高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-文庫(kù)吧
2024-10-22 08:49 本頁(yè)面
【正文】 f(x)的單調(diào)性． f ( x ) = + x + ( 1 ) l n x + 1 5 ,a aax解： f(x)的定義域?yàn)?(0， +∞)， (1)若 1＜ a＜ 0，則當(dāng) 0＜ x＜ a時(shí)， f′(x)＞ 0；當(dāng) a＜x＜ 1時(shí)， f′(x)＜ 0；當(dāng) x＞ 1時(shí)， f′(x)＞ 0，故 f(x)分別在(0， a)， (1， +∞)上單調(diào)遞增，在 (a,1)上單調(diào)遞減． (2)若 a＜ 1，仿 (1)可得 f(x)分別在 (0,1)， (a， +∞)上單調(diào)遞增，在 (1， a)上單調(diào)遞減． 39。 2211( ) 1a a x a xfx x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 已知函數(shù) y=ln x，則其單調(diào)減區(qū)間為 ________． 變式 11 (0,1) 解析：函數(shù)的定義域?yàn)?(0， +∞)， 令 y′＜ 0，即 ，得 0＜ x＜ 1. 故 f(x)的單調(diào)減區(qū)間是 (0,1)． 39。 11yx??110x??【 例 2】 (2020安徽改編 )設(shè) a為實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x)=ex2x+2a， x∈ f(x)的極值． 題型二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 解：由 f(x)=ex2x+2a， x∈ R知 f′(x)=ex2， x∈ R. 令 f′(x)=0，得 x=ln x變化時(shí)， f′(x)， f(x)的變化情況如下表： 故 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (∞， ln 2)， 單調(diào)遞增區(qū)間是 (ln 2， +∞)， f(x)在 x=ln 2處取得極小值 ， 極小值為 f(ln 2)=eln 22ln 2+2a=2(1ln 2+a)． x (∞， ln 2) ln 2 (ln 2， +∞) f′(x) 0 + f(x) 極小值 變式 21 若函數(shù) f(x)=ax3bx+4，當(dāng) x=2時(shí)，函數(shù) f(x)有極值 . (1)求函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù) f(x)的極大值． 43解析： 由題意可知 f′(x)=3ax2b. (1)由題意得 解得 故所求的函數(shù)解析式為 f(x)= x34x+4. (2)由 (1)可知 f′(x)=x24=(x2)(x+2)． 令 f′(x)=0得 x=2或 x=2， 當(dāng) x變化時(shí)， f′(x)、 f(x)的變化情況如下表所示： 39。 2 12 042 8 2 43f a bf a b? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???134.ab? ???? ??1343? x (∞， 2) 2 (2,2) 2 (2， +∞) f′(x) + 0 0 + f(x) 極大值 極小值 283故 x=－ 2時(shí)， f(x)有極大值 . 283. 【 例 3】 設(shè) a＞ 0，函數(shù) f(x)=x3ax在 (1， +∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍． 題型三 利用導(dǎo)數(shù)求字母參數(shù)的取值范圍 解：方法一： f′(x)=3x2－ a 令 f′(x)＞ 0，得 ， 故 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 . 又 ∵ f(x)在 (1， +∞)上是增函數(shù)， ∴ (1， +∞)是的 子集， 即 ， ∴ 0＜ a≤3. ∴ a的取值范圍是 (0,3]． 3 ( 0 )33aax x a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?33aax ? ? ?或 x, 3a???? ????? ,3a????????,3a????????13a ?方法二： ∵ f(x)=x3ax在 (1， +∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)， ∴ f′(x)=3x2a≥0在 (1， +∞)上恒成立， 即 a≤3x2在 (1， +∞)上恒成立． ∵ x∈ (1， +∞)時(shí)， 3x2＞ 3，
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