【正文】 0)()(220022200220001???????????axxaabaxxabaxabxabyy拋物線的學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)導(dǎo)航 ? 學(xué)習(xí)要求 ? 掌握拋物線的定義，熟記四種標(biāo)準(zhǔn)方程，了解 焦參數(shù) p 的幾何意義，掌握拋物線的幾何性質(zhì)并能運(yùn)用解決有關(guān)問(wèn)題。 ? 學(xué)習(xí)導(dǎo)航 ? 掌握拋物線的定義，推導(dǎo)和建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。用定義解題有時(shí)更簡(jiǎn)潔，雖然拋物線只一個(gè)參數(shù)，只須一個(gè)條件就可以求出，但有四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，所以必須掌握它的特征和對(duì)應(yīng)的拋物線的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，焦點(diǎn)位置和準(zhǔn)線的關(guān)系。 ? 了解二次曲線的幾種定義，對(duì)提高解題能力是有幫助的。 ? 直線與拋物線的位置關(guān)系，特別注意相切的情況。由于拋物線與對(duì)稱軸只一個(gè)交點(diǎn)，而它不是拋物線的切線， 所以直線與拋物線相切并不是直線 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件。 圖形 方程 y2=2px y2=2px x2=2py x2=2py 對(duì)稱軸 y=0 y=0 x=0 x=0 焦點(diǎn) (p/2,0) (p/2,0) (0,p/2) (0,p/2) 準(zhǔn)線 x=p/2 x=p/2 y=p/2 y=p/2 坐標(biāo)平移 二次曲線 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 通過(guò)坐標(biāo)平移可以消去一次項(xiàng)，簡(jiǎn)化方 程的表達(dá)式。 坐標(biāo)系的改變，曲線的位置形狀和大小 都沒(méi)有改變，點(diǎn)的坐標(biāo)和方程也隨之改 變。 坐標(biāo)的平移公式： x=x’+h x’=xh y=y’+k y’=yk 主要題目類型： 1。已知原坐標(biāo)系，新坐標(biāo)原點(diǎn)，求一些點(diǎn)和方程的在新坐標(biāo)系中的表達(dá)式。 2。已知新坐標(biāo)系，原坐標(biāo)的原點(diǎn)，求一些點(diǎn)和方程的在原坐標(biāo)系中的表達(dá)式。 3。二次曲線方程經(jīng)過(guò)配方成完全平方式 ? 用平移公式簡(jiǎn)化。 ? 4。把 x=x’+h , y=y’+k 代入曲線方程，使一次項(xiàng)系數(shù)為 0，簡(jiǎn)化曲線方程。 你還想學(xué)點(diǎn)嗎？ ? 除了書(shū)本上二次曲線的定義外，還有一種統(tǒng)一的定義：平面上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離之比是一個(gè)常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。這一定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，這個(gè)常數(shù)叫做離心率。離心率小于 1時(shí)叫做橢圓，離心率大于 1時(shí)叫做雙曲線，離心率等于 1時(shí)叫做拋物線。 ? 以焦點(diǎn) F為原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)作準(zhǔn)線 l 的垂線為 x軸，（取垂足到焦點(diǎn)的方向?yàn)檎较颍┙⒅苯亲鴺?biāo)系。設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p ,離心率為 e，可得到直角坐標(biāo)系中圓錐曲線的統(tǒng)一方程： ? (1e2)x2+y22e2pxe2p2=0 ? 又以焦點(diǎn) F為極點(diǎn)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)作準(zhǔn)線 l的垂線為極軸（取垂足到焦點(diǎn)的方向?yàn)檎较颍O坐標(biāo)系，得到極坐標(biāo)系中圓錐曲線的統(tǒng)一方程 思考題 1，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（ 3， 0）（ 3， 0）的斜率的積為 1，這軌跡是什么曲線？ 若斜率的積為 1/4，是什么曲線？若斜率的積為 1/4，是什么曲線？ 2，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（ 3， 0）（ 3， 0）的距離的平方差為常量，這軌跡是什么曲線？ ? ： ?? c o s1 eep??圓錐截線 你還想學(xué)點(diǎn)嗎？ 離心率概念分析 ? 離心率是反映了二次曲線的形態(tài)及性質(zhì)的重要概念。 ? 引入定義：橢圓的焦距 2c與長(zhǎng)軸 2a 的比叫做橢圓的離心率，類似的給出了雙曲線，拋物線的離心率定義。 ? 離心率定義 有兩個(gè)要點(diǎn)：一個(gè)距離與長(zhǎng)度有序之比， e=c/a0 ? 離心率取值范圍：橢圓： 2c2a,故0e1,在雙曲線： 2c2a,得 e1,按拋物線定義， e=1。 ? 離心率與圓周率是幾何中的兩大比率，它們的共同特點(diǎn)：均為兩個(gè)定量的有序之比，區(qū)別在于前者適用于二次曲線，后者只適用于圓； e值有相對(duì)的任意性（可變）， π卻具有唯一性（無(wú)理常數(shù)）。 ? 離心率深刻揭示了二次曲線的實(shí)質(zhì)，溝通了它們的關(guān)系。橢圓，雙曲線，拋物線三者關(guān)系密切，是同一定義 ? 