拋物線壓軸題答案-文庫吧
2025-06-13 15:05 本頁面
【正文】 4（4），過點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線于點(diǎn)Q交x軸于點(diǎn)F，連接BQ2．∵ ∠CBO=45176。，∴∠CFB=45176。，OF=OC=3．∴ 點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，0）．∴ 直線CF的解析式為．由解得∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（1，4）．綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q1（2，5）、Q2（1，4），使△BCQ△BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形．說明：如圖14（4），點(diǎn)Q2即拋物線頂點(diǎn)M，直接證明△BCM為直角三角形，在△ABC中，AB=BC，P為AB邊上一點(diǎn)，連接CP，以PA、PC為鄰邊作?APCD，AC與PD相交于點(diǎn)E，已知∠ABC=∠AEP=α（0176。＜α＜90176。）．（1）求證：∠EAP=∠EPA；（2）?APCD是否為矩形？請說明理由；（3）如圖2，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，連接FP，將∠AEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得到∠MEN（點(diǎn)M、N分別是∠MEN的兩邊與BA、FP延長線的交點(diǎn)）．猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定。專題：證明題；探究型。分析：（1）根據(jù)AB=BC可證∠CAB=∠ACB，則在△ABC與△AEP中，有兩個(gè)角對應(yīng)相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可證得；（2）由（1）知∠EPA=∠EAP，則AC=DP，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可求證；（3）可以證明△EAM≌△EPN，從而得到EM=EN．解答：（1）證明：在△ABC和△AEP中，∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，∴∠ACB=∠APE，在△ABC中，AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠EPA=∠EAP．（2）解：?APCD是矩形．理由如下：∵四邊形APCD是平行四邊形，∴AC=2EA，PD=2EP，∵由（1）知∠EPA=∠EAP，∴EA=EP，則AC=PD，∴?APCD是矩形．（3）解：EM=EN．證明：∵EA=EP，∴∠EPA===90176。﹣α，∴∠EAM=180176。﹣∠EPA=180176。﹣（90176。﹣α）=90176。+α，由（2）知∠CPB=90176。，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴FP=FB，∴∠FPB=∠ABC=α，∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90176。﹣α+α=90176。+α，∴∠EAM=∠EPN，∵∠AEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得到∠MEN，∴∠AEP=∠MEN，∴∠AEP﹣∠AEN=∠MEN﹣∠AEN，即∠MEA=∠NEP，在△EAM和△EPN中，∴△EAM≌△EPN（AAS），∴EM=EN．點(diǎn)評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及矩形的判定方法，在旋轉(zhuǎn)中找到題目中存在的相等的線段以及相等的角是解決本題的關(guān)鍵． ：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)P，F(xiàn)分別在邊BC、AB上，若AP⊥DF于點(diǎn)H，則AP=DF．類比探究：（1）如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)P、F．、G分別在邊BC、AB、AD上，若GP⊥DF于點(diǎn)H，探究線段GP與DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖③，在正方形ABCD中，點(diǎn)P、F、G分別在邊BC、AB、AD上，GP⊥DF于點(diǎn)H，將線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。得到線段PE，連結(jié)EF，若四邊形DFEP為菱形，探究DG和PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）如答圖1，過點(diǎn)A作AM⊥DF 交BC于點(diǎn)M．通過證明△BAM≌△ADF得到其對應(yīng)邊相等：AM=DF，則又由平行四邊形的性質(zhì)推知AM=GP，則GP=DF；（2）如答圖2，過點(diǎn)P作FN⊥AD與點(diǎn)N．根據(jù)菱形的性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知DG=2DN，然后結(jié)合矩形DNPC的性質(zhì)得到：DG=2PC．【解答】解：（1）GP=DF．理由如下：如答圖1，過點(diǎn)A作AM⊥DF 交BC于點(diǎn)M．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠B═90176。，∴∠BAM=∠ADF，在△BAM與△ADF中，∴△BAM≌△ADF（ASA），∴AM=DF又∵四邊形AMPG為平行四邊形，∴AM=GP，即GP=DF；（2）DG=2PC
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