13 算法案例 教案2-文庫(kù)吧
2024-11-08 23:21 本頁(yè)面
【正文】 右起向左分別是個(gè)位、十位、百位、千位、萬(wàn)位??它可以用 10 的冪的形式寫成，如 67890 可以寫成 6 104+7 103+8 102+9 101+0 100. 其他進(jìn)位制也可以類似地用基數(shù)的冪的形式，如： 111111（ 2） =125+1 24+1 23+1 22+1 21+1 20， 654321（ 7） =6 75+5 74+4 73+3 72+2 71+1 70. 上述方法實(shí)質(zhì)上是將不同進(jìn)制的 數(shù)轉(zhuǎn)化成了十進(jìn)制的數(shù)，這類問(wèn)題可統(tǒng)一由程序來(lái)實(shí)現(xiàn) . 日常生活中和普遍數(shù)學(xué)中用的都是十進(jìn)制 .日常生活中有七進(jìn)制（一周 7 天）、十二進(jìn)制（一年 12 個(gè)月）、六十進(jìn)制（ 1 小時(shí)60 分， 1 分鐘 60 秒），等，基數(shù)一般標(biāo)在右下角 . 基數(shù)不同，選用的數(shù)字也不同 ， 如二進(jìn)制用 0 和 1，六進(jìn)制用 0， 1， 2， 3， 4， 5. 我們也能把十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為其他進(jìn)制的數(shù)，用除 K 取余法 .方法是：用 K 連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，或所得的商，一直到商為 0 止，然后取其余數(shù)，把這些余數(shù)順次排起來(lái)，就是 K 進(jìn)制的數(shù) .如 ， 將 1285 化為 16 進(jìn)制的數(shù)： 任何一種進(jìn)位制的 數(shù)都可以寫成不同位上的數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式 . 1285805161616 0 505余數(shù) 最后一個(gè)余數(shù)寫在首位，其次是倒數(shù)第二個(gè)余數(shù)，依次遞推 . 故 1285=505（ 16） 在實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)很多，只要我們留心，世界上到處充滿著數(shù)學(xué)的氣息，我國(guó)古代勞動(dòng)人民在這方面積累了大量的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，有興趣的同學(xué)不妨上網(wǎng)查閱一下有關(guān)資料 . 驗(yàn)證： 505（ 16） =5 162+0 161+ 5 160 =5 256+5=1285. ［典型例題探究］ 規(guī)律發(fā)現(xiàn) 【例 1】 我國(guó)《算 經(jīng)十書》之一《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二 .問(wèn)物幾何？答曰：二十三 .”你能用程序解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 分析：設(shè)物共 m 個(gè)，被 3， 5， 7 除所得的商分別為 x、 y、 z，則這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于求不定方程 這個(gè)問(wèn)題的通用解法稱為“孫子剩余定理”或“中國(guó)剩余定理” .著名的“韓信點(diǎn)兵問(wèn)題”即為此例的應(yīng)用 . ???????????27,35,23zmymxm 的正整數(shù)解 . m 應(yīng)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（ 1） m MOD 3=2；（ 2） m MOD 5=3； （ 3） m MOD 7=，可以讓 m 從 2 開始檢驗(yàn)，若 3 個(gè)條件中有任何一個(gè)不成立，則 m 遞增 1，一直到 m 同時(shí)滿足三個(gè)條件為止 . 考慮到 m 被 7 除余數(shù)為 2，故 m 至少是 9，也可以從 m=9開始驗(yàn)證 . 解： m=2 f=0 WHILE f=0 IF m MOD 3=2 AND m MOD 5=3 AND m MOD 7=2 THEN PRINT “物體的個(gè)數(shù)為：”； m f=1 ELSE 設(shè)置 f=0， f=1 的目的是讓循環(huán)進(jìn)行或結(jié)束，否則循環(huán)無(wú)法停下來(lái) .此處讓 f=0 時(shí)進(jìn)行循環(huán)， f=1時(shí)中止循環(huán) . m=m+1 END IF WEND END 實(shí)際上按此法求出來(lái)的只是符合條件的最小正整數(shù) . 【例 2】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張邱建編《張邱建算經(jīng)》中記有有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一凡百錢，買雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”你能用程序解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 分析：設(shè)雞翁、母、雛各 x、 y、 z 只，則 這個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上稱為“百雞問(wèn)題” . ???????????②，①，100100335zyxzyx 由② ， 得 z=100－ x－ y， ③ 把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為 二元一次不定方程 . ③代入① ， 得 5x+3y+ 3100 yx?? =100， 即 7x+4y=100. ④ 求方程④的解，可由程序解之 . 解： x=1 y=1 WHILE x＜ =14 WHILE y＜ =25 IF 7*x+4*y=100 THEN z=100－ x－ y PRINT “雞翁、母、雛的個(gè)數(shù)別為：”； x， y， z END IF y=y+1 WEND x=x+1 y=1 WEND END 實(shí)際上，該題可以不對(duì)方程組進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過(guò)設(shè)置多重循環(huán)的方式得以實(shí)現(xiàn) .由①、②可得 x最大值為 20， y最大值為 33， z最大值為 100，且z 為 3 的倍數(shù) .程序如下： 從 x 的最小值開始驗(yàn)證，循環(huán)進(jìn)行 . 由于 7x+4y=100， 且 x、 y∈ Z
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