4-7導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用-文庫(kù)吧
2025-07-11 05:31 本頁(yè)面
【正文】 l im l im ( 0)x x xf x f x fxfxx?? ? ?? ? ?? ?? ? ?。 246 設(shè) ()y f x? 二階可導(dǎo)，則下列為 凹 函數(shù) 的 判斷方法 ⑴ 1 2 1 212( ) ( )( ) ( )22x x f x f xf x x????。 ⑵ 曲線()y f x?上弦在對(duì)應(yīng)曲線段的上方 。 ⑶ 曲線()y f x?上 每點(diǎn)處的切線 在 曲線的 下 方 。 ⑷ ()fx?單調(diào)增加 。 ⑸ ( ) 0fx?? ?。 . 2 利用 凹凸 性證明不等式 凸 函數(shù) 的判斷方法 由同學(xué)們自己完成。 247 例 4 . 7 . 4 設(shè) ( ) ( 1 ) , [0 , 1 ]ppf x x x x? ? ? ?， 其中 常數(shù)1?p ， 證明11 ( ) 12 pfx? ??， [0 , 1 ]x ? 。 證 ( ) ( 1 ) ( 1 ) 1ppf x x x x x? ? ? ? ? ? ?。又 12( ) , ( ) ( 1 ) 0p p p px p x x p p x??? ??? ? ? ?，( 0 , 1 )x ?， 所以 px在[0 , 1 ]上為凹函數(shù)，故當(dāng) 01 x?? 時(shí)， ( 1 ) 1 ( 1 )()2 2 2ppppx x x x? ? ? ???，得11()2pfx??， 因此，11( ) 12pfx???，[0 , 1 ]x ?。 248 例 . 5 證明 2 πsi n , ( 0 , )π 2x x x??. （例 4 . 7 .2 另 解） 證 令2( ) sinπx x x? ??，則2( ) c o sπxx? ? ??， π( ) si n 0 , ( 0 , )2x x x? ?? ? ? ? ?， 所以()x?在 π( 0 , )2內(nèi)為凸函數(shù)。又 π( 0 ) ( ) 02?? ??，故點(diǎn) π( 0 , 0 ) , ( , 0 )2在曲線()yx ??上， 所連的弦 π0 , ( 0 , )2yx ??在曲 線()yx ??的下方， 所以( ) 0x? ?， 即2 πsi n , ( 0 , )π 2x x x??。 249 例 4 . 7 .6 設(shè) 函數(shù) )( xf 二階可導(dǎo)， 且 0)( ??? xf ，1)(l i m0?? xxfx， 證明對(duì)于任意的 x ，有 ()f x x? ． 證 由1)(l i m0?? xxfx知0l i m ( ) 0xfx??。又由題意知)( xf在),( ????內(nèi) 連續(xù)，故0l i m ( ) (0 )xf x f??，所以(0 ) 0f ?。進(jìn)而有 0( ) ( 0 )l im 10xf x fx????，得( 0 ) 1f ? ?。 因?yàn)?)( ??? xf
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