高中數(shù)學(xué) 1-1 第2課時數(shù)列的函數(shù)特性同步導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修5-文庫吧
2024-10-30 20:40 本頁面
【正文】 令 3(4n+3)=153，解得 n=12. 故填充完整的表 格為： n 1 2 ? 5 ? 12 ? n an 21 33 ? 69 ? 153 ? 3(3+4n) (2)∵ an=3n1，列表： n 1 2 3 4 ? an 1 3 9 27 ? 在直角坐標(biāo)系中圖像如下： ［說明］ (1)列表法不必通過計算就能知道兩個變量間的對應(yīng)關(guān)系，比較直觀，但它只能表示有限個元素之間的對應(yīng)關(guān)系； (2)數(shù)列 an=3n1的圖像是函數(shù) y=3x1 (x0)上的無窮多個孤立的點(diǎn) . 變式應(yīng)用 1 已知數(shù)列 {an}的通項公式為 an=2n1,作出該數(shù)列的圖像 . ［解析 ］ 分別取 n=1,2,3,? ,得到點(diǎn)（ 1,1） ,(2,3),(3,5),? ,描點(diǎn)作出圖像 .如圖，它的圖像是直線 y=2x1上的一些等間隔的點(diǎn) . 命題方向 數(shù)列單調(diào)性的判斷 ［例 2］ 已知函數(shù) f(x)=2x2x，數(shù)列 {an}滿足 f(log2an) =2n. (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； （ 2）求證數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列 . ［分析］ （ 1）已知函數(shù)關(guān)系式，由條件可得出 2log2an2log2an=2n,解這個關(guān)于 an的方程即可；（ 2）只需證明 an+1an0或1?nnaa 1(an0)即可 . ［解析］ （ 1）∵ f(x)=2x2x,f(log2an)=2n, ∴ 2log2an2log2an=2n,anna1 =2n, ∴ an2+2nan1=0,解得 an=n177。 12?n . ∵ an0,∴ an= 12?n n. （ 2）nnaa1? = nn nn ?? ???? 1 )1(1)1( 22 =)1(1)1( 122???? ?? nn nn1. 即 {an}是遞減數(shù)列 . ［說明］ 我們常把遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列，由于數(shù)列可看作是一個特殊的函數(shù)，因此，判斷函數(shù)性質(zhì)的方法同樣適用于數(shù)列 .比較 an與 an+1大小的常用方法有：①作差法：若 an+1an0,則數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列；若 an+1an0，則數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列 .②作商法：若nnaa1? 1,則數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列；若nnaa1? 1，則數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列 . 變式應(yīng)用 2 寫出 數(shù)列 1, 42 ,73 ,104 ,135 ,?的通項公式，并判斷它的增減性 . ［解析］ 該數(shù)列的通項公式為 an= 23?nn , ∴ an+1an=2)1(3 1???nn 23?nn =)23)(13( 2 ?? ? nn. ∵ n∈ N+,∴ (3n+1)(3n2)0, ∴ an+1an,∴該數(shù)列為遞減數(shù)列 . 命題方向 數(shù)列中最大項與最小項的求法 ［例 3］ 求數(shù)列 {2n2+9n+3}中的最大項 . ［分析］ 由通項公式可以看出 an 與 n 構(gòu)成二次函數(shù)關(guān)系，求二次函數(shù)的最值可采用配方法 .此時應(yīng)注意自變量 n為正 整數(shù) . ［解析］ 由已知 an=2n2+9n+3=2(n49 )2+ 8105 . 由于 n為正整數(shù) ,故當(dāng) n=2時 ,an取得最大值為 13. 所以數(shù)列 {2n2+9n+3}的最大值為 a2=13. ［說明］ 數(shù)列的項與項數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系 ,因此有關(guān)數(shù)列的最大項與最小項問題可用函數(shù)最值的求法去解決 ,但要注意函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這一約束條件 . 變式應(yīng)用 3 已知數(shù)列 {an}的通項公式為 an=n25n+4. (1)數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？ （ 2） n為何值時， an有最小值？并求出最小值 . ［解析］ （ 1）由 n25n+40,解得 1n4. ∵ n∈ N＋ ,∴ n=2,3. ∴數(shù)列有兩項是負(fù)數(shù) . （ 2）∵ an=n25n+4=（ n25 ） 249 ,可知對稱軸方程為 n=25 =. 又∵ n∈ N＋ ,∴ n=2或 3時， an有最小值，其最小值為 225 2+4=2. 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 數(shù)列的實際應(yīng)用題 ［例 4］ 在一次人才招聘會上，有 A、 B兩家公司分別開出它們的工資標(biāo)準(zhǔn)： A公司允諾第 一年月工資 1500 元，以后每年月工資比上年月工資增加 230元， B公司允諾第一年月工資為 2020 元，以后每年月工資在上年月工資的基礎(chǔ)上增加 5%，設(shè)某人年初被 A、 B兩家公司同時錄取，試問：該人在 A公 司工作比在 B公司工作月工資收入最多可以多多少元？并說明理由 (精確到 1元 ). ［分析］ 根據(jù)題意，先建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)建立的函數(shù)模型解決問題 .由
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