【正文】 第 一題計分。 22． （本小題滿分 10 分） 已知在直角坐標系 xOy 中，以 O 為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系， 曲線 C1的參數方程為：212222xtyt? ?????? ?? ???， 曲線 C2的極坐標方程： ? ?221 sin 8????， （ 1） 寫出 C1和 C2的普通方程； （ 2） 若 C1與 C2交于兩點 A， B，求 AB 的值． 23． （本小題滿分 10 分） 已知函數 ? ? 2 13f x x??， （ 1） 若不等式 ? ?f x x a?≥ 恒成立，求實數 a 的取值范圍； （ 2） 若對于實數 x， y，有 11 3xy??≤ ， 1233y? ≤，求證 : ? ? 23fx≤ ． 理科數學（一）答案 第 I 卷 一、選擇題：本題共 12小題，每小題 5 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1． 【答案】 B 【解析 】 因為 2 2 2 0xx? ? ? ，所以 1iz?? ，所以 221 1 2z ? ? ? ． 故 選 B． 2． 【答案】 A 【解析】 根據題意可得 ? ? ? ?| 2 , | 2 1B y y x x A y y? ? ? ? ? ? ? ?， 2| ln1xC x y x ?????????? ? ? ? ?? ? ? ?| 2 1 0 | 1 2x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?，則 BC? ? ?| 1 1xx? ? ? ． 故 選 A． 3． 【答案 】 D 【解析】 因為 3 6S? ，所以 2 2a? ，因為 9 11 13 60a a a? ? ? ，所以 11 20a ? ，所以公差11 2 211 2aad ???? ， 所 以 12 11 20 2 22a a d? ? ? ? ?， 所以1 1 313 13( )2aaS ???2 1213( )aa? 156? ． 故 選 D． 4． 【答案】 D 【解析】 1 1 25 3 32288C C C 9C C 1 4P ? ? ?． 故 選 D． 5． 【答案】 B 【解析】 此三視圖的幾何體如圖： 2BC CD??， 5AB AC??， 22BD? ， 3AD? ， 2ABC BC DSS??△ △ ，5ACDS ?△ ， 2 2 2 10c o s 2 1 0A B B D A DABD A B B D??? ? ??， 3 10sin 10ABD??， 1 3 1 05 2 2 32 1 0ABDS ? ? ? ? ?△ ， ∴ 75S?? ． 故 選 B． 6． 【答案】 D 【解析】 根據題意可得，設 ABa? ，則 3BD a? ， BCa? ，在 DBC△ 中， 120BCD? ? ?，40CD? ，由余弦定理得 2 2 2 2 c osBD BC C D BC C D BC D? ? ? ? ? ?， 即：? ?2 223 4 0 2 4 0 c o s 1 2 0a a a? ? ? ? ? ?， 整理得： 2 20 800 0aa? ? ?，解得 40a? 或20a?? （舍），所以 40AB? ． 故 選 D． 7． 【答案】 B 【解析】 因為 ? ?y f x??為偶函數，所以 ? ?? ? ? ?f x f x? ? ? ?，所以 ? ? ? ?f x f x?? ，所以 ? ?y f x? 為偶函數，又 ? ?2y f x??是偶函數，所以 ? ? ? ?22f x f x? ? ? ?，當 1x ? 時，? ? ? ?13ff? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 π3 3 3 2 3 2 1 3F f f f f? ? ? ? ? ?． 故 選 B． 8． 【答案】 D 【解析】 由拋物線的對稱性知， AB x? 軸，且 AB 是焦點弦，故 2AB p? ，所以KABS ?△ 1 2422pp????????24? ，解得 12p?? （舍去）或 4 ，所以焦點坐標為 ? ?2,0 ，直線 AB 的方程為 2x? ，所以 以直線 AB 為準線的拋物線標準方程是 2 8yx?? ． 故 選 D． 9． 【答案】 D 【解析】 當 2n? 時， 2122aa??， ? ? 22121 32 aSS?? ? ?， 當 3n? 時， 3224aa??， ? ? 