【正文】 =? =? . 22DE EG? 22 32 2??? ????192思路分析 連接 DE,根據(jù)題意可得 DE∥ AC,又 EF⊥ AC,可得到 ∠ FEC的度數(shù) ,判斷出△ DEG是 直角三角形 ,再根據(jù)勾股定理即可求解 DG的長(zhǎng) . 疑難突破 本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) ,勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段 DG的長(zhǎng) ,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系 ,所以應(yīng)根據(jù)條件連接 DE,構(gòu)造直角三角形 ,運(yùn)用勾股 定理求出 DG的長(zhǎng) . 6.(2022遼寧沈陽(yáng) ,16,3分 )如圖 ,△ ABC是等邊三角形 ,AB=? ,點(diǎn) D是邊 BC上一點(diǎn) ,點(diǎn) H是線段 AD 上一點(diǎn) ,連接 BH、 CH,當(dāng) ∠ BHD=60176。,∠ AHC=90176。時(shí) ,DH= . ? 7答案 ? 13解析 延長(zhǎng) AD至點(diǎn) E,使得 HE=BH,連接 BE、 CE, ? ∵∠ BHD=60176。,∴ △ BHE是等邊三角形 ,∴ BH=BE=HE,∠ BEH=60176。, ∵ △ ABC是等邊三角形 ,∴ AB=BC,∠ ABC=60176。,∴∠ ABH=∠ CBE,∴ △ ABH≌ △ CBE,∴∠ BEC= ∠ BHA=120176。,∴∠ HEC=60176。, ∵ CH⊥ AD,∴∠ CHE=90176。,設(shè) BH=x(x0),則 HE=x,CH=? x, 過點(diǎn) B作 BG⊥ HE于 G,則 BG=? x,EG=? ,∠ BGD=∠ CHD=90176。,又 ∵∠ BDG=∠ CDH,∴ △ BDG ∽ △ CDH,∴ ? =? =? =? , ∵ BC=? ,∴ CD=? ? ,又 DH=? GH=? ? HE=? ,由勾股定理得 ,DH2+CH2=CD2,即 ? +(? x)2 3322xBDCD BGCH DGDH 12723723 23 12 3x 23x??????3=? ,解得 x=1,∴ DH=? . 22 73?????? 13疑難突破 此類題型中 ,可根據(jù)等邊三角形、 60176。這些條件 ,通過補(bǔ)全小等邊三角形 ,構(gòu)造全等 三角形 ,從而實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化 . 考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC=8,∠ ABC=60176。,∠ C=45176。,AD⊥ BC,垂足為 D,∠ ABC的平 分線交 AD于點(diǎn) E,則 AE的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? ? C.? ? D.? ? 2 2432832答案 D ∵ AC=8,∠ C=45176。,AD⊥ BC,∴ AD=ACsin 45176。=4? ,過點(diǎn) E作 EF⊥ AB于點(diǎn) F,∵ BE是 ∠ ABC的平分線 ,∴ DE=EF,∵∠ ABC=60176。,AD⊥ BC,∴∠ BAE=30176。,在 Rt△ AEF中 ,EF=? AE,又 ∵ AD=4? ,DE=EF,∴ AE=? AD=? ? ,故選 D. 212223 832思路分析 首先利用 AC的長(zhǎng)及 ∠ C的正弦求出 AD的長(zhǎng) ,進(jìn)而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角 形中 30度角的性質(zhì)確定 DE和 AE的數(shù)量關(guān)系 ,最后求出 AE的長(zhǎng) . 2.(2022四川南充 ,7,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=30176。,BC=1,點(diǎn) D,E分別是直角邊 BC,AC的中點(diǎn) , 則 DE的長(zhǎng)為 ? ( ) ? C.? +? 3 3答案 A 在 Rt△ ABC中 ,∵∠ A=30176。,BC=1,∴ AB=2. ∵ 點(diǎn) D,E分別是 BC,AC的中點(diǎn) , ∴ DE=? AB=? 2=1. 12 123.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,CD⊥ AB,垂足為 D,AF平分 ∠ CAB, 交 CD于點(diǎn) E,交 CB于點(diǎn) AC=3,AB=5,則 CE的長(zhǎng)為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 32 43 53 85答案 A 過 F作 FG⊥ AB于點(diǎn) G, ∵ AF平分 ∠ CAB,∠ ACB=90176。,∴ FC=FG. 易證△ ACF≌ △ AGF,∴ AC=AG. ? ∵∠ 5+∠ 6=90176。,∠ B+∠ 6=90176。