高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-閱讀頁
2024-08-24 18:24本頁面
【正文】 兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)， 無極值點(diǎn)。 ?。á瘢┣蠛瘮?shù) 的解析式； （Ⅱ）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間?！ 。?）令 ，求出極值點(diǎn)， 求增區(qū)間， 求減區(qū)間?！ 〗獯稹 。á瘢┯珊瘮?shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線方程為 知： ，即 ， ∴ 即 解得 所以所求函數(shù)解析式 ?。á颍? 令 解得 當(dāng) 或 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 所以 在 內(nèi)是減函數(shù)，在 內(nèi)是增函數(shù)?！ 〗馕觯海?）本小題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法以及函數(shù)與方程的思想，第2小題要根據(jù) 的符號，分類討論 的單調(diào)區(qū)間；第3小題是二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上恒成立的問題，用區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號來表示二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上的符號，體現(xiàn)出將一般性問題特殊化的數(shù)學(xué)思想?！ ? 已知函數(shù) 。 解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題能力，考查思維及推理能力以及運(yùn)算能力，本題入手點(diǎn)容易， ?。á瘢┲袑Ψ质胶瘮?shù)定區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與值域問題，往往以導(dǎo)數(shù)為工具， ?。á颍┦侨魏瘮?shù)問題，因而導(dǎo)數(shù)法也是首選，若 成立，則二次函數(shù)值域必滿足 關(guān)系，從而達(dá)到求解目的?！ ? ∴ （舍去） 則 ， ， 變化情況表為：01 —0+ ↘↗ 因而當(dāng) 時(shí) 為減函數(shù)；當(dāng) 時(shí) 為增函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， 的值域?yàn)?； （Ⅱ） 因此 ，當(dāng) 時(shí) 因此當(dāng) 時(shí) 為減函數(shù)，從而當(dāng) 時(shí)有 又 ，即當(dāng) 時(shí)有 任給 ， ，存在 使得 則 由（1）得 或 ，由（2）得 又 故 的取值范圍為 ?！ 〗馕觯罕绢}考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力，本題（Ⅰ）常規(guī)題型，方法求 ，解 的根，列表，確定單調(diào)性，并判斷極值點(diǎn)，對（Ⅱ）由（Ⅰ） 在 上單調(diào)，而 ，因此只要 即滿足題設(shè)條件，從中解出 的范圍?！ ?，函數(shù) （Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求使 成立的 成立的 的集合； ?。á颍┣蠛瘮?shù) 在區(qū)間 上的最小值?！ ‘?dāng) 時(shí)， ，從而 為區(qū)間［1， ］上的增函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， ，從而 為區(qū)間［ ，2］上的減函數(shù) 因此，當(dāng) 時(shí)， 或 ?！ ?Ⅱ)設(shè)正數(shù) 滿足 ，證明 。（Ⅰ）已知函數(shù)為超越函數(shù)，若求其最小值，則采用導(dǎo)數(shù)法，求出 ，解 得 ，再判斷 與 時(shí) 的符號，確定 為極小值點(diǎn)，也是函數(shù)的最小值，對（Ⅱ）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明，但由 到 過渡是難點(diǎn)?！ 鄁（x）在 時(shí)取得最小值且最小值為 (Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明 ?。╥）當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立； (ii)假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù) 滿足 ,則 當(dāng)n=k+1時(shí)，若正數(shù) 滿足 令 , 則 為正數(shù)，且 由歸納假定知 ① 同理，由 ,可得 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ② 綜合①、②兩式 ≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1). 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立?！ ? 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù) 是減函數(shù)，且 ，設(shè) ， 是曲線 在點(diǎn) 處的切線方程，并設(shè)函數(shù) （Ⅰ）用 、 、 表示m； ?。á颍┳C明：當(dāng) 時(shí), ?。á螅┤絷P(guān)于x的不等式 在 上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系?！ ?，即 對任意 成立的充要條件是 ， 另一方面，由于 滿足前述題設(shè)中關(guān)于 的條件， 利用(Ⅱ)的結(jié)果可知， 的充要條件是：過點(diǎn) 與曲線 相切的直線的斜率不大于 ， 該切線的方程為： ， 于是 的充要條件是 綜上，不等式 對任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在 使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即為 的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù) 與 所滿足的關(guān)系?！ ?，即 對任意 成立的充要條件是 令 ，于是 對任意 成立的充要條件是 。因此 成立的充要條件是 ，即 綜上，不等式 對任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ?、邸 ∫虼?，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)a與b所滿足的關(guān)系。對（Ⅰ），曲線 在點(diǎn) 處切線斜率為 ，切線方程為 ， 即 ，因而 ；對（Ⅱ）即證明 在 時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù) 則 ∵ ∴ ∴ ，則 由 遞減 ∴ 遞增，則當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí)， ， 則 是 的極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)， 所以 極小值為 ，即 恒成立， 因而 ；對（Ⅲ）有兩種思考方法，是該題難點(diǎn)，其求解過程比較詳細(xì)?！ 。á瘢┣?及 的方程； ?。á颍┳C明 是等差數(shù)列?！ t 令 由題意得 即 又∵點(diǎn) 在 上 ∴ ∴ 即 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ?、佼?dāng)n=1時(shí)， ，等式成立?！ ? 令 ∴ 此為關(guān)鍵 （Ⅱ）方法同（Ⅰ）推導(dǎo)出： 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明?！ 〗獯穑骸 。á瘢┙猓河?，得 ， 所以 ?。á颍 〗夥? 由 ，得 即對于 恒有 ?、佟 ≡O(shè) ，于是不等式①化為 ?、凇 ‘?dāng) ， 、 時(shí)， ， ， 所以 都是增函數(shù)
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