【正文】 DTFS 的關(guān)系： 將有限長時間序列看作無限長時間序列的一個周期，就可以進(jìn)行 DTFS 變換 ? ? dmd NcmX ? 只相差常數(shù) N 反變換的時域混疊問題 當(dāng)時域序列為有限長 m 時，作 N 點(diǎn)的 DFT N≥m 不會產(chǎn)生混疊 DFT 和 DTFT 反變換結(jié)果相同； Nm 會產(chǎn)生混疊 DFT 和 DTFT 反變換結(jié)果不同； 當(dāng)時域序列為有限長 m 時，作 N 點(diǎn)的 DFT 當(dāng)時域序列為無限長時，作 N 點(diǎn)的 DFT 的反變換一定會產(chǎn)生混疊；但若時域序列為絕對可和，則當(dāng) N 足夠大時，混疊可以忽略。 奇偶性 周期時移 —圓周移動 DFT解決頻率計(jì)算問題的方式： 對有限時間序列的連續(xù)頻譜，只計(jì)算其中離散的采樣點(diǎn)； DFT存在的問題： 計(jì)算量問題： 對于 N 點(diǎn) DFT， 需進(jìn)行 N2次復(fù)數(shù)乘法， N（ N1）次復(fù)數(shù)加法； N的增加導(dǎo)致運(yùn)算量龐大， N 的減少導(dǎo)致誤差增大； FFT 快速付氏變換 利用 DFT 的奇偶性質(zhì)及周期性質(zhì)，對計(jì)算公式進(jìn)行分解，降低計(jì)算量。 FFT 的蝶形運(yùn)算方式可以極大地減少 DFT 的運(yùn)算工作量；在 的表 N 的增加， DFT 與 FFT 運(yùn)算量的比較； 在 FFT 的蝶形運(yùn)算圖中可以看出，各層蝶形運(yùn)算可以構(gòu)成流水線處理形式，一次蝶形運(yùn)算完成，數(shù)據(jù)提供給下一層后，就可以對新的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理；因此， FFT 對數(shù)據(jù)的平均處理時間可以壓縮到 1 次蝶形運(yùn)算的時間 。 對稱區(qū)間排布函數(shù) shift（ fft（ x， N））：參見 可以使 ? ?NTm /2?? ? 的取值位于 ]/,/( TT ??? 的對稱區(qū)間內(nèi)； 用 FFT 進(jìn)行頻譜計(jì)算 26 有限時間序列的頻譜計(jì)算 從 0 開始的序列： 直接對該序列進(jìn)行計(jì)算 ( 例 ) 不是從 0 開始的序列： 將該序列進(jìn)行周期性擴(kuò)展后，選取從 0 開始的周期進(jìn)行計(jì)算 % program N=4。D=2*pi/(N*T)。 % 給出時間信號 序列 X=fftshift(fft(x,N))。 % 設(shè)置離散頻率坐標(biāo)向量 w=2*pi::2*pi。 % 根據(jù)定義寫出連續(xù)頻率函數(shù) subplot(1,2,1),plot(w,abs(X1),m*D,abs(X),39。),title(39。)。o:39。(b)39。 %相頻特性圖 當(dāng)序列很短時，頻域采樣點(diǎn)太少，頻率分辨率低； 提高頻率分辨率的手段： 為時域序列補(bǔ) 0，增加采樣點(diǎn)數(shù) N 從 0 開始的序列： 在該序列之后補(bǔ) 0 可以通過直接改寫程序中的 N 值實(shí)現(xiàn)，當(dāng) N 大于 x序列長度時， fft（ x， N）自動為 x補(bǔ) 0； 直接對該序列進(jìn)行計(jì)算 ( 例 ) 不是從 0開始的序列： 將該序列進(jìn)行尾端補(bǔ) 0后 ，再進(jìn)行周期性擴(kuò)展，然后選取從 0開始的周期進(jìn)行計(jì)算；（ 例 ） 若只是計(jì)算幅頻特性，也可以將序列起點(diǎn)直接移到 0點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算（時移不影響幅頻特性）； 無限時間序列的頻譜計(jì)算 無限序列通常不存在分辨率問題，但必須進(jìn)行截斷才能計(jì)算； 截斷必然導(dǎo)致誤差，計(jì)算時需要考慮計(jì)算精度問題； 方案： 尋找最小的 a，使得采用 N=2a點(diǎn)序列和 N/2 點(diǎn)序列計(jì)算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)； 要點(diǎn)： 只對幅頻特性進(jìn)行比較； 若時間序列為實(shí)序列，則幅頻特性為偶函數(shù)，只對正區(qū)間比較； 兩序列頻譜采樣 點(diǎn)密度不同，只能在公共的采樣點(diǎn)上進(jìn)行比較； 例 要點(diǎn)：兩序列比較時，長序列密度比短序列大，因此長序列隔位與短序列逐位比較； % program T=。