【正文】 39。OD=∠ AOD=30176。, ∴∠ A39。OA=60176。, 過 A39。作 A39。E⊥ OA于 E, ∴ OE=? m,A39。E=? m, ∴ A39。? , 12 3213,22mm??????∵ 反比例函數(shù) y=? (k≠ 0)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn) A39。,B, ∴ ? m? m=m, ∴ m=? , ∴ k=? . kx12 32433433解析 因?yàn)辄c(diǎn) A(2,2)在函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , 所以 k=22=4. 則反比例函數(shù)的解析式為 y=? , 因?yàn)?AC∥ x軸 ,AC=2,所以 C(4,2). 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,所以 B的橫坐標(biāo)與 C的橫坐標(biāo)相同 ,為 4, 當(dāng) x=4時(shí) ,y=? =1,則 B的坐標(biāo)為 (4,1). kx4x44答案 (4,1) 8.(2022紹興 ,13,4分 )如圖 ,Rt△ ABC的兩個(gè)銳角頂點(diǎn) A,B在函數(shù) y=? (x0)的圖象上 ,AC∥ x軸 ,AC = A的坐標(biāo)為 (2,2),則點(diǎn) B的坐標(biāo)為 . ? kx9.(2022紹興 ,15,5分 )如圖 ,已知直線 l:y=x,雙曲線 y=? .在 l上取一點(diǎn) A(a,a)(a0),過 A作 x軸的垂 線交雙曲線于點(diǎn) B,過 B作 y軸的垂線交 l于點(diǎn) C,過 C作 x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn) D,過 D作 y軸的垂 線交 l于點(diǎn) E,此時(shí) E與 A重合 ,并得到一個(gè)正方形 ABCD,若原點(diǎn) O在正方形 ABCD的對(duì)角線上且 分這條對(duì)角線為 1∶ 2的兩條線段 ,則 a的值為 . ? 1x答案 ? 或 ? 222解析 如圖 . ? ∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (a,a)(a0), ∴ B? 、 C? 、 D? , OA=? a,OC=? .∵ 原點(diǎn) O分對(duì)角線 AC為 1∶ 2的兩條線段 , ∴ OA=2OC或 OC=2OA, 即 ? a=2? 或 ? =2? a,其中 a0, 整理得 a2=2或 a2=? , 解得 a1=? ,a2=? (舍去 ), 1,a a??????11,aa???????1 , aa????????2 2a2 2a 2a2122 2a3=? ,a4=? (舍去 ). ∴ a=? 或 ? . 22 222 22關(guān)鍵提示 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題 ,解題的關(guān)鍵是用含 a的代數(shù)式表示 線段 OA、 OC的長(zhǎng)度 . 10.(2022麗水 ,16,4分 )如圖 ,一次函數(shù) y=x+b的圖象與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 A,B兩點(diǎn) , 與 x軸 ,y軸分別交于 C,D兩點(diǎn) ,連接 OA,OB,過 A作 AE⊥ x軸于點(diǎn) E,交 OB于點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為 m. ? (1)b= (用含 m的代數(shù)式表示 )。 (2)若 S△ OAF+S四邊形 EFBC=4,則 m的值是 . 4x答案 (1)m+? (2)? 4m2解析 (1)∵ 點(diǎn) A在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 ,點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為 m, ∴ A的坐標(biāo)為 ? (m0). 4x4,m m??????∵ A點(diǎn)是 y=x+b與 y=? 的圖象的交點(diǎn) , ∴ m+b=? , ∴ b=m+? . (2)如圖 ,作 AM⊥ OD于 M,BN⊥ OC于 N. 4x4m4m∵ 反比例函數(shù) y=? ,一次函數(shù) y=x+b的圖象都關(guān)于直線 y=x對(duì)稱 , ∴ AD=BC,OD=OC,DM=AM=BN=CN. 設(shè) S△ AOF=S,則 S△ OEF=2S. ∵ S△ AOF+S四邊形 EFBC=4,∴ S四邊形 EFBC=4S. ∴ S△ OBC=4S+2S=62S. ∴ S△ BCN=62S2=42S=2(2S). 即 S△ BCN=2S△ CN=AM=OE, 4x∴ BN=2EF.∴ ON=2OE,∴ B? . 代入直線 y=x+m+? , 得 ? =2m+m+? ,整理得 m2=2,∵ m0,∴ m=? . 22,m m??????4m2m 4m2關(guān)鍵提示 本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的相交問題及對(duì)稱問題 ,解第 (2)題的 關(guān)鍵是得到相等的線段 . 11.(2022溫州 ,16,4分 )如圖 ,點(diǎn) A,B在反比例函數(shù) y=? (k0)的圖象上 ,AC⊥ x軸 ,BD⊥ x軸 ,垂足 C,D 分別在 x軸的正、負(fù)半軸上 ,CD= AB=2AC,E是 AB的中點(diǎn) ,且△ BCE的面積是△ ADE的面 積的 2倍 ,則 k的值是 . ? kx答案 ? 372解析 作 BF⊥ AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,∴ BF=CD=k, ∵ E是 AB的中點(diǎn) ,∴ AE=BE=? AB, ? ∴ S△ AED=S△ BED,S△ AEC=S△ BEC, ∵ S△ BEC=2S△ ADE,∴ S△ ABC=2S△ ABD, ∵ △ ABD與△ ABC的邊 BD,AC上的高相等 ,且等于 CD, ∴ AC=2BD. 設(shè) BD=a,則 AC=2a,CF=a,又 AB=2AC,∴ AB=4a, 在 Rt△ AFB中 ,由勾股定理可得 BF=? a,∴ ? a=k, 127 7∵ 點(diǎn) B在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,BD=a,∴ OD=? , ∴ OC=k? .∵ 點(diǎn) A在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ ? 2 a=k,解得 a=? ,經(jīng)檢驗(yàn) ,a=? 為分式方程的根 , ∴ k=? a=? ? . kx kaka kxkk a??????? 32 327327解后反思 本題是反比例函數(shù)的綜合題 ,其中涉及三角形中線平分三角形面積 ,三角形面積公 式 ,構(gòu)造直角三角形 ,解方程等 ,綜合性很強(qiáng) ,屬于難題 .設(shè)參數(shù)是解決此類問題的常用方法 . 12.(2022紹興 ,15,5分 )在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi) ,邊長(zhǎng)為 1的正方形 ABCD的邊均平行于 坐標(biāo)軸 ,A點(diǎn)的坐標(biāo)為 (a,a),如圖 .若曲線 y=? (x0)與此正方形的邊有交點(diǎn) ,則 a的取值范圍是 . ? 3x答案 ? 1≤ a≤ ? 3 3解析 由 A(a,a)及正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 1可得 C(a+1,a+1).當(dāng)點(diǎn) A在曲線上時(shí) ,a=? ?a=? (負(fù) 值舍去 ). 當(dāng)點(diǎn) C在曲線上時(shí) ,a+1=? ?a=1+? (負(fù)值舍去 ). 若曲線 y=? (x0)與正方形 ABCD的邊有交點(diǎn) ,則 a的取值范圍是 ? 1≤ a≤ ? . 3a33 1a ? 33x3 313.(2022寧波 ,18,4分 )如圖 ,已知點(diǎn) A,C在反比例函數(shù) y=? (a0)的圖象上 ,點(diǎn) B,D在反比例函數(shù) y= ? (b0)的圖象上 ,AB∥ CD∥ x軸 ,AB,CD在 x軸的兩側(cè) ,AB=3,CD=2,AB與 CD的距離為 5,則 ab的 值是 . ? axbx答案 6 解析 設(shè)點(diǎn) C的縱坐標(biāo)為 m,則 B的縱坐標(biāo)為 (5m),連接 OA、 OB、 OC、 OD,則 S△ OCD=S△ OAB=? (a b),則 ? 2m=? 3(5m),解得 m=3,∴ ? (ab)=? 23,∴ ab=6. 1212 12 12 1214.(2022麗水、衢州 ,16,4分 )如圖 ,點(diǎn) E、 F在函數(shù) y=? 的圖象上 ,直線 EF分別與 x軸、 y軸交于點(diǎn) A、 B,且 BE∶ BF=1∶ E作 EP⊥ y軸于點(diǎn) P,已知△ OEP的面積為 1,則 k值是 ,△ OEF的面積是 (用含 m的式子表示 ). kx答案 2。? 2 1mm?