【正文】 要求體現(xiàn)在高考考試大綱上，無(wú)論是原來(lái)的考試大綱還是新課程標(biāo)準(zhǔn)的考試大綱，對(duì)中學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想的考查要求是很高的 . 高考對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的要求： 1 . 《考試大綱》的要求 : “ 數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查． ” “ 對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括的考查，考查時(shí)必須要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的理解．要從學(xué)科整體意義和思想價(jià)值 立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測(cè)考生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度． ” 2. 高考評(píng)價(jià)報(bào)告要求 : “ 數(shù)學(xué)在培養(yǎng)和提高人的思維能力方面有著其他學(xué)科所不可替代的獨(dú)特作用，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)不僅僅是一種重要的 “ 工具 ” 或者 “ 方法 ” ，更重要的是一種思維模式，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想。 高考數(shù)學(xué)科提出 “ 以能力立意命題 ” ，正是為了更好地考查數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)考生數(shù)學(xué)理性思維的發(fā)展。因此，要加強(qiáng)如何更好地考查數(shù)學(xué)思想的研究，特別是要研究試題解題過(guò)程的思維方法，注意考查不同思維方法的試題的協(xié)調(diào)和匹配，使 考生的數(shù)學(xué)理性思維能力得到較全面的考查。 ”( 《 2020年普通高考數(shù)學(xué)科試題評(píng)價(jià)報(bào)告》（教育部考試中心） ) 3. 考試中心對(duì)教學(xué)與復(fù)習(xí)的建議 : 在考試中心對(duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的建議中指出： “ 數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有更高的層次．具有觀念性的地位， 如果說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，那么 數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)意識(shí)，只 能領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決 . ” ． “ 數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得 ，與此同時(shí)又應(yīng)該領(lǐng)會(huì)它們?cè)谛纬芍R(shí)中的作用， 到了 復(fù)習(xí)階段應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)基本方法進(jìn)行疏理、總結(jié)，逐個(gè)認(rèn)識(shí)它們的本質(zhì)特征、思維程序或者操作程序，逐步做到自覺(jué)地、靈活地施用于所要解決的問(wèn)題． 近幾年來(lái)，高考的每一道數(shù)學(xué)試題幾乎都考慮到數(shù)學(xué)思想方法或數(shù)學(xué)基本方法的運(yùn)用，目的也是加強(qiáng)這些方面的考查 . 同樣 , 這些高考試題也成為檢驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí) , 同時(shí)又是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的良好素材 , 復(fù)習(xí)時(shí)可以有意識(shí)地加以運(yùn)用 .”. ( 二 ) 數(shù)學(xué)思想方法的三個(gè)層次 : 數(shù)學(xué)基本方法 包括： 待定系數(shù)法，換元法，配方法，割補(bǔ)法，反證法等； 數(shù)學(xué)邏輯方法 （或思維方法）包括： 分析與綜合。歸納與 演繹，比較與類比，具體與抽象等； 數(shù)學(xué)思想 包 括： 函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類與整合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想， 特殊與一般的思想， 有限與無(wú)限的思想， 或然與必然的思想等。 在高考復(fù)習(xí)時(shí)，要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想在提高解題能力的重要性，有意識(shí)地在復(fù)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思想。 