b=100。 while bbeta N1=2^a。 x1=.^n1。 N2=2*N1。 x2=.^n2。 m1p=0:N1/2。 mm=max(abs(X1(m1p+1)))。a=a+1。 對周期信號應(yīng)采用 CTFS 進(jìn)行計(jì)算：在一個周期內(nèi)計(jì)算頻譜。 由頻譜計(jì)算離散時間信號 （反變換） 對反變換進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時，同樣可以 利用 FFT 函數(shù)進(jìn)行； 對于存在于對稱區(qū)間內(nèi)的頻譜，計(jì)算開始前必須按周期擴(kuò)展方式，選取以 0為起點(diǎn)的周期中的序列； 對頻譜采樣點(diǎn) N 的選取應(yīng)確保消除時域混疊效應(yīng)，其判據(jù)為：所得時域信號有一段區(qū)域全為 0； 由于 DFT 是由時域信號經(jīng)過周期擴(kuò)展后，任選一個周期計(jì)算所得，因而一次反變換通常無法確定時域信號的原始起點(diǎn)；采用不同的 N 進(jìn)行多次反變換，對比其公共序列，可以確定出原始時間序列的起點(diǎn)：不同的 N 對應(yīng)于不同的補(bǔ) 0 序列，這些序列由于周期長度不同除了在原周期內(nèi)一致外，在其他地方通常會有差異； 例： —178 圖 若某頻譜所對應(yīng)的時間序列為正區(qū)間信號，并且頻率采樣點(diǎn) N 大于從 n=0 開始的時間序列長度，則由 inverse FFT 計(jì)算出的序列就是原始序列。 系統(tǒng)的表達(dá)：沖激響應(yīng) 序列 ??nh FIR 濾波器 有限沖激響應(yīng) 長度 N 為有限 例如：移動平均系統(tǒng) 無記憶系統(tǒng)（乘法器） IIR 濾波器 無限沖激響應(yīng) LTI 系統(tǒng)的差分方程描述 在卷積描述中，隨著 n 的增加， ??ny 的計(jì)算量增加； 利用差分方程，可以有效減少計(jì)算量和存儲量； 例 儲蓄系統(tǒng) ? ? ? ? ? ?nxnyny ??? 100 01 系統(tǒng)流程圖 （系統(tǒng)硬件實(shí)現(xiàn)的一種具體方式） 只由 3 種基本單元組成 單位延遲 乘法器 加法器 （ 圖 ） 差分方程與系統(tǒng)流程圖很容易相互表達(dá)； 集總系統(tǒng)： 可 以用有限個延遲器實(shí)現(xiàn)； 任何 LTI 系統(tǒng)都可用卷積描述，只有集總系統(tǒng)可以采用差分方程描述； 差分方程的一般形式： ? ? ? ?? ?? ??????KkMm mkmnxbknya1 111 （后向差分） 系統(tǒng)的表達(dá)：序列 a 序列 b 遞歸方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ...1...21 2132 ????????? nxbnxbnyanyany 當(dāng)前輸出與以前的輸出有關(guān)：系統(tǒng)中存在反饋； 與 IIR 系統(tǒng)對應(yīng)； 非遞歸方程： 除了 1a 外，所有 ka 都等于 0； ? ? ? ? ? ? ...121 ???? nxbnxbny 當(dāng)前輸 出與以前的輸出無關(guān)：系統(tǒng)中不存在反饋； 與 FIR 系統(tǒng)對應(yīng)； 31 與沖激響應(yīng)的關(guān)系： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ...110 ???? nxhnxhny 系數(shù)序列即為沖激響應(yīng)序列 （序列 b 與序列 h 對應(yīng)）； FIR 系統(tǒng)也能表達(dá)為遞歸方程以減少運(yùn)算量： 例 采樣周期與實(shí)時處理過程 在實(shí)時處理過程中，采樣周期受運(yùn)算周期限制，不能過?。? 