【正文】 tle(39。(a)39。)。 subplot(2,1,2),stem(w,angle(shift(X))*180/pi),title(39。(b)39。)。 對于帶限信號，在滿足采樣定理的條 件下，不同大小的 N 值（采樣數(shù)量）得到的幅頻分量相同； 若采樣周期不夠小，則將產(chǎn)生頻率混疊失真； 例 頻率混疊的影響 例 題的求解 通過改變采樣點數(shù)量 N，可以比較混疊的影響大小 %program hold on。 N=42。P=4。T=P/N。D=2*pi/P。 q=floor(1/T)。 x=[ones(1,q+1) zeros(1,N2*q1) ones(1,q)]。 X=fft(x/N)。 m=ceil((N1)/2):ceil((N1)/2)。 10 stem(m*D,shift(X),39。b39。,39。fill39。)。 對于在足夠逼近條件下， magude 可以得到足夠良好近似值；（能量逼近）；但計算出的phase 不會得出良好近似值（通常不采用）； 關(guān)鍵： N 的選?。ㄗ銐虼笠垣@得良好近似，足夠小以減少運算量） 根據(jù)設(shè)定的精確度，求出最小的 N： 令 N=2n，選定 n 的特定值，再逐 1 增加；重復(fù)計算在 Nyquist 范圍內(nèi)的系數(shù)差，直到系數(shù)差小于設(shè)定值為止； 例 根據(jù)設(shè)定最大誤差，自動選取最小采樣點數(shù)量，并求出滿足要求的頻譜 例 題的求解 % program a=1。b=100。P=4。D=2*pi/P。beta=1。 while bbeta N1=2^a。T1=P/N1。q1=floor(1/T1)。 x1=[ones(1,q1+1) zeros(1,N12*q11) ones(1,q1)]。 X1=fft(x1/N1)。 N2=2*N1。T2=P/N2。q2=floor(1/T2)。 x2=[ones(1,q2+1) zeros(1,N22*q21) ones(1,q2)]。 X2=fft(x2/N2)。 m1p=0:N1/2。 d=max(abs(abs(X1(m1p+1))abs(X2(m1p+1))))。 mm=max(abs(X1(m1p+1)))。 b=d/mm*100。 a=a+1。 end N2,b m=N2/2+1:N2/2。 stem(m*D,abs(shift(X2)))。 對此程序作少數(shù)改動可以得到對其他信號的計算： 例 平均功率計算 CT信號 ??????m mavcP 2 DT信號 ???? 102Nm mdavcP 例 分別采用時域序列和頻譜序列求信號平均功率 例 題的信號功率 %program P=2*pi/。N=11。T=P/N。 n=0:N1。 x=+*sin(*n*T)*cos(*n*T)。 11 P1=sum(x.^2)*T/P X=fft(x/N)。 P2=sum(abs(X).^2) 例 采用頻譜序列求信號平均功率 例 題的信號功率 %program N=1024。D=2*pi/4。 x=[ones(1,257) zeros(1,511) ones(1,256)]。 X=fft(x/N)。 mu=floor(5/D)。 m=2:mu+1。 p=abs(X(1))^2+2*sum(abs(X(m)).^2) 第三章 CTFT和 DTFT一般信號的頻譜 實際信號都是非周期信號（非雙邊信號） 周期信號對應(yīng)于 離散頻率分量（離散頻譜） 非周期信號對應(yīng)于連續(xù)頻譜 CTFT 連續(xù)時間信號的付氏變換 定義式 ? ? ? ?????? ???? deXtx tj21 ? ? ? ????? ?? dtetxX tj?? 頻譜 存在條件： ??tx 絕對可積，而且在一個周期內(nèi)間斷點和極值點有限； 例 eatu(t) 的頻譜 ? ? ? ? 01 ???? ??? aajtuetx FTat ? 圖 12 例 wa（ t）的頻譜： 時域窗口函數(shù) ? ? ? ? ? ?aat attwtx FTa s i n201 ?? ????? ???? 圖 主瓣：高 2a，寬 2π/a 旁瓣：寬 π/a 零點： n π/a 窗口寬度與主瓣 /旁瓣寬度成反比； 窗口的時移不改變幅頻特性，只引入線性相位； 例 模擬理想低通濾波器 ：頻域窗口函數(shù) ? ? ? ? ??? ???? ???? ???????? ? 