【正文】 tY ???? ? 1???DF檢驗(yàn)常用的表達(dá)式為如下的差分表達(dá)式，即 （ ） 令 γ＝ ρ－ 1，則 （ ） 同理，可得另外兩種模型為 （ ） （ ） 1( 1 )t t tY Y v? ?? ? ? ?1t t tY Y v? ?? ? ?1t t tY Y v?? ?? ? ? ? 1t t tY t Y v? ? ? ?? ? ? ?對(duì)于式（ ）、（ ）、（ ）而言，對(duì)應(yīng)的原假設(shè)和備擇假設(shè)為 （非平穩(wěn)） （平穩(wěn)） DF檢驗(yàn)的判別規(guī)則是： DF≥臨界值，則 Yt非平穩(wěn)， D臨界值， Yt則是平穩(wěn)的。 該方法采用 OLS法估計(jì)式（ ），計(jì)算 t 統(tǒng)計(jì)量的值，與 DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較。 t1t1vY )1(?????? ??? ttt vYY 要檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性，可通過 t檢驗(yàn)完成假設(shè)檢驗(yàn)。 ttt vYY ?? ? 1?? 檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列 Yt的平穩(wěn)性，可通過檢驗(yàn)一階自回歸模型中的參數(shù) ρ是否小于 1?？梢宰C明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于 1），則 AR（ m）模型是平穩(wěn)的。 ttt vYY ?? ? 1 對(duì)式（ ）進(jìn)行反復(fù)迭代，可得 （ ） 對(duì)式（ ）取期望可得 （ ） 隨機(jī)游走時(shí)間序列的期望值與 t無關(guān)。其表達(dá)式為 （ ） 其中， vt為經(jīng)典誤差項(xiàng)，也稱之為白噪聲。 二、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn) 時(shí)間序列的平穩(wěn)性可通過圖形和自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。 ??)( tYE 22 ,)( ???tYVarhhtt YYCov ??? ),( 如果一個(gè)時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，就稱它為非平穩(wěn)時(shí)間序列。 (2)方差 為與時(shí)間 t無關(guān)的常數(shù)。因此，弱平穩(wěn)是時(shí)間序列分析中的常用平穩(wěn)性概念。這就是嚴(yán)格平穩(wěn)的含義，其嚴(yán)格定義如下 : 平穩(wěn)隨機(jī)過程：對(duì)一個(gè)隨過程{Yt:t=1,2,…}, h 為整數(shù)，如 的聯(lián)合分布與 的聯(lián)合分布相同，那么隨機(jī)過程 {Yt}就是平穩(wěn)的。就是說產(chǎn)生變量時(shí)間序列數(shù)據(jù)的隨機(jī)過程的特征不隨時(shí)間變化而變化。 離散型時(shí)間指標(biāo)集的隨機(jī)過程通常稱為隨機(jī)型時(shí)間序列，簡(jiǎn)稱為時(shí)間序列。隨機(jī)變量的動(dòng)態(tài)變化過程稱為隨機(jī)過程。一般地，對(duì)于每一特定的 t（ t∈ T）， Yt為一隨機(jī)變量，稱這一族隨機(jī)變量 {Yt}為一個(gè)隨機(jī)過程。 經(jīng)濟(jì)分析中常用的時(shí)間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟(jì)變量隨機(jī)序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。 用平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行計(jì)量分析，估計(jì)方法和假設(shè)檢驗(yàn)才有效。 ?? tmtt YYY , 21 ? ?? htmhtht YYY ??? , 21 ? 平穩(wěn)性的特征就是要求所有時(shí)間相鄰項(xiàng)之間的相關(guān)關(guān)系具有相同的性質(zhì)。 弱平穩(wěn)也稱為協(xié)方差平穩(wěn)過程。 (3)協(xié)方差 ，只與時(shí)間間隔 h有關(guān)，與時(shí)間 t無關(guān)。也就是說，時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時(shí)間的推動(dòng)而發(fā)生變化。在現(xiàn)代，單位根檢驗(yàn)方法為時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)的最常用方法。 ttt vY ?? ? 1? 如果式（ ）中 ρ=1，則 （ ） 式（ ）中 Yt稱為隨機(jī)游走序列。 011 YvvvY ttt ????? ? ? 1 t),( )()()()()(0011??????? ?YEYEvEvEvEYE ttt ? 假定 Y0非隨機(jī)，則 ，因此 （ ） 式（ ）表明隨機(jī)游走序列的方差是時(shí)間 t 的線性函數(shù)，說明隨機(jī)游走過程是非平穩(wěn)的。 