下的不同表現(xiàn)。三種曲線可統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一定點(diǎn)和一定直線的距離之比等于常數(shù) e的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫二次曲線。 ? 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)，軌跡上任一點(diǎn)M(x,y),定點(diǎn) F(p,0)所以 ? 整理即得 ? （ 1e2)x2+y22px+p2=0當(dāng)0e1,e=1,e1方程分別是橢圓，拋物線，雙曲線。 ? “對(duì)立統(tǒng)一，量變到質(zhì)變” ? e 0橢圓 圓， e 1,橢圓變得愈來(lái)愈扁， e=1為拋物線， e1為雙曲線， e 增大，則 ? b/a= 也變大，雙曲線開(kāi)口變大，反之，開(kāi)口變小。 E趨向于 1時(shí)，漸近線傾斜角近于 0。 ex ypx ??? 22)(12?e圓錐曲線（圓錐截線） 點(diǎn)（點(diǎn)圓） 圓 橢圓 雙曲線 拋物線 圓錐曲線退化為兩條直線， 一條直線 你能說(shuō)出截面的條件嗎？ 圓錐的頂角影響曲線形狀嗎？ 二次曲線的發(fā)展史 ? 公元前四世紀(jì)，古希臘學(xué)者梅納科莫斯最早通過(guò)截割圓錐的方法得到三種不同類型的曲線 —橢圓（圓）、雙曲線、拋物線，統(tǒng)稱圓錐曲線。許多學(xué)者繼續(xù)研究這一課題，最有成就的是生于小亞細(xì)亞佩加城的阿波羅尼，他將自已的成果寫(xiě)成八大卷的 《 圓錐曲線論 》 ，成為這一課題的經(jīng)典文獻(xiàn)。 ? 十六世紀(jì)，著名天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星按橢圓形軌道運(yùn)行，著名天文學(xué)家伽里略證明了不計(jì)阻力的斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線。這說(shuō)明了圓錐曲線并不是附生于圓錐之上的靜態(tài)曲線，而是自然界中物體常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式。 ? 1629年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在 《 平面和立體軌跡引論 》 一書(shū)中，運(yùn)用斜角坐標(biāo)研究圓錐曲線，證明了圓錐曲線的方程都是含有二個(gè)未知數(shù)且最高次冪是二次的方程。反之，一般二元二次方程點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線。 1655年，英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯在 《 圓錐截線論 》 中，干脆把圓錐曲線叫作二次曲線。 ? 1748年，著名數(shù)學(xué)家歐拉在 《 無(wú)窮小分析引論 》 一文中，詳細(xì)討論了形如：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 ? 的一般二次方程，證明經(jīng)過(guò)平移、轉(zhuǎn)軸變換，任何一個(gè)二次方程可以化為橢圓（圓）、雙曲線、拋物線及它們的退化形式，所以二次曲線就是圓錐曲線。 橢圓雙曲線拋物線基本性質(zhì) 橢圓 雙曲線 拋物線 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 （ abo) (a0,b0) y2=2px 中心 （ 0， 0） 有心 封閉曲線 （ 0， 0） 有心開(kāi)放曲線 無(wú)心曲線 頂點(diǎn) （ 177。 a,0),(0,177。 b) (177。 a,0) 軸 對(duì)稱軸： x軸， y軸 長(zhǎng)軸： 2a 短軸： 2b 對(duì)稱軸： x軸， y軸 實(shí)軸： 2a 虛軸： 2b 對(duì)稱軸： x軸 焦點(diǎn) F1(c,0) F2(c,0) |F1F2|=2c F1(c,0) F2(c,0) |F1F2|=2c F(p/2,0) 離心率 e=c/a 0≤ e1 e=c/a e1 e=1 范圍 |x|≤a,|y|≤b 封閉曲線 |x|≥a. y∈ R 開(kāi)放曲線 x≥0,y∈ R 開(kāi)放曲線 準(zhǔn)線 x=177。 a2/c x=177。 a2/c 漸進(jìn)線 y=177。 bx/a x=p/2 12222 ?? byax 12222 ?? byax22 bac ?? 22 bac ??一些常用技能技巧的梳理 ? 在鞏固求曲線方程、應(yīng)用曲線方程的基礎(chǔ)上，練習(xí)常用的技能技巧，提高解題能力。 1. 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 應(yīng)用解幾方法解題，必須建立坐標(biāo)系，而且選定恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（一般是以原點(diǎn)、坐標(biāo)軸對(duì)稱的，或以原點(diǎn)為起點(diǎn)），簡(jiǎn)化曲線方程。 。 例如： m為何值時(shí)，直線 2xy+m=0和圓x2+y2=5① 無(wú)公共點(diǎn)？②截得弦長(zhǎng)為 2？③交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直？ 解：圓心（ 0， 0）到直線距離 d= 圓半徑 r= ,① 時(shí)即 m5或m5時(shí)圓和直線無(wú)公共點(diǎn)。② ∵ 弦過(guò)中點(diǎn)的半徑垂直于弦 ∴ r2d2=1即5m2/5=1∴ 當(dāng) m=177。 時(shí)圓在直線上截得弦長(zhǎng)為 2 ③ 此時(shí)弦與過(guò) ? 弦兩端的半徑組成等腰直角三角形 ? ∴ ? 時(shí)過(guò)弦兩端的半徑互相垂直。