【正文】 也即稀疏編碼問(wèn)題是一個(gè)NP難問(wèn)題。然而，解決這一問(wèn)題我們有貪婪算法例如正交匹配追蹤（OMP）[31]，[33]，或者l0擬范數(shù)可以被凸松弛取代，在圖像為實(shí)數(shù)圖像時(shí)l1范數(shù)[34]問(wèn)題可以通過(guò)線性規(guī)劃[7]解決，在為復(fù)數(shù)圖像時(shí)可以通過(guò)二階錐規(guī)劃解決。當(dāng)觀測(cè)值有噪聲時(shí)，CS問(wèn)題應(yīng)用基追蹤去噪[35]解決。在特定的情況下，這些算法可以提供正確解，或者有很大的可能性提供正確解。在實(shí)踐中，這些算法相對(duì)其他算法通常能取得比預(yù)測(cè)好的效果和經(jīng)驗(yàn)效果[36][40]。壓縮感知已經(jīng)被應(yīng)用于各種磁共振形態(tài)，例如靜態(tài)磁共振成像[16]，[19]，[20]，動(dòng)態(tài)磁共振成像[17]，[21]，[41]，[42]，灌注成像和彌散張量成像（DTI）[45]。本文我們重點(diǎn)關(guān)注靜態(tài)磁共振成像的CS并進(jìn)行詳細(xì)研究。CSMRI重建問(wèn)題的典型公式利用l1松弛而非l0擬范數(shù)，并且對(duì)K空間觀測(cè)值的噪聲用如下的拉格朗日形式[16]說(shuō)明 minxFuxy22+λψx1 （2）這個(gè)公式包含一個(gè)全局稀疏觀測(cè)矩陣和解析的快速稀疏變換ψ。然而，一般變換例如小波會(huì)在重建結(jié)果中導(dǎo)致諸如吉布斯震蕩的偽影。因此，對(duì)應(yīng)于近似梯度稀疏變換的有限差分的全變分懲罰通常添加到公式中以增加空間同質(zhì)性。其它提出的CSMRI的稀疏變換包括雙樹(shù)復(fù)小波變換和過(guò)完備曲線波。小波可以恢復(fù)點(diǎn)狀特征，曲線波可以恢復(fù)曲線狀圖像特征。小波，曲線波和全變分懲罰的結(jié)合表明相對(duì)于僅僅小波和全變分懲罰結(jié)合[48]。一種更為完美的小波稀疏變換應(yīng)用高斯尺度混合模型[20]研究小波系數(shù)之間的相關(guān)性。這種方法的有效性在下一章中介紹。解決CSMRI重建問(wèn)題（2）有許多算法。Lustig[16]應(yīng)用回溯線搜索的非線性共軛梯度下降算法解決問(wèn)題（2）。該文的重點(diǎn)主要是利用笛卡爾采樣方案，顯示了腦部成像和血管造影術(shù)結(jié)果。Ma[22]展示了應(yīng)用快速小波和傅里葉變換快速重建的基于迭代算子分裂框架的算法。然而，結(jié)果顯示當(dāng)欠采樣因子大于3倍時(shí)重建圖像中會(huì)出現(xiàn)許多偽影。Qu[49]應(yīng)用曲線波變換和有效軟閾值迭代算法。Kim[20]結(jié)合高斯混合尺度模型和迭代硬閾值重建。然而，這些工作數(shù)據(jù)質(zhì)量的改進(jìn)沒(méi)有量化，效果不顯著，并且所用欠采樣因子很?。ù蠹s為2）。為相對(duì)于應(yīng)用l1松弛或貪婪算法顯著提升CSMRI的質(zhì)量，一些作者轉(zhuǎn)向非凸松弛或近似值。Chartrand【18】利用更加接近l0擬范數(shù)的lp擬范數(shù)（0p1）,對(duì)于一幅子宮圖像，p1表明重建信噪比有小的提升（）。Trzasko[50],[51]提出了一種基于l0擬范數(shù)同態(tài)近似的替代重建。他們的算法涉及到雙邊濾波和觀測(cè)的K空間采樣投影的迭代替換。同一作者聲稱(chēng)相比l1范數(shù)方法同態(tài)l0最小化可以提供更高的降采樣因子。然而。非自適應(yīng)CSMRI技術(shù)被降采樣程度所限制。自適應(yīng)的字典導(dǎo)致更高的稀疏性因此可有更高的降采樣因子。適應(yīng)數(shù)據(jù)的字典的關(guān)鍵是字典學(xué)習(xí)。對(duì)于給定圖像x∈Cp, xij∈Cn是大小為nn像素的二維圖像塊的向量表示，用該圖像塊左上的像素在圖像中的位置坐標(biāo)（i,j）標(biāo)注。我們用D∈Cnk表示基于圖像塊的字典。該字典D有K個(gè)原子（列），每個(gè)原子對(duì)應(yīng)nn像素的二維圖像塊的n維矢量。假定每一圖像塊xij可以被字典原子的線性組合Dαij近似表示，其中αij∈Ck是稀疏的。因此，我們說(shuō)αij是xij關(guān)于字典D的稀疏表示。