1. 函數(shù)與方程的思想 考試中心對(duì)考試大綱的說(shuō)明中指出： “ 高考把函數(shù)與方程的思想作為七種思想方法的重點(diǎn)來(lái)考查，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的 基本運(yùn)算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查。 ” 什么是函數(shù)和方程思想？ 我們先從兩個(gè)例題談起。 【 例 1 】已知兩條曲線： 橢圓 221:194xyC ??和圓? ? ? ?2222 : 1 0C x y r r? ? ? ?, 若兩條曲線沒(méi)有公共點(diǎn) ,求 r 的取值范圍 . 【分析及解】 一般的解法是 : 從1C和2C的方程中消去一個(gè)未知數(shù) , 比如消去x,得到一個(gè)關(guān)于y的方程 2252 1 0 04y y r? ? ? ? ?, ① 因?yàn)閮蓷l曲線沒(méi)有公共點(diǎn) ,所以方程 ① 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 ,即判別式小于零 , 即 ? ?254 4 1 0 0 ,4r??? ? ? ? ? ????? 解得 545r ?或545r ??( 由0r ?,545r ??舍去 ). 這就是說(shuō) , 若兩條曲線沒(méi)有公共點(diǎn) , r 的取值范圍為545r ?. 這個(gè)結(jié)果是否正確呢 ? 我們可以畫(huà)一個(gè)圖來(lái)觀察 , 如圖 1 1, 以? ?0 , 1?為圓心 ,01 r??為半徑的圓2C與橢圓1C沒(méi)有公共點(diǎn) , 但是01 r??這一結(jié)果在上面的計(jì)算中 , 并沒(méi)有出現(xiàn) , 顯然 , 這種解法出了毛病 ! 我們換一個(gè)思路 : （ 1 ）思路 1. 用函數(shù)思想來(lái)思考 . 由方程 ① 變形為2252 1 04r y y? ? ? ?. 把22 52 1 04r y y? ? ? ?看作y的函數(shù)。 由橢圓1C可知 ,22 y? ? ?, 因此 , 求使圓2C與橢圓1C有公共點(diǎn)的r的集合 , 等價(jià)于在定義域?yàn)? ?2 , 2y ??的情況下 , 求函數(shù)? ?2252 1 04r f y y y? ? ? ? ?值域 . 由? ? ? ?4 5 42 1 , 2 9 , ,55f f f??? ? ? ?????可得? ?fy的值域是2541,5r???????, 即541,5r??? ????, 它的補(bǔ)集就是圓2C與橢圓1C沒(méi)有公共點(diǎn)的r的集合 , 因此 , 兩條曲線沒(méi)有公共點(diǎn)的r的取值范圍是01 r??或545r ? 圖 1 1（ 2 ） 思路 2. 用方程思想來(lái)思考 . 兩條曲線沒(méi)有公共點(diǎn) , 等價(jià)于方程2252 1 0 04y y r? ? ? ? ?或者沒(méi)有實(shí)數(shù)根，或者兩個(gè)根? ?12, 2 , 2yy ??. 若沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則 ? ?254 4 1 0 0 ,4r??? ? ? ? ? ????? 解得 545r ?或545r ??. ( 由0r ?,545r ??舍去 ). 若兩個(gè)根? ?12, 2 , 2yy ??，設(shè)225( ) 2 1 0 ,4y y y r? ? ? ? ? ?則 22( 2 ) 9 0 ,( 2 ) 1 0 .rr??? ? ? ??? ? ? ?? 解得01 r??. 因此 , 兩條曲線沒(méi)有公共點(diǎn)的 r 的取值范圍是01 r??或545r ?. 【 例 2 】 已知集合? ?22( , ) ( 1 ) ( 1 ) 1M x y x x y y? ? ? ? ? ?, 則集合 M 表示的圖形是 ( ) . A . 直線 B . 線段 C . 拋物線 D . 圓 【分析及解】 初看此題 , 可能不知如何下手 , 會(huì)進(jìn)行平方等運(yùn)算 , 然而會(huì)發(fā)現(xiàn) ,運(yùn) 算 較為 復(fù)雜 , 我們放棄 繁 瑣的運(yùn)算 , 而用函數(shù)和變量來(lái)思考 . 思路 1. 把式子中的字母,xy看作變量 , 把等式中出現(xiàn)的代 數(shù)式看作函數(shù) . 等式化為2221111x x y yyy? ? ? ? ? ? ??? 構(gòu)造函數(shù)2( ) 1 ( )f x x x x? ? ? ? R, 則上式就是( ) ( )f x f y??, 由于 , 函數(shù)2( ) 1 ( )f x x x x? ? ? ? R為 R 上的增函數(shù) , 則 ,xy??即??所以 , 集合 M 表示的圖形是直線 . 故選 A. 這個(gè)問(wèn)題的解決是函數(shù)思想的勝利 . 我們還可以用另一種函數(shù)來(lái)思考 . 思路 2. 構(gòu)造一個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)2( ) l g ( 1 ) ( )g x x x x? ? ? ? R, 則()gx為 R 上的增函數(shù) ,且為奇函數(shù) . 