33231 112 aSS?? ? ?， 當 4n? 時， 4328aa??， ? ? 44341 312 aSS?? ? ?， 當 5n? 時， 542 16aa??， ? ? 55451 792 aSS?? ? ?， 輸出． 故 選 D． 10． 【答案】 B 【解析】 因為 A1B∥ D1C， 所以 CP與 A1B 成角可化為 CP與 D1C成角，顯然當 P 與 A 重合時， 異面直線 CP 與 BA1所成的角最大，所以1 1 1 131 1 1 1 1113 2 3C P A D C A D A aV V A B A A A D??? ? ? ? ? ? ?． 故選 B． 11． 【答案】 C 【解析】 因為 πT? ，則 2?? ，所以 ? ? sin( 2 )f x x ???，所以 ? ? si n( 2 ) 1g x x ?? ? ?，所以函數 ? ? sin ( 2 ) 1 1g x x ?? ? ? ?，所以 sin(2 ) 0x ???，所以 2 π π 22πk x k?? ? ? ?，k?Z ；又 π π,3 12x ??? ? ?????，所以 2π π2,36x ??? ? ?????， 2 π π2,36x ? ? ???? ? ? ? ? ?????，所以2π π3π 06???? ? ?????????≥≤，所以 π π36?? ≤ ≤ ，又 π,02? ????????，所以 π,03? ????????，所以 ? 取得 最小值 π3?時 ， π π π 3s in ( 2 ) 14 4 3 2g ?? ? ? ? ? ?????，所以 π4g??????的值是 32． 故 選 C． 12． 【答案】 B 【解析】 ① 函數 ??fx的定義域 是 ? ? ? ?, 0 0,?? ??， ? ? 2 ln xf x x x? ? ? ， 不滿足函數奇偶性定義，所以函數 ??fx非奇非偶函數 ， 所以 ① 錯誤； ② 取 1x?? ， 1x? ， ? ?1f ? ? ?11f??，所以函數 ??fx在 ? ? ? ?, 0 0,?? ??不是單調函數，所以 ② 錯誤； ③ 當0x? 時， ? ? 2 ln xf x x x?? ， 要使 ? ? 0fx? ， 即 2 ln 0xx x??，即 3 ln 0xx??， 令? ? 3 lng x x x??， ? ?39。213g x x x??， ? ?39。 0gx? ， 得 313x? ， 所以 ??gx在 3 10, 3??????上 遞減，在 3 1,3????????上 遞增，所以 ? ? 3 1 03g x g ???????≥， 所以 ③ 正確； ④ 當 0x? 時，函數? ?2 ln xyx x??? 的 零點 即為 ? ?2 ln 0xx x???的 解，也就是 ? ?3 ln 0xx? ? ? ， ? ?3 lnxx??等價于函數 ? ? 3f x x? 與函數 ? ? ? ?lnh x x??圖像有交點， 在同一 坐標系畫出這兩個函數圖像，可知他們只有一個交點 ， 所以 ④ 是正確的． 故 選 B． 第 Ⅱ 卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第 13~21 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22~23 題 為選考題，考生根據要求作答。 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分。 13． 【答案】 115 【解析】 分三類，兩輛藍色共享單車，有 2246CC 90? 種，三輛藍色共享單車，有 3146CC 24?種，四輛藍色共享單車，有 44C1? 種，根據分類計數原理可得，至少有兩輛藍色共享單車的取法種數是 90+24+1＝ 115． 14． 【答案】 － 3600 【解析】 由 題意可知， AM ⊥ BM ， PQ ⊥ BA ， MP MQ?? ， 所以 AQBP? ＝ ? ?? ?A M M Q B M M P?? A M B M A M M P B M M Q M P M Q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 A M M P B M M P M P M P? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2M P A M B M M P? ? ? 2M P AB M P? ? ? 36