【正文】 （ ） 令 γ＝ ρ－ 1，則 （ ） 同理，可得另外兩種模型為 （ ） （ ） 1( 1 )t t tY Y v? ?? ? ? ?1t t tY Y v? ?? ? ?1t t tY Y v?? ?? ? ? ? 1t t tY t Y v? ? ? ?? ? ? ?對于式（ ）、（ ）、（ ）而言，對應(yīng)的原假設(shè)和備擇假設(shè)為 （非平穩(wěn)） （平穩(wěn)） DF檢驗的判別規(guī)則是： DF≥臨界值，則 Yt非平穩(wěn)， D臨界值， Yt則是平穩(wěn)的。 0 :0H ? ?0 ? ? 進行 DF檢驗時，假定誤差項為經(jīng)典誤差項，不存在自相關(guān)，即時間序列是一階自相關(guān)過程 AR（ 1）。但多數(shù)時間序列經(jīng)濟計量模型均不能滿足這一條件，使用OLS法進行參數(shù)估計通常表現(xiàn)為隨機誤差項為自相關(guān)，導(dǎo)致 DF檢驗無效。為了保證單位根檢驗的有效性， Dickey和Fuller對 DF檢驗進行擴充，形成了 ADF（ augment DickeyFuller test）。 ADF檢驗是通過如下三個模型完成的 (1) （ ） (2) （ ） (3) （ ） 11mt t i t i tiY Y Y v?????? ? ? ? ??11mt t i t i tiY Y Y v? ? ????? ? ? ? ? ?? 11mt t i t i tiY t Y Y v? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? 模型（ 3）中 t是時間變量。原假設(shè)都是 ，即存在單位根。 ADF檢驗的原理與 DF檢驗相同，模型不同時，檢驗臨界值亦不同。實際檢驗時，首先對模型（ 3）進行單位根檢驗，然后模型（ 2）、模型（ 1）。在此過程中，只要“不存在單位根”的結(jié)論出現(xiàn)，檢驗就結(jié)束。否則就一直檢驗到模型（ 1）。 0 :0H ? ? 【 例 】 檢驗中國 19852023年城鎮(zhèn)居民家庭人均實際消費支出與實際可支配收入的平穩(wěn)性。 表 中國 19852023年城鎮(zhèn)居民家庭人均實際消費支出與實際可支配收入 單位：元 由于城鎮(zhèn)居民家庭人均實際消費支出與實際可支配收入均為有長期趨勢的時間序列，因此應(yīng)選用模型（ 3）進行 ADF檢驗。檢驗結(jié)果如表 。設(shè) X為居民家庭人均實際可支配收入， Y為居民家庭人均實際消費支出。 表 時間序列平穩(wěn)性檢驗表 變量 ADF檢驗值 顯著性水平 臨界值 檢驗結(jié)果 X Y 5% 5% 不平穩(wěn)不平穩(wěn) 由檢驗結(jié)果可以看出， ADF檢驗的 τ統(tǒng)計量均為正值，大于臨界值，因此不能拒絕原假設(shè)，序列 X,Y均存在單位根，居民家庭人均實際消費支出 Y與實際可支配收入 X均為不平穩(wěn)時間序列。 第二節(jié) 單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 一、單整 對于隨機游走序列，其一階差分為 （ ） 由于是一個白噪聲序列，因此差分后時間序列 { }是平穩(wěn)的。 tttt vYYY ???? ? 1tY? 如果一個時間序列經(jīng)過一次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)的序列，則稱該時間序列是一階單整序列，記為 {Yt}～ I(1)。一般地，如果序列 {Yt}經(jīng)過 d次差分后平穩(wěn)，則稱該序列是 d階單整，記為 {Yt}～ I(d)，如果時序列本身是平穩(wěn)的，稱為 0階單整序列，記為 {Yt}～ I(0)。 在現(xiàn)實經(jīng)濟系統(tǒng)中，多數(shù)經(jīng)濟變量的時間序列是非平穩(wěn)的，如 GDP、財政收入、居民收入等。只有少數(shù)時間序列是平穩(wěn)的，如利率、通貨膨脹率等。多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列經(jīng)過一次或多次差分可變?yōu)槠椒€(wěn)的。也有少數(shù)時間序列不能通過差分變?yōu)槠椒€(wěn)的，稱這類序列為非單整時間序列。 【 例 】 檢驗例 出 Y與實際可支配收入 X的單整性。