《數(shù)學奧賽輔導》word版-文庫吧
2025-08-06 22:56 本頁面
【正文】 整數(shù)，j=1，2，…，m。由于任何一必為中之一，而任一也必居中之一，故n=m。又因，再者，若對某個i，（不妨設(shè)），用除等式兩端得：此式顯然不成立（因左端是的倍數(shù)，而右端不是）。故對一切i=1，2，…，n均成立。惟一性得證。推論：（合數(shù)的因子個數(shù)計算公式）若為標準分解式，則A的所有因子（包括1和A本身）的個數(shù)等于（簡記為）這是因為，乘積的每一項都是A的一個因子，故共有個。定理：質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的?！咀C明】假定質(zhì)數(shù)的個數(shù)只有有限多個考察整數(shù)由于且又不能被除盡，于是由算術(shù)基本定理知，a必能寫成一些質(zhì)數(shù)的乘積，而這些質(zhì)數(shù)必異于，這與假定矛盾。故質(zhì)數(shù)有無窮多個。 賽題精講例1．設(shè)正整數(shù)d不等于2，5，13。證明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到兩個元素a，b，使得ab－1不是完全平方數(shù)。 （第27屆IMO試題）【解】由于25－1=32，213－1=52，513－1=82，因此，只需證明2d－1，5d－1，13d－1中至少有一個不是完全平方數(shù)。用反證法，假設(shè)它們都是完全平方數(shù)，令2d－1=x2 ①5d－1=y2 ②13d－1=z2 ③x，y，z∈N*由①知，x是奇數(shù)，設(shè)x=2k－1，于是2d－1=（2k－1）2，即d=2k2－2k+1，這說明d也是奇數(shù)。因此，再由②，③知，y，z均是偶數(shù)。設(shè)y=2m，z=2n，代入③、④，相減，除以4得，2d=n2－m2=（n+m）（n－m），從而n2－m2為偶數(shù)，n，m必同是偶
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