【正文】 的點(diǎn)所滿足的條件，先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，再把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)的條件列式，此即為相關(guān)點(diǎn)法；參數(shù)法是求軌跡方程常用的方法，合理引入?yún)?shù)（通常是相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)）列式，消去參數(shù)得到關(guān)于的方程，要求所列方程的數(shù)目要比引入的參數(shù)多一個(gè)，才能消去所有參數(shù)。三. 圓錐曲線問題中的條件及要求與韋達(dá)定理之間的聯(lián)系舉例：解決圓錐曲線問題的基本方法是坐標(biāo)法，這就需要把問題的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，而把問題的條件和要求用坐標(biāo)表示，特別是用或來表示，往往又是打通問題思路的關(guān)鍵。以下是問題中一些條件的坐標(biāo)表示：設(shè)斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程，可求出，以及。（1）弦的中點(diǎn)： 弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可表示為 （2）弦的垂直平分線過定點(diǎn)或：弦的垂直平分線方程為：。弦的垂直平分線過定點(diǎn)，則有：（3）點(diǎn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系，判斷的符號(hào)：。其中（4）垂直問題：如，則有：（5）A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱： ，（其中k為直線AB的斜率）關(guān)于圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某條直線對(duì)稱的問題，一般涉及到弦的斜率和中點(diǎn)，所以常采用“點(diǎn)差法”，用點(diǎn)差法處理問題時(shí)，對(duì)于不同的圓錐曲線，有不同的表示方法：當(dāng)圓錐曲線分別為橢圓、雙曲線、拋物線時(shí)，k的表示式有以下三種形式： （橢圓）； （雙曲線）；（拋物線）（6）弦長(zhǎng)問題：當(dāng)直線 時(shí)： 當(dāng)直線時(shí)： （7）三角形的面積： M NAB①； （d是點(diǎn)到直線AB的距離） ②或， 其中M、N為x軸上兩定點(diǎn)，為定長(zhǎng)。（8）三點(diǎn)共線問題：遇三點(diǎn)共線問題，常利用斜率相等列方程。設(shè)，若共線，則利用直線方程將換成（或?qū)Q成），通分后令分子為0，可使所得方程中僅含有（或僅含有）。（9）為正三角形：點(diǎn)C在的垂直平分線上，且滿足，其中M為的中點(diǎn)。由點(diǎn)C在的垂直平分線上可得： 又，這樣就把問題與韋達(dá)定理聯(lián)系起來了。（10）A、B與C、D四點(diǎn)共圓：當(dāng)A、C、B、D四點(diǎn)共圓時(shí)，其圓心是線段AB的垂直平分線與線段CD的垂直平分線的交點(diǎn)G，且滿足|GA|=|GC|。線段AB的垂直平分線方程為，若CD垂直平分AB， 則圓心G是CD的中點(diǎn)，且有.【高考真題、模擬題解析】【例1】（2010 安徽）橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)軸上，離心率 （1）求橢圓E的方程； （2）求的角平分線所在直線的方程。【解】（1）設(shè)橢圓E的方程為 ：橢圓方程形式將A（2 ，3）代入上式，得：∴橢 圓E的方程為 （I2）由（I）知，設(shè)的角平分線所在直線的方向向量為，則。易知，所以，故。所以的角平分線所在直線的斜率為k = 2，故所求直線為：， 即。【注】若OC平分AOB，則【例2】（2010 北京）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率是，直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，以線段為直徑作圓P，圓心為P。 （1）求橢圓C的方程； （2）若圓P與軸相切，求圓心P的坐標(biāo)； （3）設(shè)是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求y的最大值.【解】（1）因?yàn)?，且，所? 所以橢圓C的方程為. （2） 得： 所以圓P的半徑為。由已知得： 解得. 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（。 （3）由（Ⅱ）知，圓P的方程。因?yàn)辄c(diǎn)在圓P上， 所以 設(shè)，則 當(dāng)，即，且，y取最大值2．【注】對(duì)于形如的函數(shù)，可采用三角代換法求最值，令，則，于是有：。【例3】（2010 江西）如圖，已知拋物線：經(jīng)過橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)． （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)點(diǎn)，又為與不在軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若的重心在拋物線上，求和的方程．【解】（1）因?yàn)閽佄锞€C1經(jīng)過橢圓C2的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以，由， 所以橢圓的離心率． （2）由（1）可知：，所以橢圓C2的方程為：聯(lián)立 解得：（舍去），所以，即所以△QMN的重心坐標(biāo)為（1，0），因?yàn)橹匦脑贑1上，所以 所以所以拋物線C1的方程為：， 橢圓C2的方程為：【注】聯(lián)立橢圓方程與其它方程時(shí)，為方便運(yùn)算起見，通常要簡(jiǎn)化橢圓方程。如已知離心率或者已知a、b、c中的一個(gè)，則橢圓方程可化為只含一個(gè)參數(shù)的方程?！纠?】