其余01s i ns i n cFTccc Htct ttx 圖 CT周期信號的頻譜 ? ?020 ????? ??? ?? FTtje 13 步驟：將 CT 周期信號先展開為 CTFS，再進行 逐項變換； 若干常用信號的頻譜（ 圖 ） ? ????21 ?? ?? FT ? ? ? ?000s i n ????????? ?????? ?? jjt FT ? ? ? ?000c o s ????????? ????? ?? FTt ? ? ? ????? jtu FT 1??? ?? 例 沖激串的 CTFT ? ? ? ??? ??????????? ???mFTktjm mTetr 020 ????? 頻譜的性質(zhì) ? ? ? ??jXtx F? ?? 連續(xù)有界： 若 ??tx 絕對可積，則 ? ??X 有界并連續(xù)； 奇偶性： ? ? ? ??jXtx F ?? ?? ?? 表 14 時間實函數(shù) 幅頻偶、相頻奇 時間實偶 頻譜實偶 時間實奇 頻譜虛奇 時移與頻移： ? ? ? ??? jXettx tjF 00 ?? ??? ? ? ? ?? ?00 ??? ?? ?? jXtxe Ftj 時移引入線性相位，頻移對應(yīng)復(fù)指數(shù)調(diào)制 時間尺度變換： ? ? ??????? ?? ajXaatx F ?1 ? ? ? ??jXtx F ?? ??? 時間壓縮對應(yīng)頻譜擴展 Parseval’s relation能量的頻率分布 ? ? ? ? ??? djXdttxE 22 2 1 ?? ???????? ?? 能量只與幅頻特性有關(guān)，時移不影響信號能量分布 周期信號與非周期信號的能量對比 周期信號能量為無限大，平均功率為 ??????m mavcP 2，非零功率只存在于離散頻率點； 絕對可積的非周期信號能量為 ? ? ? ? ??? djXdttxE 22 2 1 ?? ???????? ??，在任何特定頻率點能量為零，能量分布于頻率區(qū)間上； 連續(xù)時間信號截斷對于頻譜的影響 只有 極少數(shù)信號可以求出頻譜的解析表達式； 絕大多數(shù)實際信號只能采用數(shù)值方式求解頻譜； 對無限長時間連續(xù)信號，在實際計算時必須考慮截斷并離散化； 時域截斷模型：以窗口函數(shù)乘以時間函數(shù) ? ? ? ?twtx a? 15 時域乘積對應(yīng)于頻域卷積： ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ??? ??????? dXWWX aa 2 1 其中 ? ? ? ?? aW a sin2? 單頻率信號的截斷效果 （ 圖 ） 使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高 L=2a、寬 4π/L）和旁瓣（高 、寬 2π/L）； 對 于有限帶寬信號，截斷導(dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L 越小，上述效應(yīng)越顯著 。 對于連續(xù)信號，增大 L 可以將上述效應(yīng)削弱到可以忽略的程度； 例 ? ? ? ?tuetx ?? 的頻譜：采用不同寬度的窗口截斷； （ 圖 ） Gibbs 現(xiàn)象 用付氏變換表達時間函數(shù)時，當(dāng)頻譜信號含有不連續(xù)點時，頻譜的紋波將會變窄并靠近該點，但紋波不會隨 L 的無限增大而消失，而是趨于一個常量（寬度無限小，高度約為不連續(xù)變化量的 9%）； （ 圖 ） 將頻譜變換為時間函數(shù)時存在相同的 現(xiàn)象； 采用矩形窗口截斷信號必然出現(xiàn) Gibbs 現(xiàn)象。 16 DTFT 離散時間信號的付氏變換 定義式 ? ? ? ????T nTjd deXTnx /202??? ??? ? ? ? ? nTjndenxX ?? ??????? 頻譜 ? ? ? ?TXX dd /2 ??? ?? 具有周期性 ??nx 可以表達為任何一個周期上的積分 主值區(qū)域： ss fffTT 2121 ?????? ??? 例 anu[n] 的頻譜 ? ? ? ? 