使用 ADF檢驗，結(jié)果如表 。 表 時間序列單整性檢驗表 變量 ADF檢驗值 顯著性水平 臨界值 檢驗結(jié)果 X二次差分 Y二次差分 5% 5% 平穩(wěn) 平穩(wěn) 由表 ADF檢驗的τ統(tǒng)計量均小于臨界值，因此拒絕原假設(shè)，序列 X,Y的二次差分序列均不存在單位根，為平穩(wěn)序列。因此，居民家庭人均實際消費支出 Y與實際可支配收入X均為二階單整序列，即 I(2)序列。 二、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 經(jīng)濟系統(tǒng)中存在一些時間序列，雖然在經(jīng)濟意義上彼此不相關(guān)，但由于二者表現(xiàn)出共同的變化趨勢，當(dāng)對它們進行回歸時往往表現(xiàn)出較高的擬合優(yōu)度和統(tǒng)計顯著性。但這種回歸結(jié)果并沒有實際意義，這是一種虛假的回歸，稱為偽回歸。 偽回歸就是對于兩個獨立的一階單整序 I（ 1）進行回歸時，常常會得到一個顯著的 t估計量。 例如， {Xt}和 {Yt}分別為相互獨立的隨機游走序列。 ， ， at,et為白噪聲，且相互獨立。這就意味著{Xt}和 {Yt}是相互獨立的，如果 Yt對 Xt做回歸， 即 ，因為 Xt,Yt彼此獨立，回歸系數(shù)應(yīng)該是不顯著的，即原假設(shè) 是不能拒絕的。 ttt aXX ?? ? 1 ttt eYY ?? ? 1 tt XY 21 ??? ?? ?? 0:20 ??H 但是，葛蘭杰和紐博爾德（ Granger and Newbold, 1974）通過模擬證明事實并非如此，即使與是彼此獨立的，在很大比例的次數(shù)里，對的回歸都會產(chǎn)生一個統(tǒng)計上顯著的 t 統(tǒng)計量。這種現(xiàn)象就是偽回歸，即 Yt與 Xt之間根本沒有關(guān)系，但用了 t 統(tǒng)計量的 OLS回歸往往表示它們之間存在某種關(guān)系。 為了避免這種偽回歸，可通過引入趨勢變量 t消除這種趨勢性影響。但這種方法僅適用于趨勢變量是確定性的，不適用于趨勢變量為隨機性的。 要判斷一個時序的趨勢是確定性的還是隨機性的，可通過 ADF檢驗的模型（ 3）來完成。如檢驗表明給定時間序列有單位根，則該時序列具有隨機性趨勢。如果它沒有單位根，則表明該序列具有確定性趨勢。 對于具有確定性趨勢的時間序列 {Yt}，可表示為 （ ） 如果式（ ）中 vt是平穩(wěn)的，則 是平穩(wěn)的，此時稱 {Yt}是趨勢平穩(wěn)隨機過程。 tt vtY ??? 21 ?? tt vtY ??? 12 ?? 對于具有隨機性趨勢的時間序列 {Yt}可表示為 （ ） 如果式（ ）中的 vt是平穩(wěn)的，則 是平穩(wěn)的，稱 {Yt}為差分平穩(wěn)過程。 對于經(jīng)濟預(yù)測而言，趨勢平穩(wěn)過程的預(yù)測是可靠的，而差分平穩(wěn)過程的預(yù)測則是靠不住的。 ttt vYY ??? ? 1? tt vY ??? ?第三節(jié) 時間序列模型 利用平穩(wěn)時間序列進行時間序列分析就是建立恰當(dāng)?shù)臅r間序列模型并利用模型進行預(yù)測。時間序列模型不同于經(jīng)典回歸模型，建立模型的依據(jù)不是據(jù)不同變量之間的因果關(guān)系，而是通過對時間序列的分析尋找時間序列自身的變化規(guī)律。在進行預(yù)測時則是依據(jù)時間序列的過去值預(yù)測未來值。 一、時間序列模型的分類 時間序列模型是指僅用時間序列的過去值和誤差項建立的模型，其一般形式為 （ ） 12( , , , )t t t tY F Y Y v??? 如果一個線性隨機過程可以表達為 （ ） 其中， 是回歸系數(shù)， 是白噪聲，則稱式（ ）為 p階自回歸過程，用 AR（ p）表示。它是由的 p個滯后變量的加權(quán)和以 vt及相加而成的，因此稱為自回歸過程。 1 1 2 2t t t p t p tY Y Y Y v? ? ?? ? ?? ? ? ? ?12, , , p? ? ?tv對于自回歸模型 AR（ p），如果特征方程 的所有根的絕對值都大于 1（根的模大于 1），則該自回歸模型 AR（ p）是平穩(wěn)的，即該隨機過程是平穩(wěn)的。 212( ) ( 1 ) 0ppZ Z Z Z? ? ?? ? ? ? ? ? ? 如果一個線性隨機過程可以表達為 （ ）