坐標(biāo)系與參數(shù)方程-文庫(kù)吧
2025-07-17 17:24 本頁(yè)面
【正文】 2 ＋ 2 t ( t 為參數(shù) ) 上到點(diǎn)A ( 1,2) 的距離為 4 2 的點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析 設(shè)點(diǎn) Q ( x ， y ) 為直線上的點(diǎn)， 則 | QA |＝ ( 1 － 1 ＋ 2 t )2＋ ( 2 － 2 － 2 t )2 ＝ ( 2 t )2＋ ( － 2 t )2＝ 4 2 ， 解之得， t ＝ 177。2 2 ，所以 Q ( － 3 , 6) 或 Q (5 ，－ 2) ． 5 ． 把 參數(shù)方程????? x ＝ cos α 1 ，y ＝ 2 ＋ sin α( α 為參數(shù) ) 化成普通方程． 解析 ∵????? x ＝ cos α － 1 ，y ＝ 2 ＋ sin α ，∴????? x ＋ 1 ＝ cos α ，y － 2 ＝ sin α . ∴ ( x ＋ 1)2＋ ( y － 2 )2＝ 1. 題型分類 深度剖析 題型一 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 例 1 ( 1 ) 把點(diǎn) M 的極坐標(biāo)????????－ 5 ，π6化成直 角坐標(biāo) ； ( 2 ) 把點(diǎn) M 的直角坐標(biāo) ( － 3 ，－ 1) 化 成極坐標(biāo) ． 解 ( 1) ∵ x ＝－ 5c os π6＝－523 ， y ＝－ 5 s i n π6＝－52， ∴ 點(diǎn) M 的直角坐標(biāo)是??????－523 ，－52. ( 2) ρ ＝ ( － 3 )2＋ ( － 1 )2＝ 3 ＋ 1 ＝ 2 ， t a n θ ＝－ 1－ 3＝33. ∵ 點(diǎn) M 在第三象限， ρ 0 ， ∴ 最小正角 θ ＝7π6.因此，點(diǎn) M 的極坐標(biāo)是??????2 ，7π6. 探究提高 把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)，通常有不同的表示法 ( 極角相差 2π 的整數(shù)倍 ) ，一般取 θ ∈ [ 0, 2π ) ． 變式訓(xùn)練 1 極坐標(biāo)方程 ρ ＝2 ＋ 2 co s θsi n 2 θ所 對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 因?yàn)?ρ ＝2 ＋ 2c o s θs i n2θ可化為 ρ ＝2 ( 1 ＋ c os θ )1 － c o s2θ，即 ρ ＝21 － c o s θ，去分母，得 ρ ＝ 2 ＋ ρ c o s θ ，將公式代入得 x2＋ y2＝ (2 ＋ x )2，整理可得 y2＝ 4( x ＋ 1) ． y 2 ＝ 4( x ＋ 1 ) 題型二 極坐標(biāo)方程 例 2 在直角坐標(biāo)系 x O y 中，以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ρ c o s????????θ －π3＝ 1 ，M ， N 分別為曲線 C 與 x 軸， y 軸的交點(diǎn)． ( 1 ) 寫出曲線 C 的直角坐標(biāo)方程，并求 M ， N 的極坐標(biāo)； ( 2 ) 設(shè) M ， N 的中點(diǎn)為 P ，求直線 OP 的極坐標(biāo)方程． 解 ( 1 ) ∵ ρ c o s????????θ －π3＝ 1 ， ∴ ρ c o s θ c o s π3＋ ρ si n θ si n π3＝ 1. 又????? x ＝ ρ c o s θy ＝ ρ si n θ， ∴12x ＋32y ＝ 1. 即曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0. 令 y ＝ 0 ，則 x ＝ 2 ；令 x ＝ 0 ，則 y ＝2 33. ∴ M ( 2 , 0 ) ， N??????
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