數(shù)學奧賽輔導(dǎo)word版-在線瀏覽
2024-10-01 22:56本頁面
【正文】 ①5d－1=y2 ②13d－1=z2 ③x，y，z∈N*由①知，x是奇數(shù)，設(shè)x=2k－1，于是2d－1=（2k－1）2，即d=2k2－2k+1，這說明d也是奇數(shù)。設(shè)y=2m，z=2n，代入③、④，相減，除以4得，2d=n2－m2=（n+m）（n－m），從而n2－m2為偶數(shù)，n，m必同是偶數(shù)，于是m+n與m－n都是偶數(shù)，這樣2d就是4的倍數(shù)，即d為偶數(shù)，這與上述d為奇數(shù)矛盾。例2．設(shè)a、b、c、d為奇數(shù)，證明：如果a+d=2k，b+c=2m，k，m為整數(shù)，那么a=1。再由因而 ①顯然，為偶數(shù)，為奇數(shù)，并且只能一個為4n型偶數(shù)，一個為4n+2型偶數(shù)（否則它們的差應(yīng)為4的倍數(shù)，然而它們的差等于2a不是4的倍數(shù)），因此，如果設(shè)，其中e，f為奇數(shù)，那么由①式及的特性就有（Ⅰ）或（Ⅱ） 由 得e=1，從而于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分別變?yōu)榛蚪庵?，得。?．設(shè)是一組數(shù)，它們中的每一個都取1或－1，而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0，證明：n必須是4的倍數(shù)。再進一步考察已知等式左端n項之乘積=（）4=1，這說明，這n項中?。?的項（共m項）也一定是偶數(shù)，即m=2k，從而n是4的倍數(shù)。如果≥3，又可作。如果，就把k叫做n的“長度”。（第3屆全國中學生數(shù)學冬令營試題）【解】令為非負整數(shù)，t為奇數(shù)。試證：可表示成n個相繼奇數(shù)的和。當k=2時，因命題在立。例6．在平面上任畫一條所有頂點都是格點的閉折線，并且各節(jié)的長相等。
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