第十章基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動_隨機(jī)微分方程-文庫吧
2025-01-08 23:11 本頁面
【正文】 值為 0，方差等于 的維納過程； 密度函數(shù)的表達(dá)式相同。 dt從這個(gè)意義上來講，這兩個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不存在什么區(qū)別。 不同點(diǎn) 限定二者的一系列信息集不同。 雖然基本的密度函數(shù)是相同的，但如果被不同的信息集來衡量，那實(shí)際上這兩個(gè)隨機(jī)過程代表了現(xiàn)實(shí)生活中根本不同的兩種現(xiàn)象。 說明 1 首頁 其中的擴(kuò)展項(xiàng)包含外生變量 ，它表示影響價(jià)格進(jìn)行完全不可預(yù)測變動的極其微小的事件。這一系列小事件形成的“歷史”就是 ｔ 時(shí)刻的信息集 。 計(jì)算強(qiáng)解是在給定 時(shí)，求滿足方程的值 ， tttt dWtSdttSadS ),(),( ???tdWtItdWtS也就是說為得到強(qiáng)解，需要知道集合 ，強(qiáng)解 與 是相互對應(yīng)的。 tI ttI計(jì)算弱解 時(shí)不需要考慮生成信息集 的過程，但需考慮與過程 的相關(guān)聯(lián)。又過程 可生成另外的信息集 ， 且它是 的鞅。 st~ tItWd ~ tWd ~tH tH tttt WdtSdttSaSd ~),~(),~(~ ???說明 2 因此，弱解需要滿足 首頁 強(qiáng)解和弱解具有相同的主項(xiàng)和擴(kuò)展項(xiàng)，因此 和 具有相似的統(tǒng)計(jì)特性。給定均值和方差，兩解雖然有所不同，但我們并不能把二者區(qū)別開來。 若誤差項(xiàng) 已知 ， 則金融分析家會選擇強(qiáng)解 。 tdW tSst~三、解的選擇 但是在運(yùn)用解隨機(jī)微分方程的辦法來對衍生金融產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)時(shí) ， 并不能準(zhǔn)確獲悉過程 的實(shí)際情況 ，我們能夠運(yùn)用的只有其波動率和波動趨勢 ， 因而 ，在這種情況下給衍生產(chǎn)品定價(jià) ， 應(yīng)運(yùn)用弱解 。 tW首頁 四、隨機(jī)微分方程解的證明 看一個(gè)特殊的隨機(jī)微分方程： 即在對看漲期權(quán)定價(jià)之中運(yùn)用的布萊克 ——休斯模型。 tttt dWSdtSdS ?? ??變形 tttdWdtdSS ?? ??1首先計(jì)算 ??? ?? t utt uudWdudSS0001 ??由于 ? ?t tdu0 ??普通積分 首頁 而 )( 00 WWdW tt u ??? ??雖含有一個(gè)隨機(jī)項(xiàng)，但 的系數(shù)是一個(gè)不隨時(shí)間而改變的常數(shù)。 ttuuWtdSS ?? ??1tdW因 00 ?W故 即隨機(jī)微分方程的任何解都必須滿足這一積分方程 下面用伊藤定理來解決這一方程。 考察備選項(xiàng)： tWtat eSS?? ??? )21(02首頁 用伊藤定理來計(jì)算隨機(jī)微分 即 ]21)21[( 22)21(02dtdWdtaeSdS tWtat t ????? ???? ??tdS )(ttt dWadtSdS ???若 ??a則這正是給定的隨機(jī)微分方程。 因此，求得隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解為： tWtt eSS??? ??? )21(02首頁 要求隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解，應(yīng)考慮備選解法，即找出依賴于參數(shù)的函數(shù)，如 然后運(yùn)用伊藤定理來檢驗(yàn)這一備選項(xiàng)是否滿足隨機(jī)微分方程或相應(yīng)的積分方程。 注 ),( 0 tt WStafS ??五、資產(chǎn)現(xiàn)值的應(yīng)用 假設(shè) 是某資產(chǎn)的價(jià)格，其價(jià)值的增加帶有不確定性，即 tS tttt dWSdtrSdS ???),0[ ??t則此隨機(jī)微分方程強(qiáng)解的備選答案是 tWtrt eSS?? ??? )21(02首頁 且最有效的預(yù)測值是條件期望： 現(xiàn)在假設(shè) s T 是將來 tT ? 時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格，對于時(shí)刻 ｔ 來說， s T 是未知的，但可以預(yù)測的 ]|[][ tTTt ISESE ?則資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià) 為： ][)( TttTrt SEeS ???即現(xiàn)值等于時(shí)刻 Ｔ 的預(yù)期價(jià)值用折現(xiàn)率 ｒ 來進(jìn)行折現(xiàn)。 st首頁 要證明結(jié)論成立，需先計(jì)算 ][ Tt SE由于 ][ Tt SE故 求 的方法： （ 兩種 ） TWTrT eSS?? ??? )21(02][)21(02TWtTr eEeS ????][ TWt e ?（ 1） TtTWWt dWWWfeeETT )|(][ ??
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