高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-文庫吧
2025-07-21 18:24 本頁面
【正文】 點(diǎn)，極小值點(diǎn)交替出現(xiàn)?！ 。?）函數(shù)的極值的判定 設(shè)函數(shù) 可導(dǎo)，且在點(diǎn) 處連續(xù)，判定 是極大（?。┲档姆椒ㄊ恰 。á瘢┤绻邳c(diǎn) 附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則 為極大值； ?。á颍┤绻邳c(diǎn) 附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則 為極小值； 注意：導(dǎo)數(shù)為0的不一定是極值點(diǎn)，我們不難從函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)研究中悟出這一點(diǎn)。 ?。?）探求函數(shù)極值的步驟： ?。á瘢┣髮?dǎo)數(shù) ； （Ⅱ）求方程 的實(shí)根及 不存在的點(diǎn)； 考察 在上述方程的根以及 不存在的點(diǎn)左右兩側(cè)的符號：若左正右負(fù)，則 在這一點(diǎn)取得極大值，若左負(fù)右正，則 在這一點(diǎn)取得極小值?！ 『瘮?shù)的最大值與最小值 （1）定理 若函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)，則 在 上必有最大值和最小值；在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù)的函數(shù) 不一定有最大值與最小值?！ ≌J(rèn)知： ?。á瘢┖瘮?shù)的最值（最大值與最小值）是函數(shù)的整體性概念：最大值是函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。 ?。á颍┖瘮?shù)的極大值與極小值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的（具有相對性），極值只能在區(qū)間內(nèi)點(diǎn)取得；函數(shù)的最大值與最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間上的函數(shù)值得出的（具有絕對性），最大（小）值可能是某個(gè)極大（?。┲担部赡苁菂^(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值。 ?。á螅┤?在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲??！ 。?）探求步驟： 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則探求函數(shù) 在 上的最大值與最小值的步驟如下： ?。?I ）求 在 內(nèi)的極值； ?。?II ）求 在定義區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值 ， ； ?。?III ）將 的各極值與 ， 比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。 引申：若函數(shù) 在 上連續(xù)，則 的極值或最值也可能在不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得。對此，如果僅僅是求函數(shù)的最值，則可將上述步驟簡化： （ I ）求出 的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（這兩種點(diǎn)稱為可疑點(diǎn)）； ?。?II ）計(jì)算并比較 在上述可疑點(diǎn)處的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，從中獲得所求最大值與最小值?！ 。?）最值理論的應(yīng)用 解決有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問題，導(dǎo)數(shù)的理論是有力的工具，基本解題思路為： ?。?I ）認(rèn)知、立式：分析、認(rèn)知實(shí)際問題中各個(gè)變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系； ?。?II ）探求最值：立足函數(shù)的定義域，探求函數(shù)的最值； ?。?III ）檢驗(yàn)、作答：利用實(shí)際意義檢查（2）的結(jié)果，并回答所提出的問題，特殊地，如果所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn) 滿足 ，并且 在點(diǎn) 處有極大（?。┲担o實(shí)際問題又必有最大（?。┲?，那么上述極大（?。┲当闶亲畲螅ㄐ。┲?。 四、經(jīng)典例題 例設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且 ，試求 （1） ； ?。?） ； （3） ； （4） （ 為常數(shù)）?！ 〗猓鹤⒁獾? 當(dāng) ） ?。?） ； ?。?） =A+A=2A ?。?）令 ，則當(dāng) 時(shí) ， ∴ ?。?） 點(diǎn)評：注意 的本質(zhì)，在這一定義中，自變量x在 處的增量 的形式是多種多樣的，但是，不論 選擇哪一種形式，相應(yīng)的 也必須選擇相應(yīng)的形式，這種步調(diào)的一致是求值成功的保障?！ ∪糇宰兞縳在 處的增量為 ，則相應(yīng)的 ， 于是有 ； 若令 ，則又有 例 ?。?）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 解： ?。?）令 ，則 ，且當(dāng) 時(shí)， ?！ ∽⒁獾竭@里 ∴ （2）∵ ∴ ?、佟 ∽⒁獾?， ∴由已知得 ② ∴由①、②得 例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ?。?） ； ?。?） ； ?。?） ； （4） ； ?。?） ； ?。?） 解： （1） ?。?） ， ∴ （3） ， ∴ （4） ， ∴ ?。?） ， ∴ ?。?） ∴當(dāng) 時(shí)， ； ∴當(dāng) 時(shí)， ∴ 即 。 點(diǎn)評：為避免直接運(yùn)用求導(dǎo)法則帶來的不必要的繁雜運(yùn)算，首先對函數(shù)式進(jìn)行化簡或化整為零，而后再實(shí)施求導(dǎo)運(yùn)算，特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式，或根式可轉(zhuǎn)化為方冪的形式時(shí)，“先變后求”的手法顯然更為靈巧。 例在曲線C： 上，求斜率最小的切線所對應(yīng)的切點(diǎn)，并證明曲線C關(guān)于該點(diǎn)對稱。 解： ?。?） ∴當(dāng) 時(shí)， 取得最小值13 又當(dāng) 時(shí)， ∴斜率最小的切線對應(yīng)的切點(diǎn)為A（2，12）； （2）證明：設(shè) 為曲線C上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 且有 ① ∴將 代入 的解析式得 ， ∴點(diǎn) 坐標(biāo)為方程 的解 ∴ 注意到P，Q的任意性，由此斷定曲線C關(guān)于點(diǎn)A成中心對稱?！ ±阎€ ，其中 ，且均為可導(dǎo)函數(shù)， 求證：兩曲線在公共點(diǎn)處相切。 證明：注意到兩曲線在公共點(diǎn)處相切當(dāng)且僅當(dāng)它們在公共點(diǎn)處的切線重合， 設(shè)上述兩曲線的公共點(diǎn)為 ，則有 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 于是，對于 有 ； ① 對于 ，有 ② ∴由①得 ， 由②得 ∴ ，即兩曲線在公共點(diǎn)處的切線斜率相等， ∴兩曲線在公共點(diǎn)處的切線重合 ∴兩曲線在公共點(diǎn)處相切?！ ± 。?）是否存在這樣的k值，使函數(shù) 在區(qū)間（1，2）上遞減，在
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