（2010 遼寧）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C: 的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60176。，F(xiàn)1到直線的距離為2． （1）求橢圓C的焦距； （2）如果，求橢圓C的方程．【解】（1）設(shè)焦距為2c，直線的方程為由已知可得：F1到直線的距離為d = 所以橢圓C的焦距為4． （2）設(shè)， 由（1）知：橢圓C的方程可化為，直線l的方程為 聯(lián)立 ，消去x，得：由韋達(dá)定理得： 因?yàn)?③從①②③中消去，求得：。 故橢圓C的方程為 【注】題目中的向量條件往往轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系?！纠?】已知直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8.（1） 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知圓O：x2＋y2＝1，直線l：m x＋n y＝：當(dāng)點(diǎn)P(m，n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)L的取值范圍．【解】（1）由x＋ky－3＝0得，（x－3）＋ky＝0，所以直線過定點(diǎn)（3，0），即F（3，0）．設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，則 解得： 故所求橢圓C的方程為＋＝1.（2） 因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，所以＋＝1.從而圓心O到直線l的距離d＝＝＝ ＜1.所以直線l與圓O恒相交．直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)＝2＝2 ＝2，由于0 ≤ m 2 ≤ 25，而L關(guān)于m 2遞增，所以 ≤ L ≤ ， 即 L∈[，]，即直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是[，]．【例6】（湖北高考題）已知是橢圓C的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于點(diǎn)A、B的動(dòng)點(diǎn)，且的最大面積為。 （1）求橢圓C的方程。 （2）直線AP與橢圓在B點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷直線PF（F為橢圓C的右焦點(diǎn)）與以線段BD為直徑的圓的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論。 （3）設(shè)橢圓C的右準(zhǔn)線為，直線AP與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，直線BM與橢圓C交于點(diǎn)Q，試判斷點(diǎn)B與以PQ為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論?！窘狻浚?）橢圓C的方程為：。 （2）由（1）得：。 設(shè)直線AP的方程為：，則有：。于是以BD為直徑的圓E的圓心為，半徑為。聯(lián)立，消去x，得：，由韋達(dá)定理得：，所以 ， 從而有：，即 。 ①若，則有，圓E的圓心為，半徑， 顯然有直線PF與以BD為直徑的圓E相切。 ②若 ，即，則有， 所以直線PF的方程為 。 于是圓心E到直線PF的距離為 。 所以直線PF與以BD為直徑的圓E相切。 綜上，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PF與以BD為直徑的圓E相切。 （3）由（1）知：橢圓的右準(zhǔn)線為，所以由（2）知：， 又 于是， 所以，所以為銳角， 從而為鈍角，故點(diǎn)B 在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部。 【注】在圓錐曲線中判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，常采用向量法?！纠?】（2011 杭州三模）已知A，B是橢圓的左，右頂點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)M，N，交直線于點(diǎn)P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列，R和Q是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，R和Q的橫坐標(biāo)之和為2，RQ的中垂線交x軸于T點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）求三角形MNT的面積的最大值【解】（1）由已知：b = 2，設(shè)P（4，），則, 又由已知：，即，從而。所以 橢圓C的方程為 （2）因?yàn)辄c(diǎn)Q、R在橢圓上，所以即 ， 由已知，線段QR的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段QR的中垂線方程為， 令，得：，所以RQ的中垂線交x軸的交點(diǎn)為設(shè)，則設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立可得:令，則函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以從而，故GBAD3【例8】（2011山東文22）在平面直角坐標(biāo)系中，斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).（1）求的最小值；（2）若?，①求證：直線過定點(diǎn)；②試問點(diǎn)B，能否關(guān)于軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說明理由.【解】（1）由題意:設(shè)直線,由 消去y，得: ,設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得: =,即,所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E