當(dāng)K=n時(shí)，字典原子個(gè)數(shù)和每個(gè)圖像塊的維數(shù)相等，字典D被稱(chēng)為一個(gè)基。否則，若Kn,字典D是過(guò)完備的。98的過(guò)完備字典，其中每個(gè)原子（幅值）顯示為77的元素塊。字典學(xué)習(xí)的目的在于解決以下的優(yōu)化問(wèn)題minD,ΓijRijxDαij22 ≤T0 ?i,j. (3)矩陣Rij∈Cnp表示從圖像x提取圖像塊xij的算子，表示為xij=Rijx 。約束項(xiàng)中的l0擬范數(shù)用來(lái)對(duì)圖像塊的稀疏性進(jìn)行編碼。T0是要求的稀疏度。,Γ用來(lái)表示所有圖像塊的稀疏表示的集合αijij。公式3在滿足稀疏約束的條件下使得關(guān)于字典的所有圖像塊的總裝配誤差最小。由于對(duì)固定的字典D和圖像x，字典學(xué)習(xí)問(wèn)題(3)歸結(jié)于稀疏編碼問(wèn)題，故解決該問(wèn)題是一NP難問(wèn)題，然而，與后者問(wèn)題不同（或者說(shuō)，壓縮感知問(wèn)題(1)），即使應(yīng)用l0擬范數(shù)的凸松弛，學(xué)習(xí)的優(yōu)化問(wèn)題在未知變數(shù)的情況下是非凸的，這使得問(wèn)題的解決更加困難。為解決該字典學(xué)習(xí)問(wèn)題，提出了許多算法[24]，[25]，[52]，[53]。這些算法的典型思想是在找到一個(gè)稀疏字典和稀疏表示Γ之間交替進(jìn)行。尤其是KSVD算法[24]，已經(jīng)在許多應(yīng)用領(lǐng)域[26][28]得到了廣泛的應(yīng)用。KSVD依序進(jìn)行字典更新，其中字典D的每一列原子和相應(yīng)的稀疏表示同時(shí)更新。順序更新和K均值算法相似，每次更新一個(gè)原子。因此稱(chēng)之為KSVD。醫(yī)學(xué)圖像的字典學(xué)習(xí)逐漸得到關(guān)注。該字典的典型學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)用參考圖像。在超聲胸部成像的應(yīng)用中，利用比奇異值分解算法早的最大似然字典學(xué)習(xí)[53]從參考磁共振掃描中得到訓(xùn)練字典。Bilgin[56]通過(guò)一個(gè)全采樣參考圖像切片學(xué)習(xí)得到一個(gè)奇異值分解塊字典并且將其應(yīng)用在IHT以恢復(fù)降采樣測(cè)試圖像切片。然而，所用的K空間降采樣因子很?。ù蟾攀?），并且在重建圖像的信噪比相比小波IHT改善很?。ǎhen[57]從一個(gè)全采樣參考圖像學(xué)習(xí)基于塊的KSVD字典，并在重建中應(yīng)用l1范數(shù)進(jìn)行稀疏。該結(jié)果顯示相比小波作為稀疏變換，字典學(xué)習(xí)在壓縮感知磁共振成像的效果改善。然而，改善效果很?。ǎ?，并且誤差圖有相當(dāng)重要的結(jié)構(gòu)信息表明重建圖像特征的丟失。這些結(jié)果表明參考圖像的字典學(xué)習(xí)將不能有效稀疏當(dāng)前掃描的新的特征。Otazo和Sodickson[58]針對(duì)MRI應(yīng)用KSVD算法學(xué)習(xí)一維的字典，直接從一維小波的CSMRI得到的初始重建的列中得到一維字典。同先前結(jié)果對(duì)比，顯示該學(xué)習(xí)字典產(chǎn)生了更好地重建效果。然而，一個(gè)一維字典具有很?chē)?yán)格的局限性，不能利用圖像的局部結(jié)構(gòu)。訓(xùn)練圖像塊的數(shù)目和圖像的列數(shù)相同，這對(duì)訓(xùn)練是不夠的。因此，不出所料。第三章 問(wèn)題公式化針對(duì)基于字典學(xué)習(xí)的CSMRI的問(wèn)題公式化需要兩個(gè)特征。首先在自適應(yīng)字典下必須可以執(zhí)行重建圖像塊的稀疏，并且產(chǎn)生和有效K空間數(shù)據(jù)一致的重建；其次，必須可以避免在零填充傅里葉重建中的典型偽影。偽影的出現(xiàn)主要有兩個(gè)原因：K空間降采樣，采樣數(shù)據(jù)中的噪聲干擾。降采樣引起圖像域的混疊，觀測(cè)K空間采樣的獨(dú)立同分布的零均值復(fù)高斯噪聲，在圖像域轉(zhuǎn)化成有色高斯噪聲。一個(gè)可能的公式如下（P0）minx,D,ΓijRijxDαij22+νFuxy22 . αij0≤T0 ?i,