排列組合和概率統(tǒng)計(jì)-文庫(kù)吧
2025-06-10 22:55 本頁(yè)面
【正文】 排列組合基礎(chǔ) 排列的基本概念及實(shí)例從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素（被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。如果元素和順序至少有一個(gè)不同。則叫做不同的排列。元素和順序都相同的排列則叫做相同的排列。排列數(shù)的計(jì)算公式為（其中m≤n，m，n206。Z）。（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作7個(gè)元素的全排列—— = 5040。（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理7654321 = 7！= 5040。（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作余下的6個(gè)元素的全排列—— = 720。（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，第一步，甲、乙站在兩端有種；第二步，余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，則共有=240種排列方法。（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一（直接法）：第一步，從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步，從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種方法，所以一共有=2400種排列方法。對(duì)于相鄰問題，常采用“捆綁法”，即先綁后松，關(guān)鍵在于怎么選擇綁定的對(duì)象。解法二：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭，且乙站在排尾則有種方法。所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400種。 7位同學(xué)站成一排。（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法。所以這樣的排法一共有=1440種。（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有=720種。（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法。所以這樣的排法一共有=960種方法。解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法。解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有種方法，再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以這樣的排法一共有= 960種方法。 組合的基本概念及實(shí)例一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào)表示。組合數(shù)的計(jì)算公式為：或 （n，m 206。 N*，且m≤n） 組合數(shù)還具有下面的性質(zhì)：。一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，剩下n m個(gè)元素。因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的n m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這n個(gè)元素中取出n m個(gè)元素的組合數(shù)，即：。在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想。注意利用組合數(shù)的這些性質(zhì)，在使用中往往可以起到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果。組合問題的關(guān)鍵在于分類，怎樣對(duì)情況進(jìn)行劃分。注意這里的不均勻分組和全排列的問題。注：1．規(guī)定。2．等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)。3．此性質(zhì)作用：當(dāng)時(shí)，計(jì)算可變?yōu)橛?jì)算，能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化。例如：===2002。4．或。 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球。（1）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：（1） （2） （3）可發(fā)現(xiàn)：。因?yàn)閺目诖鼉?nèi)的8個(gè)球中所取出的3個(gè)球，可以分為兩類：一類含有1個(gè)黑球，一類不含有黑球。因此根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，上述等式成立。一般地，從這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素a1，一類不含有a1。含有a1的組合是從這n個(gè)元素中取出m 1個(gè)元素與a1組成的，共有個(gè)；不含有a1的組合是從這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的，共有個(gè)。 6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法。（1）分給甲、乙和丙三人，每人兩本；（2）分為三份，每份兩本；（3）分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；（4）分給甲、乙和丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；（5）分給甲、乙和丙三人，每人至少一本。 解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到種。（2）分給甲、乙和丙三人，每人兩本有種方法。這個(gè)過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙和丙三名同學(xué)有
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