,∴∠ 5=∠ B. ∵∠ 3=∠ 1+∠ 5,∠ 4=∠ 2+∠ B,∠ 1=∠ 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF. ∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設(shè) CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? ,∴ CE=CF=? .選 A. 32 324.(2022福建 ,13,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AB=6,D是 AB的中點(diǎn) ,則 CD= . ? 答案 3 解析 依題意可知 CD是直角三角形 ABC斜邊上的中線 ,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半”可得 CD=? AB=3. 125.(2022福建 ,15,4分 )把兩個(gè)同樣大小的含 45176。角的三角尺按如圖所示的方式放置 ,其中一個(gè)三 角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn) A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn) B,C,D在同一直線上 .若 AB=? ,則 CD= . ? 2答案 ? 1 3解析 由題意知△ ABC,△ ADE均為等腰直角三角形 ,且 AB=AC=AE=ED=? ,由勾股定理得 BC =AD= A作 AF⊥ BC于 F,則 FC=AF=1,在 Rt△ AFD中 ,由勾股定理得 FD=? ,故 CD=FDFC= ? 1. ? 2336.(2022湖北黃岡 ,13,3分 )如圖 ,圓柱形玻璃杯高為 14 cm,底面周長(zhǎng)為 32 cm,在杯內(nèi)壁離杯底 5 cm的點(diǎn) B處有一滴蜂蜜 ,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁 ,離杯上沿 3 cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn) A處 ,則螞 蟻從外壁 A處到內(nèi)壁 B處的最短距離為 cm(杯壁厚度不計(jì) ). ? 答案 20 解析 如圖 ,將圓柱側(cè)面展開 ,延長(zhǎng) AC至 A39。,使 A39。C=AC,連接 A39。B,則線段 A39。B的長(zhǎng)為螞蟻到蜂蜜的 最短距離 .過 B作 BB39。⊥ AD,垂足為 B39。.在 Rt△ A39。B39。B中 ,B39。B=16,A39。B39。=145+3=12,所以 A39。B= ? =? =20,即螞蟻從外壁 A處到內(nèi)壁 B處的最短距離為 20 cm. ? 2239。 39。 39。BB AB? 2216 12?7.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,∠ MAN=90176。,點(diǎn) C在邊 AM上 ,AC=4,點(diǎn) B為邊 AN上一動(dòng)點(diǎn) ,連接 BC,△ A39。 BC與△ ABC關(guān)于 BC所在直線對(duì)稱 .點(diǎn) D,E分別為 AC,BC的中點(diǎn) ,連接 DE并延長(zhǎng)交 A39。B所在直線 于點(diǎn) F,連接 A39?！?A39。EF為直角三角形時(shí) ,AB的長(zhǎng)為 . ? 答案 4或 4? 3解析 (1)當(dāng)點(diǎn) A39。在直線 DE下方時(shí) ,如圖 1,∵∠ CA39。F=90176。,∠ EA39。F∠ CA39。F,∴ △ A39。EF為鈍角三角 形 ,不符合 。(2)① 當(dāng)點(diǎn) A39。在直線 DE上方時(shí) ,如圖 ∠ A39。FE=90176。時(shí) ,∵ DE∥ AB,∴∠ EDA=90176。,∴ A 39。B∥ ABA39。C為正方形 ,∴ AB=AC=4。② 當(dāng)點(diǎn) A39。在直線 DE上方時(shí) ,如圖 ∠ A39。 EF=90176。時(shí) ,A39。E∥ AC,所以 ∠ A39。EC=∠ ACE=∠ A39。CE,∴ A39。C=A39。E.∵ A39。E=EC,∴ △ A39。CE為等邊三角 形 ,∴∠ ACB=∠ A39。CB=60176。,∴ 在 Rt△ ACB中 ,AB=ACtan 60176。=4? 。③ 當(dāng)點(diǎn) A39。在直線 DE上方時(shí) ,∠ EA39。F∠ CA39。B,不可能為 90176。. 綜上所述 ,當(dāng)△ A39。EF為直角三角形時(shí) ,AB的長(zhǎng)為 4或 4? . ? 圖 1 33 ? 圖 2 ? 圖 3 方法總結(jié) 解對(duì)稱 (折疊 )型問題 ,當(dāng)對(duì)稱軸過定點(diǎn)時(shí) ,一般要找出對(duì)稱中的定長(zhǎng)線段 ,以定點(diǎn)為 圓心 ,定長(zhǎng)為半徑作輔助圓來確定對(duì)稱點(diǎn)的軌跡是較為有效的方法 .再根據(jù)題目中所要求的條 件 ,結(jié)合全等、相似或勾股定理等計(jì)算得出結(jié)果 . 思路分析 由題意知 ,點(diǎn) B為邊 AN上的動(dòng)點(diǎn) ,A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) A39?？梢栽谥本€ DE的下方或上方 .