在非實(shí)時處理（存儲處理）時，可以不受運(yùn)算周期和因果性的限制； z變換 系統(tǒng)表達(dá)的重要工具 定義：對于正區(qū)間信號 ??nx ， 其 z變換定義為 ? ? ? ??????0nnznxzX 例 z變換的計(jì)算：直接利用定義式和求和公式； 反 z變換：長除法，對 z 進(jìn)行降序排列； 收斂域問題： 保障求和有限的 z 的可能取值區(qū)間； ROC ? ??,: az 簡單信號的 z變換： 只考慮正區(qū)間， n 從 0 開始 ? ? kz zkn ?? ???? ? ? 11 ?? ??? zn z? 單位延遲 bz zbzb zn ???? ?? ? 11 1 時移性質(zhì) 若 ? ? ? ?zXnx z? ?? ， 則 ? ? ? ? 0?? ??? ? kzXzknx kz ? ? ? ? ? ? 010????????? ?? ??? ? ???? kzixzXzknx kiikz 反 z變換的計(jì)算方法 長除法 將 ??zX 表示為有理分式，直接用分子除以分母； 要點(diǎn)：分子和分母都必須以 kz? 的降序形式 32 部分分式展開及查表法 將 ??zX 表示的有理分式分解為一階分式及二階分式之和，再利用基本變換對進(jìn)行變換； 要點(diǎn)：將分母進(jìn)行因式分解； ? ? ? ?? ?? ? ? ? ????? ??? 11211 111 zzzzzzzNzXn? 1122111 111 ??? ?????? zzAzzAzzAnn? ? ? ? ? izzii zXzzA ???? 11 基本變換對： bz zbzb zn ???? ?? ? 11 1 FFT 計(jì)算方法 選取常數(shù) c 大于 ??zX 的最大極點(diǎn)的幅度（確保反變換后得到正區(qū)間信號）； 取 ? ? )( ?jceXzX ? ，對應(yīng)為頻譜函數(shù)； 利用 FFT 進(jìn)行反 DTFT 計(jì)算，選取足夠大的采樣點(diǎn) N，可以得到反 z變換序列? ? 1,. ..1,0 ?? Nnnx ； 例 轉(zhuǎn)移函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)） ? ? ? ? ? ??????0kkhknxny 進(jìn)行 z變換： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?zHzXzkhzXkhzXzzYkkkk ???? ?? ??????00 系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ?zX zYznhzHnn ?? ????0 系統(tǒng)采用系統(tǒng)函數(shù)的描述： 可以看作沖激響應(yīng) 序列 ??nh 的 z變換； 可以看作差分方程序列 b 與序列 a 的分式 ： ? ? ? ?? ?zA zBzH ? 33 利用系統(tǒng)函數(shù)，能夠方便地進(jìn)行各種表達(dá)方式的轉(zhuǎn)換； 例 （ ）由差分方 程得到系統(tǒng)函數(shù) 對于因果的 LTI集總系統(tǒng)， ? ? ? ?? ?zD zNzH ? 為真分式， ??zD 的階數(shù)就代表了系統(tǒng)的階數(shù)； 系統(tǒng)函數(shù)的 MATLAB 表達(dá)： 采用序列 a 和 b 表達(dá)（長度相同） 系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的計(jì)算 零點(diǎn)與極點(diǎn)的定義 MATLAB 函數(shù)： zplane（ b， a） [z， p， k]=tf2zp（ b， a） 零點(diǎn)和極點(diǎn)的作用 極點(diǎn)對系統(tǒng)響應(yīng)影響更大 例： 圖 與系統(tǒng)函數(shù)有關(guān)的其他 MATLAB 函數(shù) dimpulse (bp,ap,N) 系 統(tǒng)沖激響應(yīng)： N 點(diǎn)序列 dstep (bp,ap,N) 系統(tǒng)階躍響應(yīng)： N 點(diǎn)序列 [r,p,k]=residuez (bn,an) 系統(tǒng)函數(shù)分解及沖激響應(yīng)表達(dá)式 ? ? ...113253 12211123 3 ????????? ?? ?? zprzprkzzz zzzH ? ? ? ? ...222211 ???? prprnknh ? 例： 圖 FIR 和 IIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) FIR 濾波器只在原點(diǎn)存在極點(diǎn)； IIR 濾波器在原點(diǎn)以外存在極點(diǎn)； 離散時間付氏變換與 z變換的關(guān)系 DTFT 不適合用于正區(qū)間信號分析，因而不適合用于系統(tǒng)分析； 系統(tǒng)穩(wěn)定性 BIBO 對于有界輸入，輸出必須有界； 穩(wěn)定系統(tǒng) ? ??????0nnh 系統(tǒng) 沖激響應(yīng)絕對可和； 系統(tǒng) 所有極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)； MATLAB 函數(shù)： roots（ bn） 計(jì)算出系統(tǒng)函數(shù)所有極點(diǎn)； 系統(tǒng)頻率響應(yīng)及其計(jì)算 對比 z變換和 DTFT 的定義式 ? ? ? ??????0nnznxzX ? ? ? ??????0njnd enxX ?? 34 可以得出 ? ? ? ??? jd eXX ? 此關(guān)系式對于穩(wěn)定的離散因果系統(tǒng)和絕對可和的輸入成立； 由以上關(guān)系可得： ? ? ? ? ? ??? ? djd XeHY ? 系統(tǒng) —頻率響應(yīng) 信號 —頻譜 單位圓上的系統(tǒng)函數(shù) ? ? ? ??jeHzH ? ?? 就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)； MATLAB 函數(shù)： [h， w]=freqz (bn,an,n) 給出 ),0[ ? 區(qū)間上 n 點(diǎn)等分的頻率響應(yīng)； （沒有 n 時，自動給出 512 點(diǎn)）； 可以用 w 為頻率坐標(biāo)， h 為函數(shù)，利用 plot 函數(shù)畫出頻率響應(yīng)曲線； 系統(tǒng)一般響應(yīng)的計(jì)算 MATLAB 函數(shù)： y=dlsim (bp,ap,x) y=filter (bn,an,x) 對指定系統(tǒng)和輸入序列 x，給出輸出序列 y（長度與 x相同）； 例 ( ) 例 ( ) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng) 由穩(wěn)定輸入信號（如階躍信號、正弦信號）產(chǎn)生的響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)函數(shù)形式與輸入函數(shù)形式基本一致； 由系統(tǒng)極點(diǎn)產(chǎn)生的響應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)呈現(xiàn)指數(shù)衰減形式； 暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)時間（ 1%最大值）的計(jì)算： ?ln/??a 為系統(tǒng)的最大極點(diǎn)， a 為序列長度； 有限時間后，可以認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)；在進(jìn)行系統(tǒng)分析時，通?？梢圆豢紤]暫態(tài)響應(yīng)。 a=[a(1) a(2)…a(N