11 1 ???? ??? ? aaenuanx TjFTn ? 圖 17 例 離散時間矩形窗口函數(shù) wd[n]的頻譜 ? ? ? ? ) i n ( ) i n (01 T TNMn Mnnwnx FTd ???? ????? ???? N=2M+1 圖 與連續(xù)時間窗口類似，離散時間窗口的頻譜在一個周期內(nèi)也產(chǎn)生主瓣與旁瓣，頻譜零點位于 NTm ?? 2? 處；主瓣高度為 N；旁瓣只有 N2 個； 18 例 數(shù)字理想低通濾波器 ? ? ? ????????? ???ccdFTcd Hn nnh ?? ???? ? 01s i n （ 圖 ） DT周期信號的頻譜 標(biāo)準(zhǔn)信號 ? ?020 ????? ??? ?? Te FTTjn ? ????TFT 21 ?? ?? 時域沖激串對應(yīng)于頻域沖激串 一般周期信號 將 DT周期信號先展開為 DTFS，再進行逐項變換； ? ? ? ? ? ?020 ?????? mcTXex mdNmdFTnTjmNm md ???? ??? ?? ?? 截斷的影響 對無限長時間 DT 信號進行計算時，必須進行截斷； 時域截斷模型：以窗口函數(shù)乘以時間函數(shù) ? ? ? ?nwnx d? 頻域?qū)?yīng)卷積： ? ? ? ? ? ? ? ??? ???TT dddd dXWTWX //2?? ??????? 19 其中 ? ? TTNW d ??? i n i n? N=2M+1 截斷效果 圖 使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高 L=2a、寬 4π/L）和旁瓣（高 、寬 2π/L）； 對于有限帶寬信號，截斷導(dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L 越小，上述效應(yīng)越顯著。 矩形窗截斷必然導(dǎo)致 Gibbs 現(xiàn)象 圖 連續(xù)信號的離散化 連續(xù)信號不能進行數(shù)值計算，必須離散化為離散信號； 連續(xù)信號離散化過程稱為采樣過程； Nyquist 采樣定理 理想采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時間信號離散化 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?????????????? ???? ????mdFTns TmXTXnTttxtx ???? 21 時域離散化 頻域周期性復(fù)制 恢復(fù)采樣信號的條件： 1 帶限信號 ? ? WforX ?? ?? 0 存在最高頻率 ?2/max Wf ? 2 采樣頻率 m a x2/1 fTfs ?? （ Nyquist rate） 滿足上述條件時，可通過頻域的低通濾波（截止頻率為 2/sf ）分離出原始頻譜，恢復(fù)信號； 該操作等效于時域的理想內(nèi)插恢復(fù)（在每個采樣點插入連續(xù)取樣函數(shù)）。 頻率混疊問題 不滿足條 件 2 時，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號可恢復(fù)； 不滿足條件 1 時，總是產(chǎn)生混疊； 當(dāng) CT 信號能量有限時，可以增大 T 使得混疊影響足夠小； 對信號進行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。 20 時限帶限理論 任何非零連續(xù)信號都不可能即為時限又為帶限； 利用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號時必然需要截斷，必然產(chǎn)生誤差； 在一定誤差范圍內(nèi)，有限能量的連續(xù)信號可以近視看作為時限帶限信號，并利用數(shù)字技術(shù)處理。 音頻信號的實際處理過程 模擬信號 采樣及零階保持 ADC數(shù)字編碼信號 數(shù)字編碼信號 DAC零階保持信 號 低通濾波 模擬信號 DT周期信號的頻譜 標(biāo)準(zhǔn)信號 ? ?020 ????? ??? ?? Te FTTjn ? ????TFT 21 ?? ?? 時域沖激串對應(yīng)于頻域沖激串 一