212( 1 )mm t tL L L Y v? ? ?? ? ? ? ? 0)1()(221 ??????? mm ZZZZ ??? ? )1()( 221 mm LLLL ??? ?????? ? 對(duì)于 AR（ 1）過程?；蛘邫z驗(yàn)另一種表達(dá)形式 （ ） 中參數(shù) γ是否小于 0。即對(duì)于下式 （ ） 要檢驗(yàn)該序列是否含有單位根。如果 t 統(tǒng)計(jì)量的值小于臨界值（左尾單側(cè)檢驗(yàn)），就意味著 ρ足夠小，拒絕原假設(shè) :ρ=1，判別時(shí)間序列 Yt不存在單位根，是平穩(wěn)的。 0 :0H ? ?0 ? ? 進(jìn)行 DF檢驗(yàn)時(shí)，假定誤差項(xiàng)為經(jīng)典誤差項(xiàng)，不存在自相關(guān)，即時(shí)間序列是一階自相關(guān)過程 AR（ 1）。原假設(shè)都是 ，即存在單位根。否則就一直檢驗(yàn)到模型（ 1）。設(shè) X為居民家庭人均實(shí)際可支配收入， Y為居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出。一般地，如果序列 {Yt}經(jīng)過 d次差分后平穩(wěn)，則稱該序列是 d階單整，記為 {Yt}～ I(d)，如果時(shí)序列本身是平穩(wěn)的，稱為 0階單整序列，記為 {Yt}～ I(0)。也有少數(shù)時(shí)間序列不能通過差分變?yōu)槠椒€(wěn)的，稱這類序列為非單整時(shí)間序列。因此，居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出 Y與實(shí)際可支配收入X均為二階單整序列，即 I(2)序列。 例如， {Xt}和 {Yt}分別為相互獨(dú)立的隨機(jī)游走序列。這種現(xiàn)象就是偽回歸，即 Yt與 Xt之間根本沒有關(guān)系，但用了 t 統(tǒng)計(jì)量的 OLS回歸往往表示它們之間存在某種關(guān)系。如檢驗(yàn)表明給定時(shí)間序列有單位根，則該時(shí)序列具有隨機(jī)性趨勢(shì)。 對(duì)于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)而言，趨勢(shì)平穩(wěn)過程的預(yù)測(cè)是可靠的，而差分平穩(wěn)過程的預(yù)測(cè)則是靠不住的。 一、時(shí)間序列模型的分類 時(shí)間序列模型是指僅用時(shí)間序列的過去值和誤差項(xiàng)建立的模型，其一般形式為 （ ） 12( , , , )t t t tY F Y Y v??? 如果一個(gè)線性隨機(jī)過程可以表達(dá)為 （ ） 其中， 是回歸系數(shù)， 是白噪聲，則稱式（ ）為 p階自回歸過程，用 AR（ p）表示。 1 1 2 2t t t t q t qY v v v v? ? ?? ? ?? ? ? ? ?12, , , q? ? ?可以用滯后算子表達(dá)為 （ ） 由定義可知，任何一個(gè) q階移動(dòng)平均過程都是由 q＋ 1個(gè)白噪聲變量的加權(quán)和組成，因此有限階移動(dòng)平均過程都是平穩(wěn)的過程。由于 MA（ q）模型總是平穩(wěn)的，因此， ARMA（ p,q）模型的平穩(wěn)性就只依賴于 AR（ p）部分的平穩(wěn)性。如果隨機(jī)過程經(jīng)過 d次差分后可以變換為一個(gè)包含 p階自回歸算子， q階移動(dòng)平均算子平穩(wěn)隨機(jī)過程，則稱為（ p,d,q）階單整自回歸移動(dòng)平均過程，記為 ARIMA(p,d,q)過程。隨機(jī)過程 {Yt}中的每一個(gè)元素都是隨機(jī)變量。 ( , ) [ ( ) ( ) ]k t t k t t kC ov Y Y E Y Y? ? ???? ? ? ?k 20 ()tVar Y???? 自相關(guān)系數(shù)的定義為 22( , ) [ ( ) ( ) ]( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]t t k t t kkt t k t t kC ov Y Y E Y YV ar Y V ar Y E Y E Y???????? ???????2( ) ( )t t kVa r Y Va r Y ?? 2 2 2 0( , ) [ ( ) ( ) ]t t k t t k k kkC ov Y Y E Y Y? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程 ， 所以 當(dāng) k＝ 0時(shí)，有 0 1? ?（自相關(guān)系數(shù)為 1）。 , 0 , 1 , ,k kK? ?kk????,t k t kYY?? 2. 偏自相關(guān)函數(shù) PACF 偏自相關(guān)函數(shù)是描述隨機(jī)過程結(jié)構(gòu)特征的另一種方法。 （ ） 11 121 1 22 21 1 2 2t t tt t t tt k t k t k k t k tY Y vY Y Y vY Y Y Y v???? ? ????? ? ???? ? ?? ? ? ? ?kk? kk? kk?11 22, , , kk? ? ? 因?yàn)槠?