【正文】 或如何求解非線(xiàn)性微分方程，關(guān)系到科學(xué)研究的深入和發(fā)展，越來(lái)越多的科學(xué)工作者在這一方面的研究都表示出了極大的興趣．由于非線(xiàn)性科學(xué)研究的深入和發(fā)展，人們對(duì)非線(xiàn)性現(xiàn)象的分析，從早期的只是從理論上對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性現(xiàn)象作了線(xiàn)性近似，到現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，非線(xiàn)性科學(xué)也得到了迅速的發(fā)展．人們普遍認(rèn)識(shí)到，非線(xiàn)性科學(xué)不僅是出于自然科學(xué)前沿的學(xué)科，而且是一門(mén)研究非線(xiàn)性現(xiàn)象共性的交叉學(xué)科，因此它又被譽(yù)為 20 世紀(jì)以來(lái)，繼相對(duì)論和量子力學(xué)之后的第三次“科學(xué)革命” ．越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家能夠在前人的基礎(chǔ)上不斷的研究出求解非線(xiàn)性方程的新方法，得到的新的精確解能夠幫助他們發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象，從而解決一些相關(guān)的問(wèn)題．研究精確解也能作為數(shù)值分析中求近似解的基礎(chǔ)，解決一些其他學(xué)科所面臨的不能解決的難題，因此求解非線(xiàn)性方程的精確解是非常具有理論價(jià)值和使用價(jià)值的． 非線(xiàn)性方程的研究現(xiàn)狀近年來(lái)，由于計(jì)算機(jī)的進(jìn)步和發(fā)展，加快了非線(xiàn)性科學(xué)的發(fā)展．經(jīng)過(guò)多年的研究，目前求非線(xiàn)性微分方程的精確解已經(jīng)發(fā)展了許多方法. 如：廣田提出的雙線(xiàn)性方法 [1]，Gardner, Greene, Miura 等發(fā)現(xiàn)的反散射法 [2]，王明亮教授和李志斌教授提出的齊次平衡法 [3]， Malfliet 提出的雙曲正切函數(shù)法 [4]，張鴻慶提出以代數(shù)化思想求解微分方程的理論，閆依據(jù)雙曲函數(shù)法的構(gòu)造思想提出了 sine1. 緒論2cosine 方法．Liu 等人提出的雅克比橢圓函數(shù)展開(kāi)法 [6]，馮兆生教授運(yùn)用可交換的代數(shù)理論，基于除法定理和 Hilbert 零點(diǎn)定理提出的首次積分方法該方法求得了很多非線(xiàn)性偏微分方程大量的精確解，例如 BurgersKdV 方程 [7]， 維空1?n間中一種近似的 SineGorden 方程 [8]，(2+1) 維 BurgersKdV 方程 [9]， Zhang 等人在橢圓函數(shù)展開(kāi)法和雙曲正切函數(shù)法的基礎(chǔ)上提出的 F展開(kāi)法 [10]． 本文的主要內(nèi)容本文利用首次積分法 [7]并結(jié)合除法定理討論了 Drinfel’dSokolovwilson 組的精確解，給出在首次積分中 的次數(shù)為 1 和 2 兩種情況下方程的行波解．特別y地，并結(jié)合參照文獻(xiàn)[14,15]得到更多 Drinfel’dSokolovwilson 的行波解．論文由四章組成，第一章主要介紹了非線(xiàn)性偏微分方程的研究背景、進(jìn)展和研究現(xiàn)狀，提出了本課題的研究意義和研究?jī)?nèi)容．第二章介紹了首次積分方法的思想和具體步驟，以及補(bǔ)充了后人對(duì)此方法的部分完善，第三章是利用首次積分方法求解 drinfel’dSokolovwilson 方程組得到了方程的一些新的精確解，第四章是對(duì)本文所作的工作進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單總結(jié)與展望．紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）342. 首次積分法的思想和基本步驟首次積分方法的基本思想是利用除法定理求出常微分方程的一個(gè)首次積分進(jìn)而求得偏微分方程的精確解 [16], 該方法是馮兆生于 2022 年提出 [7] ．其主要思想是：首先作變換，將原偏微分方程（組）轉(zhuǎn)化為常微分方程（組） ，然后通過(guò)積分，并作相應(yīng)的計(jì)算，將方程組轉(zhuǎn)化為二階的常微分方程，再次作變換，將方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程組，最后利用多項(xiàng)式整出原理，并借助于數(shù)學(xué)軟件求出方程組的一些精確解． 首次積分與除法定理首次積分：例如一階常微分方程： (21),dyx?將(21)變量分離得到 ,yx (22)兩邊積分得 (23)2,c??因此(21)的通解為 (24) 2,yxc?將原方程的任一解 代入(24)得到恒等式??xy (25) ??2,???則(25)就成為原方程的一個(gè)首次積分.以上結(jié)果很容易推廣到一階常微分方程組： (26)??????????,1121nnnyxfdyfyxdy????紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）5如果(26)的任何一個(gè)解 使得連續(xù)可微的函數(shù)????xyxyn,21? ??1,jnxy??