【正文】 4章 計算智能 ——模糊計算 模糊變換與模糊集合 ? 運(yùn)算 ? 交集：設(shè) A和 B是 U上的兩個模糊集合，則對所有的 ， A和 B的交集是定義在 U上的一個模糊集合，其隸屬函數(shù)定義如下： ? 并集： A和 B的并集是定義 在 U上的一個模糊集合，其隸屬函數(shù)定義如下： ? 補(bǔ)集： A的補(bǔ)集 是定義 在 U上的一個模糊集合，其隸屬函數(shù)定義如下： 29 U? ?? ?( )m in ( ), ( )A B A Bu u u? ? ??? ?( ) max ( ), ( )AB A Bu u u? ? ??( ) 1 ( )AA uu????A第 4章 計算智能 ——模糊計算 模糊變換與模糊集合 ? 映射 若滿足條件，則： 30 第 4章 計算智能 ——模糊計算 :[0,1] [0,1] [0,1]t ??三角模 T 三角模 S (0,0) 0, (1,1) 1tt??, (, ) (, )a cb d tab tcd? ?? ?( , ) ( , )tab tba?(( , ), ) ( ,( , ))ttabc tatbc?(1, )t a a?(( , ), ) ( ,( , ))ttabc tatbc?(0,0) 0, (1,1) 1tt??, (, ) (, )a cb d tab tcd? ?? ?( , ) ( , )tab tba?(0, )t a a? 模糊變換與模糊集合 ? 常見的三角模 T與三角模 S 31 第 4章 計算智能 ——模糊計算 三角模 T 三角模 S 模糊交 模糊并 代數(shù)乘 代數(shù)和 有界乘 有界和 直積 直和 ? ?min ,abab? ?max 0, 1ab??,1,10 , , 1abbaab?????????????,0,00 , , 0abbaab?????????????? ?max ,aba b ab? ? ?? ?min 1,ab?32 模糊變換與模糊集合 6. 截（割）集及分解定理 （ 1）截集 ? 定義： 強(qiáng)截集的稱為水平集截集的稱為則稱為水平設(shè)????????????AAxxAAAxxAxFAAA???????????})({)2)(})({)1)(10)(第 4章 計算智能 ——模糊計算 33 模糊變換與模糊集合 ? 性質(zhì) ? ? ? 第 4章 計算智能 ——模糊計算 ???? AA ?? 則??? BABA ??? )(?????? ??? BABA )(34 模糊變換與模糊集合 （ 2）分解定理（分解原理） ? 聯(lián)系模糊集合與清晰集合的一個橋梁 ? 若有模糊集 ， 是 A的一個截集，則有下列分解式成立： ?A第 4章 計算智能 ——模糊計算 ?? ?AA ??))(( xFAXA ?? 或分解定理： U為組合 ???????? ??)(0)()()(,1)(????????????? AxAxxxxA AAA 或的也是論域 X上的一個模糊子集。 ??A35 模糊變換與模糊集合 例： ，并有 ],[ 54321 xxxxxX?第 4章 計算智能 ——模糊計算 //1/1/1},{xxxAxxxxxxA???????},{}。{1 432131 xxx，Ax，A ???? ?? 54321/?????則 36 模糊變換與模糊集合 利用分解定理，將截集組合還原為模糊集，以上例所得結(jié)果為例： 第 4章 計算智能 ——模糊計算 5432154321543214321432433)()()()(1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxAAAAAAA??????????????????????????????????????????????????37 模糊變換與模糊集合 7. 擴(kuò)展原理（擴(kuò)展定理） ? 設(shè) X和 Y為兩個論域， f是從 X到 Y的一個映射，對 U上的模糊集合 A，擴(kuò)張原理由下式在 Y上定義一個模糊集合 B： 即對 ， 是 的上界，因此， 式中 ，且設(shè) 非空。當(dāng) 對某些 為空集時，設(shè) 。 1 ()( ) ( ( ))BAxyyx?? ????第 4章 計算智能 ——模糊計算 ()B y?yY?xX?? ()f x y?()A x?1 ()fy? 1 ()fy? yY?( ) 0B y? ?38 模糊變換與模糊集合 ? 擴(kuò)展是一個映射關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是一個恒等關(guān)系。 ? 設(shè) f是論域 X到 Y的一個映射，寫成： ? A是論域 X的一個模糊子集，根據(jù)擴(kuò)展原理有： 表示一個新映射，而前面的 f是一個清晰映射。 ? 整個擴(kuò)展原理為： 即 X的冪集 映射成 Y的冪集 :f X Y?第 4章 計算智能 ——模糊計算 )(~)。()(:~: AfAYXfYXf ????? 有則)(~ AfA?f~)(X? )(Y?39 若 為平方關(guān)系，即 模糊變換與模糊集合 例： 54321xxxxxA ?????f~ 2)(~ AAf ?