(tǒng) 在處理光學(xué)問(wèn)題時(shí)，有效地運(yùn)用幾何方法將提供許多便利與途徑。 我們知道，高斯公式