成立，則 稱(chēng)為方程組(26)的 個(gè)首次積分??,12,j??? 1j jc???除法定理：設(shè) 式復(fù)數(shù)域 上的多項(xiàng)式，并且 在復(fù)數(shù)域zwQP, AzwP,上不可約，如果在 的所有零點(diǎn)處都有 ，那么存在復(fù)數(shù)域上A???0,?zwQ的多項(xiàng)式 使得 ．??zwG,?zG,? 首次積分方法的步驟步驟一：設(shè)非線(xiàn)性偏微分方程 (27)??,.0xtxtPu通過(guò)行波變換 可化為下列二階常微分方程：???,uxctR????. (28) ,?Q步驟二：引進(jìn)新的獨(dú)立變量 此時(shí)將常微分方程 (28)化為一階常微,?uYX?分方程組 (29)??,.XYf?????如果在相同條件下能獲得(29)的一個(gè)首次積分，則可直接獲得它的一般解．但通常情況下，這是非常難實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)給定的平面自治系統(tǒng)，既沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)的理論，也沒(méi)有一種常規(guī)方法來(lái)獲得它的一個(gè)首次積分．因此可以利用除法定理找到(29) 的一個(gè)首次積分，它可以將(29)化成一階可積的常微分方程組，然后直接積分就可以得到原方程的精確解．步驟三：設(shè)首次積分為 (210)其????,0,0???mi iYXaYXq??中 是復(fù)數(shù)域上關(guān)于 的待定多項(xiàng)式．由除法定理知在復(fù)ai ,21? X數(shù)域上存在多項(xiàng)式 使得??Yh??? (211)通??????,Yqdq?????過(guò)方程(211)可以確定多項(xiàng)式 ，從而求出 的表達(dá)式．在??Xai?, ??YXq,通常情況下假設(shè) 如有 ，與已知條件矛盾，直接考慮??0?Xai mii ??0下一種情況．在文獻(xiàn)[18] 中，當(dāng) 時(shí)遇到 ，此時(shí)將所得結(jié)果2??0?ai Drinfel’dSokolovWilson 方程6代入首次積分 ，依然得到了原方程的精確解．本文如遇到此種情??00???miiYXa況，借鑒了該方法．步驟四：將 代入方程組 ，求解常微分方程就可得??0?mii ??XY,f?????到原方程的精確解．紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）7 Drinfel’dSokolovwilson 方程 Drinfel’dSokolovwilson 方程考慮 Drinfel’dSokolovwilson 方程： (31)0,0,txxuvuv?????????假設(shè)方程組(31)具有如下形式的行波解： (32)(,),(),uxttxct?????將(32)代入(31)得到 (33) 0,cv???? (34) (3+????3)式對(duì) 積分一次，積分常數(shù)為 得；2R (35)將2211,ccuvR??(35)代入(34)得到方程組(31)的等價(jià)方程 (36) 21()()0,v? ?????????對(duì)（36 ）再對(duì) 積分一次得，并令 =0 得到方程組（31）的等價(jià)方程2R （331()().2Rvcvvc?????????????7）令 則方程(36)等價(jià)于,XY? (38) 31()().32RcXc???????????????假設(shè) 是方程組(38 的非平凡解，????YX?, ????YXq,是復(fù)數(shù)域 中不可約多項(xiàng)式，滿(mǎn)足??mi ia0?A (39)?,0,0??mi iaq其中 是關(guān)于 的待定多項(xiàng)式，則(39) 稱(chēng)為(38)的首次???,12,i ? X積分．下面就 和 兩種情況進(jìn)行討論． Drinfel’dSokolovWilson 方程8情形一設(shè) ，由(39)得到1?m (310)??,00?YXa注意到 的多項(xiàng)式，并且 必然有 根據(jù)除法定dq和是???0,????理，在復(fù)數(shù)域 中存在一個(gè)多項(xiàng)式 使得A ??, ,hXY??? (311)??010,qXqYYadd??????????????????即 ????????????YXaXXaa 0002110 ??????31()(),32RXcc????? ????? ?? ?比較上式兩邊 的各次冪系數(shù)，得到Y(jié), (312) ????a10??, (313) ??XaX??10? (314)?? ??31 0()().32RacaXc????? ???? ?? ?由方程(312)可得出 是常數(shù)且 不失一般性，可以??Xa1 ,???1,?Xa從而方程(313)、(314)化為 (315) ??,0Xa??? (316) ??31 0()().32RcXaXc??????? ?????? ?? ?平衡 的次數(shù)，可以得到 的次數(shù)只能為 ，否則如果??Xa、0 1 由方程(315)推出 方程(316)推出 與1,m???????? ??0,m???????1m?矛盾．類(lèi)似的如果 可以推出 由方程(316)推出矛??????X?X?盾．設(shè) 由方程(