則由 A映射到 2)(~ AAf ? 。作為一般概念，為： }),(~{)(~ AxxfyyAf ???即由 A擴(kuò)展到 )(~ Af則 25242322212 )(~xxxxxAAf ??????第 4章 計算智能 ——模糊計算 40 模糊變換與模糊集合 設(shè) 則 22222543121)(~ ??????AAf第 4章 計算智能 ——模糊計算 ]54321[],[ 54321 ，，xxxxxX ??41 隸屬函數(shù) ? 模糊計算是以模糊集理論為基礎(chǔ)的計算 ? 模擬人腦非精確、非線性的信息處理能力 ? 模糊集合 （ Fuzzy Sets） ?? ?? ? 論域 U到 [0, 1] 區(qū)間的 任一映射 ，即 ，都確定 U的一個模糊子集 F； 稱為 F的 隸屬函數(shù) 或 隸屬度 。在論域 U中，可把模糊子集表示為元素 u與其隸屬函數(shù) 的序偶集合，記為： ? 模糊支集 、 交叉點(diǎn) 及 模糊單點(diǎn) ?? ?? ? 若模糊集是論域 U中所有滿足中 的元素 u構(gòu)成的集合，則稱該集合為模糊集 F的支集。 ? 當(dāng) u滿足 ，稱為交叉點(diǎn)。 ? 當(dāng)模糊支集為 U中一個單獨(dú)點(diǎn)，且 u滿足 則稱模糊集為模糊單點(diǎn)。 F? ]1,0[?F?F?)(uF?0)( ?uF?)( ?uF?)( ?uF?第 4章 計算智能 ——模糊計算 }))(,({ UuuuF F ?? ?42 模糊矩陣與模糊關(guān)系 ? 模糊關(guān)系 ? 是模糊集合進(jìn)入應(yīng)用的重要基本概念。 ? 描述模糊集合的元素與元素之間或此集合與彼集合的元素關(guān)系。 ? 當(dāng)論域 X為有限域時，用模糊矩陣表示模糊關(guān)系。 第 4章 計算智能 ——模糊計算 43 模糊矩陣 ? 定義 ? 一般提法 ：用矩陣形式來表示兩個模糊集合的元素之間或模糊集合中各元素之間的關(guān)系，此矩陣即為模糊矩陣。矩陣元素為 ， i為行， j為列。 ? 正規(guī)提法 ：當(dāng)有模糊集合 ，有 ，則稱 為模糊矩陣。 為 對于關(guān)系 r的隸屬度。 第 4章 計算智能 ——模糊計算 ]1,0[?ijr}{}{ ,1,1 mjjnii yYxX ?? ?? ??),( jiRij yxr ?? ][)( ijmn rR ??),( jiR yx? ji yx ,44 模糊矩陣 ? 模糊矩陣的截矩陣 設(shè) ，對于任意 ? 定義： ，則 稱為 R的 λ截矩陣。 ? 性質(zhì)：當(dāng) 對任意 ，有 nmijrR ?? )(???????? ???ijijij rrr 01第 4章 計算智能 ——模糊計算 ]1,0[??mnijrR ?? )(??SR?]1,0[???? SR ??????? SRSRSRSR ???? ?? )(。)(45 模糊矩陣 例： ???????第 4章 計算智能 ——模糊計算 則： ???????1111 ???????1101???????110046 模糊關(guān)系 ? 概念 設(shè)有集合 ，問：該集合中“小于”，“小得多”兩個關(guān)系。 ? ??????????????????0000010000110001110011110小于第 4章 計算智能 ——模糊計算 ? ???????????????????000000 . 100000 . 30 . 10000 . 70 . 40 . 10010 . 80 . 50 . 20R小得多（清晰） （模糊） 矩陣元素 ),(jiijij xxr ??}5,4,3,2,1{?A47 模糊關(guān)系 ? 模糊關(guān)系是普通關(guān)系的拓寬。 例：身高 與體重 的 “正常 ”關(guān)系 R為： }9585756555,45{}。202390180170160,150{ ，，B，，A ??第 4章 計算智能 ——模糊計算 ???????????????????????YXRcmX )200,150(? kgY )95,45(?48 模糊關(guān)系 ? 定義 ? 模糊關(guān)系是兩個非空模糊集合 X、 Y的直積（叉乘）中的一個模糊子集。 ? 設(shè) X和 Y是兩個論域，模糊關(guān)系 R是積空間 上的一個模糊集合，即當(dāng) 的隸屬函數(shù)為 。 XY?第 4章 計算智能 ——模糊計算 ),( jiRij yxr ??,x X y Y??R的元素 ：表示 ix對 jy這一關(guān)系的 隸屬度。如 y比 x大得多這一關(guān)系： 0)1,20(,1)20,1( ?? RR ??( , )R xy?49 ??????????????)(0)()10(11),(2xyxyxyyxxy? 模糊關(guān)系 ? 當(dāng)用有限連續(xù)域表示時，模糊關(guān)系 ? y比 x大得多（ ） ? x比 y大致相同 ? y比 x小得多 xy??第 4章 計算智能 ——模糊計算 ??? ? YX RYX yxyxR ),/(),(?2)(),( yxyx eyx ??? ???????????????