【正文】 ? 變額分期償還指每期償還的金額不等的還款方式。 原始貸款金額為 B0 ，第 k 期償還的金額為 Rk （ k=1， 2，?,n） 46 例 一筆金額為 nR 元的貸款，年利率為 i ，期限為 n 年，每年償還 R 元本金，其分期償還表如下： 時期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款 余額 0 — — — nR 1 R (1+in) inR R (n1)R … … … … … k R [1+i(nk+1)] i(nk+1)R R (nk)R … … … … … n R (1+i) iR R 0 總計 nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nR 47 償債基金 ? 償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時為了能夠在貸款期末一次性償還貸款的本金，定期向一個 “ 基金 ” 供款，使該 “ 基金 ” 在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。這一基金稱為償債基金，其基金累計的利率與貸款利率可能相等，也可能不等。 48 等額償債基金 ? 等額償債基金方法下借款人每期向償債基金的儲蓄金額相等，設(shè)為 D ，如果該償債基金每期的利率恒為 j，n 為貸款期限，當(dāng)期支付的利息設(shè)為 I，則借款人每期支付總金額為： ? 假設(shè)償債基金的利率與貸款利率相等，即 j =i ，則借款人每期支付總金額為， 49 變額償債基金 ? 設(shè)原始貸款本金為 B0 ，貸款利率為 i ， 償債基金利率為 j ，借款人在第 k 期末支付的總金額為 Rk （ k=1，2， ?， n），則，第 k 期末向償債基金的儲蓄額為(Rk ? iB0)，償債基金在第 n 期末的累積值等于原始貸款本金 B0 ，即， ? 當(dāng) i= j時， 50 債券價值 ? 按利息的支付方式，債券可分為零息債券和附息債券兩種。零息債券在債券到期前不支付利息，而是在債券到期時隨本金一次性支付所累計的利息。附息債券由發(fā)行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。 ? 債券定價原理： 債券的理論價格就是債券未來息票收入的現(xiàn)值和到期償還值的現(xiàn)值之和。 ? 基本符號和概念： P— 債券的理論價格； i— 投資者要求的收益率或市場利率； F— 債券的面值； C— 債券的償還值； r— 債券的息票率； rF— 每期的息票收入； g— 債券的修正息票率； n— 息票的償還次數(shù)； K— 償還值按收益率 i 計算的現(xiàn)值； G— 債券的基價， 51 債券價值 ?基本公式： ?溢價公式： ?基價公式： ?Makeham公式： 52 債券的賬面價值 ? 整數(shù)息票支付周期的債券價格和賬面值 第 k 期末的賬面值為： ? 任意時點的賬面值 53 第三章 生命表 54 生命表相關(guān)定義 ? 生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統(tǒng)計表。 ? 封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。 55 生命表基本函數(shù) ? lx： 存活到確切整數(shù)年齡 x歲的人口數(shù)， x=0,1,……ω1。 ? ndx：在 x~x+n歲死亡的人數(shù)，當(dāng) n=1時，簡記為 dx ? nqx： x歲的人在 x~x+n歲死亡的概率，當(dāng) n=1時，簡記為 qx 56 生命表基本函數(shù) nxnxx ldl ?? ??????100?xxdl111 2 110n x x x x nnxxxx x x xnnxttd d d dqllq q q qq? ? ????? ? ????????? ? ? ? ? ??????? ? ?(1) (2) (3) 57 生命表基本函數(shù) xx x x n x nxdq l d ll ????????? ? ?????? ? ?npx： x~x+n歲的存活概率 ,與 nqx相對的一個函數(shù)。 當(dāng) n=1， 簡記為 px 。 xnxxn llp ??1n x n xqp? ???? ???? ? ?58 生命表基本函數(shù) )(22 nxxxnnxxn llndnnlL?? ???? )(21 1??? xxx llLnLx： x歲的人在 x~x+n生存的人年數(shù)。 人年數(shù)是表示人群存活時間的復(fù)合單位， 1個人存活了 1年是1人年， 2個人每人存活半年也是 1人年，在死亡均勻分布假設(shè)下， x~x+n歲的死亡人數(shù) ndx平均來說存活了 n/2年，而活到lx+n歲的人存活了 n年，故 當(dāng) n=1時， 59 ? ： x歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時間。 當(dāng) x為 0時，表示出生時平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數(shù)。 生命表基本函數(shù) 1110xx x x x ttT L L L L????? ? ??? ? ? ? ? ?? ?1012x x i x iiT l l?? ? ?????? Tx： x歲的人群未來累積生存人年數(shù)。 在均勻分布假設(shè)下， xe?00x x tx t xxxTle p dt dtll?? ?? ? ???60 生命表基本函數(shù) xn q｜nxxnnxnxxnxxnxxn qpldllldq????? ????＝｜xmn q｜nxmxnxmnxnxmnxnxxnxmxmn qppplllldq?????? ??????＝｜：表示 x歲的人存活 n年并在第 n+1年死亡的概率， 或 x歲的人在 x+n~x+n+1歲死亡的概率。 ：表示 x歲的人在 x+n~x+n+m歲之間死亡的概率。 010 0 1x x x x x n xn n m n n nm q m q q q m q p?? ? ? ? ? ? ? ?｜ ｜ ｜ ｜ ｜當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 。61 生存分布 ? 一、新生兒的生存函數(shù) ? 二、 x歲余壽的生存函數(shù) ? 三、死亡力 ? 四、整值平均余壽與中值余壽 62 ?F(x)： 新生兒未來存活時間（新生兒的死亡年齡）為 x的分布函數(shù)。 ?s(x)：生存函數(shù)，它是新生兒活到 x歲的概率，以概率表示為 xp0。 新生兒在 x~z歲間死亡的概率，以概率的方式表示為： 新生兒的生存函數(shù) )0()Pr()( ??? xxXxF ? ? ? ?39。 , 0f x F x x?? )0()Pr()(1)( ????? xxXxFxs)()()()()Pr( zsxsxFzFzXx ??????63 新生兒的生存函數(shù) 生命表函數(shù)中的存活人數(shù) lx 正是生命表基數(shù) l0與 x歲生存函數(shù)之積， lx=l0s(x) 而 s(x)曲線形狀如下圖所示， 64 x歲余壽的生存函數(shù) P r [ ( ) ] ( 0 )txq T x t t? ? ?1 P r [ ( ) ] ( 0 )t x t xp q T x t t? ? ? ? ?以（ x）表示年齡是 x歲的人，（ x）的余壽以 T(x)表示 ? x歲的人在 t時間內(nèi)存活的概率 tpx 當(dāng) x=0時， T(0)=X ，正是新生兒未來余壽隨機(jī)變量。 ? x歲的人在 t時間內(nèi)死亡的概率 tqx 65 x歲余壽的生存函數(shù) ? 考慮 x歲的人的剩余壽命時，往往知道這個人已經(jīng)活到了x歲 ， tqx實際是一個條件概率 )()()()(1)()(]|Pr[xstxsxsxFxFxtFxXxtXxqxt????????????66 ?x歲的人在 x+t~x+t+u的死亡概率 ，以 概率的方式表示為： x歲余壽的生存函數(shù) xut q｜ txuxtxutxtxtxutxutqpppqqutxTtq???????????? ])(Pr[｜67 整值剩余壽命 ? 定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡記 ? 概率函數(shù) ( ) , ( ) 1 , 0 , 1 ,K X k k T x k k? ? ? ? ?()x ()Kx11P r ( ( ) ) P r ( ( ) 1 )k x k x k x k xk x x k xkK X k k T x kq q p pp q q???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?68 死亡力 ? 定義： 的瞬時死亡率，簡記 ? 死亡力與生存函數(shù)的關(guān)系 ( ) ( ) l n[ ( ) ]( ) ( )xs x f x sxs x s x?? ?? ? ? ? ?()x x?0( ) e xp{ }e xp{ }xsxtt x sxs x dsp ds?????????69 死亡力 70 實際上生命表 x歲平均余壽 正是 T(x)隨機(jī)變量的期望值 死亡力 xe 00[ ( ) ]x t x x t t xe E T x t p dt p dt????? ? ???71 死亡力 dtld txtxx ???? ?10 dtlL txx ? ?? 10 dtlT txx ???? 0?生命表 x歲死亡人數(shù) dx正是生存人數(shù)函數(shù) lx+t與死亡力之積在 0~1上的積分 ? 生命表 x歲生存人年數(shù) Lx正是生存人數(shù)函數(shù) lx+t在 0~1上的積分 ? 生命表 x歲累積生存人年數(shù) Tx正是生存人數(shù)函數(shù) lx+t在 0~∞上的積分 72 死亡力 000 000()txt x x tt x t xxtxdpt p dt tdtdtp t p dtp dt e?????????? ? ???????對于 x歲期望剩余壽命 ，可以證明： 0xe73 整值平均余壽與中值余壽 ?x歲的整值平均余壽是指 x歲未來平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括不滿 1年的零數(shù)余壽，它是整值余壽隨機(jī)變量 K(x)的期望值，以 ex表示， xkkkkxxkx qkqpkxKEe ｜??????? ?????00)]([74 整值平均余壽與中值余壽 ????1txtx qp ????22txtx qpxkkxxxxxxxkkpqqqqqqqk?????????????????013323210??????｜｜｜｜｜｜｜由于， 所以 75 整值平均余壽與中值余壽 )()()( xSxKxT ?? )]([)]([)]([ xSExKExTE ??21)]([ ?xSE 12x xee??由于 故， 在死亡均勻分布假設(shè)下， 故， 76 整值平均余壽與中值余壽 21)]()(Pr[)]()(Pr[ ???? xmxTxmxT)( )]([ ?? xs xmxs中值余壽是 (x)的余壽 T(x)的中值，（ x）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于 50 %，以 m(x)表示 x歲的中值余壽，則 即， 77 非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計 ? 死亡均勻分布假設(shè) ? 死亡力恒定假設(shè) ? 巴爾杜奇 (Balducci) 假設(shè) 78 有關(guān)非整數(shù)年齡的假設(shè) ? 使用背景 : ? 生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布 ,但有時我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況 ,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù) ,選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定， 估計分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況 ? 基本原理 :插值法 ? 常用方法 ? 均勻分布假定 (線性插值 ) ? 常數(shù)死亡力假定 (幾何插值 ) ? Balducci假定 (調(diào)和插值 ) 79 死亡均勻分布假設(shè) )]()1([)()10()1()()1()(xsxstxstxxstxsttxs?????????????? 為整數(shù)，xxt tqxsxsxstxstxsxsq ???????)()]1()([)()()(假設(shè)死亡在整數(shù)年齡之間均勻發(fā)生，此時存活函數(shù)是線性的。 80 死亡均勻分布假設(shè) x