又已知等式可化為 22( ) ( ) l g ( 1 ) l g ( 1 ) l g 1 0g x g y x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是有 ( ) ( ) ( )g x g y g y? ? ? ?,因此,xy??即?? 所以 ,集合 M 表示的圖形是直線 .故選 ( A ) . 思路 3. 以方程的知識(shí)為切入點(diǎn) , 設(shè)22 1 , 1 ,s x x t y y? ? ? ? ? ? 于是 ,st分別是方程22 2 1 0 , 2 1 0s x s t y t? ? ? ? ? ?的正根 . 由此可得112 0 , 2 0 ,s x t yst? ? ? ? ? ?相加并注意到 1st ? , 2 ( ) 0 ,sts t x yst?? ? ? ? ?即?? 所以 , 集合 M 表示的圖形是直線 . 故選 A. 從以上兩個(gè)例題可以 認(rèn)識(shí)到函數(shù)和方程思想 的基本內(nèi)涵 . F. 克萊因有一句名言： “ 一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會(huì)的重要事情使用變量和函數(shù)來(lái)思考。 ” 函數(shù)思想 ，就是學(xué)會(huì)用變量 和函數(shù) 來(lái)思考， 就是 從函數(shù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度考慮問(wèn)題 , 研究問(wèn)題和解決問(wèn) 題 , 就是 使用函數(shù)的方法研究和解決函數(shù)的問(wèn)題以及構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式來(lái)研究和解決非函數(shù)問(wèn)題 . 方程思想 , 就是 學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系 , 解方程的過(guò)程就是求 函數(shù)的零點(diǎn)的過(guò)程 , 通過(guò)對(duì)解方程的研究和對(duì)方程的根的研究考慮問(wèn)題和解決問(wèn)題 . 對(duì)函數(shù)和方程思想的考查 , 主要是考查能不能用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題 , 在用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題時(shí)要經(jīng)常思考下面一些問(wèn)題 : 我們重點(diǎn)研究函數(shù)思想 . 我們重點(diǎn)研究函數(shù)思想 . 能否用函數(shù)思想作指導(dǎo)解決問(wèn)題 , 有以下幾個(gè)想到?jīng)]想到的問(wèn)題 . 1. 是不是想到了 把一個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)函數(shù) ? 把方程化作函數(shù) ? 把字母看作變量？ 2. 如果把一 個(gè)代數(shù)式看成了函數(shù)，把一個(gè)或幾個(gè)字母看成了變量， 是不是想到了運(yùn)用 函數(shù) 的 性質(zhì) 解題 ？ 3. 如果一個(gè)問(wèn)題從表面上看不是一個(gè)函數(shù)問(wèn)題， 是不是想到了 構(gòu)造一個(gè)函數(shù)來(lái)幫助解題？ 4 ． 對(duì)于 一個(gè)等式 是不是想到了把這個(gè)等式 看作為一個(gè)含未知數(shù)的方程？ 5 ． 如果是一個(gè)方程， 是不是想到了對(duì) 這個(gè)方程的根（例如根的虛實(shí)，正負(fù)，范圍等）有什么要求？ 1. 是不是想到 把字母看作變量或把代數(shù)式看作函數(shù) . 【例 1 】 ( 2020 全國(guó) Ⅱ 卷 ,理 ) 設(shè)1a ?，則雙曲線 22221( 1 )xyaa???的離心率e的取值范圍是（ ） A ．( 2 2)， B ．( 2 5 )， C ．( 2 5 )， D ．( 2 5 )， 【分析及解】 222222( 1 ) 1( ) 1 1c a aea a a?? ??? ? ? ? ?????， 把? ?2111gaa??????? ? ?看作函數(shù)， 因?yàn)閍1是減函數(shù)， 則? ?2111gaa??? ? ?????，所以當(dāng)1a ?時(shí) , 110 ??a，所以52 2 ?? e，即52 ?? e. 故選 B. 【例 2 】 （ 2020 湖北卷，理）已知二次函數(shù)? ?y f x?的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) ,其導(dǎo)數(shù)為? ? 6 x x? ??數(shù)列{}na的前n項(xiàng)和為nS，點(diǎn)( , )( )nn S n ?? N均在函數(shù)? ?y f x?的圖像上 . （ Ⅰ ） 求數(shù)列{}na的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ） 設(shè)13??nnnaab，nT是數(shù)列{}nb的前 n 項(xiàng)和，求使得20nmT ?對(duì)所有n ?? N都成立的最小正整數(shù) m . 【分析及解】 （ Ⅰ ） 依題意得，設(shè)這二次函數(shù)? ? ? ?2 0f x a x b x a? ? ? , 則