分類 討論 ,當(dāng)點(diǎn) A39。在 DE的下方時(shí) ,△ A39。EF不可能為直角三角形 ,當(dāng)點(diǎn) A39。在直線 DE上方時(shí) ,∠ A39。EF或 ∠ A39。FE為 90176。時(shí)分別計(jì)算 AB的長(zhǎng) ,顯然 ∠ EA39。F90176。,可以排除 . 8.(2022新疆烏魯木齊 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,BC=2? ,AC=2,點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn) ,點(diǎn) E是邊 AB上一動(dòng)點(diǎn) ,沿 DE所在直線把△ BDE翻折到△ B‘DE的位置 ,B’D交 AB于點(diǎn) △ AB‘F為 直角三角形 ,則 AE的長(zhǎng)為 . ? 3答案 3或 解析 易知 ∠ B39。AF不可能為直角 . 當(dāng) ∠ B39。FA是直角時(shí) ,如圖 1, ? 圖 1 ∵∠ C是直角 ,∠ ABC=∠ DBF,∴ △ BCA∽ △ BFD,∴ ? =? ,又 ∵ BC=2? ,且易知 BD=? ,AB =4,∴ BF=? 2? =? ,由翻折可知△ DBE≌ △ DB39。E,∴ BE=B39。E,∠ EB39。F=∠ ABD=30176。,∴ BE=EB39。= 2EF,∴ BE=? BF=1,∴ AE=41=3. 當(dāng) ∠ FB39。A是直角時(shí) ,如圖 2, BFBC BDBA 3 33433223? 圖 2 連接 B39。C、 AD、 BB39。,由翻折可知△ DBE≌ △ DB39。E,∴ B39。D=BD=? BC=CD,∴∠ BB39。C=90176。,∵∠ FB39。 A =∠ ACD=90176。,∴ Rt△ ACD≌ Rt△ AB39。D,∴ AC=AB39。,又易證 ∠ DB39。B =∠ CB39。A,∴ △ DB39。B∽ △ AB39。 C,∴ ? =? =? ,又 ? =? ,故可證△ BB39。C∽ △ DCA,∴∠ CDA=∠ B39。BC,∴ AD∥ BB39。,延長(zhǎng) DE 交 BB39。于 M,可得 ? =? =? (*),易知 DM垂直平分 BB39。,∴ BM=? BB39。,在直角三角形 BB39。C中 , 由 BB39。2+B39。C2=BC2=12,? =? ,可求得 BB39。=? ,∴ BM=? .在直角三角形 DCA中 ,DA= 1239。39。BBBCBDCA 32 DCCA 32ADBM AEBE 4 AEAE? 1239。39。BBBC32 677 377? =? ,將 BM=? ,AD=? 代入 (*)可得 AE=. 綜上 ,AE=3或 . 222 ( 3)? 7 3777疑難突破 本題的難點(diǎn)是 ∠ FB39。A為直角時(shí)如何求 AE,突破方法是作出輔助線 B39。C、 AD、 BB39。, 并根據(jù)翻折證明△ BB39。C∽ △ DCA,然后利用相似比求出 AE. 9.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,BC=? +1,點(diǎn) M,N分別是邊 BC,AB上 的動(dòng)點(diǎn) ,沿 MN所在的直線折疊 ∠ B,使點(diǎn) B的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B39。? 落在邊 AC上 .若△ MB39。C為直角三角 形 ,則 BM的長(zhǎng)為 . ? 2??始 終答案 ? 或 1 212?解析 在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,∴∠ B=∠ C=45176。. (1)當(dāng) ∠ MB39。C=90176。時(shí) ,∠ B39。MC=∠ C=45176。. 設(shè) BM=x,則 B39。M=B39。C=x, 在 Rt△ MB39。C中 ,由勾股定理得 MC=? x, ∴ ? x+x=? +1,解得 x=1, ∴ BM=1. (2)如圖 ,當(dāng) ∠ B39。MC=90176。時(shí) ,點(diǎn) B39。與點(diǎn) A重合 , ? 此時(shí) BM=B39。M=? BC=? . 綜上所述 ,BM的長(zhǎng)為 1或 ? . 22 212 212?212?10.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。.點(diǎn) D為邊 AC上一點(diǎn) ,DE⊥ AB于點(diǎn) M 為 BD的中點(diǎn) ,CM的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn) F. (1)求證 :CM=EM。 (2)若 ∠ BAC=50176。,求 ∠ EMF的大小 。 (3)如圖 2,若△ DAE≌ △ CEM,點(diǎn) N為 CM的中點(diǎn) .求證 :AN∥ EM. ? 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :由已知 ,在 Rt△ BCD中 ,∠ BCD=90176。,M為斜邊 BD的中點(diǎn) , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM