高中數(shù)學 3-4 第1課時二元一次不等式（組）與平面區(qū)域同步導學案 北師大版必修5-文庫吧
2024-10-30 17:32 本頁面
【正文】 3=0（用實線表示），取原點（ 0,0）代入檢驗，從而判斷出2x+y3≤ 0表示的平面區(qū)域 . ［解析］ （ 1）先畫出直線 2x+y10=0（畫成虛線） , 取點（ 0,0），代入 2x+y10，得 2 0+010=100, ∴ 2x+y100表示的平面區(qū)域是直線 2x+y10=0的左下方的平面區(qū)域，如圖（ 1）所示 . (2)將 y≤ 2x+3變形為 2x+y3≤ 2x+y3=0（畫成實線） .取點 （ 0,0），代入 2x+y3，得 2 0+03=30，∴ 2x+y3≤ 0 表示的平面區(qū)域是直線 2x+y3=0 以及其左下方的平面區(qū)域 ,如圖（ 2）所示 . ［說明］ 畫二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的一般步驟為：①“直線定界”，即畫出邊界 Ax+By+C=0，要注意是虛線還是實線；②“特殊點定域”，取某個特殊點（ x0,y0）作為測試點，由 Ax0+By0+C的符號確定出所求不等式表示的平面區(qū)域 .當 C≠ 0時，通常取原點(0,0)作為測試點 . 變式應(yīng)用 1 畫出不等式 x+2y4＜ 0表示的平面區(qū)域 . ［解析］ 先畫直線 x+2y4=0(畫成虛線） . 把原點（ 0,0)的坐標代入 x+2y4，則 0+2 04=4＜ 0，所以原點在 x+2y4＜ 0 表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以不等式 x+2y4＜ 0表示的區(qū)域如圖所示中的陰影 部分 . 命題方向 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 xy+5≥ 0 ［例 2］ 畫出不等式組 x+y≥ 0,表示的平面區(qū)域 . x≤ 3 ［分析］ 不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分 . ［解析］ 不等式 xy+5≥ 0表示直線 xy+5=0及其右下方的平面區(qū)域， x+y≥ 0表示直線 x+y=0 及其右上方的平面區(qū)域， x≤ 3 表示直線 x=3 及其左側(cè)的平面區(qū)域，所以不等式組 xy+5≥ 0 x+y≥ 0，表示的平面區(qū)域如圖所示 . x≤ 3 ［說明］ 畫不等式組表示的平面區(qū)域時，只需作出每一個不等式所表示的平面區(qū)域， 再求出它們的公共部分即可 . x3 變式應(yīng)用 2 畫出不等式組 2y≥ x ,表示的平面 區(qū)域 . 3x+2y≥ 6 3yx+9 ［解析］ 不等式 x3表示直線 x=3左側(cè)的平面區(qū)域 .不等式 2y≥ x,即 x2y≤ 0表示直線 x2y=0及其左上方的平面區(qū)域 .不等式 3x+2y≥ 6，即 3x+2y6≥ 0表示直線 3x+2y6=0及其右上方的平面區(qū)域 .不等式 3yx+9表示直線 x3y+9=0右下方的平面區(qū)域 .所以原不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 . 命題方向 求平面區(qū)域的面積 xy+6≥ 0 ［例 3］ x+y≥ 0 ，所表示的平面區(qū)域，并求出平面區(qū)域的面積 . x≤ 3 ［分析］ 先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再求其面積 . ［解析］ 先畫出直線 xy+6=0（畫成實線），不等式 xy+6≥ 0表示直線 xy+6=0及其右下方的平面區(qū)域 .畫出直線 x+y=0(畫成實線 )，不等式 x+y≥ 0表示直線 x+y=0及其右上方的平面區(qū)域 .畫出直線 x=3（畫成實線），不等式 x≤ 3表示直線 x=3及其左側(cè)的平面區(qū)域 .所以原不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示 .因此其區(qū)域面積即為△ ABC 的面積 .由于直線xy+6=0與直線 x+y=0 垂直，所以△ ABC為直角三角形 . x=3 由 ,得 B(3,3). x+y=0 x=3 由 得 C(3,9). xy+6=0 x+y=0 由 得 A(3,3). xy+6=0 所以 |AB|=6 2 ,|AC|=6 2 , 所以 S△ ABC=21|AB| |AC|=21 6 2 6 2 =36, 所以原不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 36. ［說明］ 解本題時注意到： AB⊥ AC，聯(lián)立方程組解得 A,B,C 三點的坐標，經(jīng)計算求得△ ABC為等腰直角三角形，從而其面積可求 . 變式應(yīng)用 3 求由不等式 y≤ 2及 |x|≤ y≤ |x|+1所表示的平面區(qū)域的面積 . ［解析］ 可將兩個原不等式轉(zhuǎn)化成如下兩個不等式組 : x≥ 0, x0, ① y≥ x, 或② y≥ x, y≤ x＋ 1, y≤ x+1, y≤ 2, y≤ 2. 上述兩個不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示 ,它所圍成的面積為 S=21 4 221 2 1=3. 命題方向 求范圍問題 ［例 4］ 已知 D 是以點 A(4,1),B(1,6),C(3,2)為頂點的三角形區(qū)域（包括邊界與內(nèi)部），如圖所示 . （ 1）寫出表示區(qū)域 D的不等式組； （ 2）若點 B(1,6),C（ 3,2）在直線 4x3ya=0的異側(cè)，求 a的取值范圍 . ［分析］ 由二元一次不等式組所表示的區(qū)域?qū)懗鱿鄳?yīng)的不等式組，這本身就是一種創(chuàng)新，其求解過程與畫出二元一次不等式組的過程正好互逆 .另外，在第（ 2） 問中
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