解析 作 EC⊥ x軸于點(diǎn) C,FD⊥ x軸于點(diǎn) D,FH⊥ y軸于點(diǎn) H. ∵ △ OEP的面積為 1,∴ ? |k|=1, 又由題圖知 k0,∴ k=2, ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? , 122x∵ EP⊥ y軸 ,FH⊥ y軸 , ∴ EP∥ FH,∴ △ BPE∽ △ BHF, ∴ ? =? =? ,即 HF=mPE, 設(shè)點(diǎn) E的坐標(biāo)為 ? ,則點(diǎn) F的坐標(biāo)為 ? , ∵ S△ OEF+S△ OFD=S△ OEC+S梯形 ECDF, S△ OFD=S△ OEC=1,∴ S△ OEF=S梯形 ECDF=? ? (tmt) =? (m1)=? . PEHF BEBF 1m2,t t?????? 2,tm tm??????12 22tm t???????1 1m???????2 1m m?15.(2022金華 ,23,10分 )如圖 ,四邊形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù) y=? 與 y=? (x0,0m n)的圖象上 ,對(duì)角線 BD∥ y軸 ,且 BD⊥ AC于點(diǎn) P,已知點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為 4. (1)當(dāng) m=4,n=20時(shí) . ① 若點(diǎn) P的縱坐標(biāo)為 2,求直線 AB的函數(shù)表達(dá)式 。 ② 若點(diǎn) P是 BD的中點(diǎn) ,試判斷四邊形 ABCD的形狀 ,并說(shuō)明理由 。 (2)四邊形 ABCD能否為正方形 ?若能 ,求此時(shí) m,n之間的數(shù)量關(guān)系 。若不能 ,試說(shuō)明理由 . ? mx nx解析 (1) ① 當(dāng) x=4時(shí) ,y=? =1,∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)是 (4,1). 當(dāng) y=2時(shí) ,由 y=? 得 x=2,∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)是 (2,2). 設(shè)直線 AB的函數(shù)表達(dá)式為 y=kx+b(k≠ 0), ∴ ? 解得 ? . ∴ 直線 AB的函數(shù)表達(dá)式為 y=? x+3. ② 四邊形 ABCD為菱形 ,理由如下 : 由①得點(diǎn) B(4,1),點(diǎn) D(4,5). ∵ 點(diǎn) P為線段 BD的中點(diǎn) ,∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (4,3). 當(dāng) y=3時(shí) ,由 y=? 得 x=? ,由 y=? 得 x=? , ∴ PA =4? =? ,PC=? 4=? , ∴ PA =PC. 又 ∵ PB=PD, 4x4x2 2 ,4 1,kbkb???? ??? 1 ,? ????? ??124x 43 20x 20343 83 203 83∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形 . 又 ∵ BD⊥ AC, ∴ 四邊形 ABCD為菱形 . (2)四邊形 ABCD能為正方形 . 當(dāng)四邊形 ABCD是正方形時(shí) ,PA =PB=PC=PD(設(shè)為 t,t≠ 0), 當(dāng) x=4時(shí) ,y=? =? ,∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)為 ? , 則點(diǎn) A的坐標(biāo)是 ? , ∴ (4t)? =m,化簡(jiǎn)得 t=4? , ∴ 點(diǎn) D的縱坐標(biāo)為 ? +2t=? +2? =8? , 即點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ? , 所以 4? =n,整理得 m+n=32. mx 4m 4,4m??????4,4mtt????????4m t??????? 4m4m 4m 4 4m???????4m4 , 8 4m???????8 4m???????16.(2022嘉興、舟山 ,21,8分 )如圖 ,直線 y=2x與反比例函數(shù) y=? (k≠ 0,x0)的圖象交于點(diǎn) A(1,a),B 是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn) ,直線 OB與 x軸的夾角為 α,tan α=? . (1)求 k的值 。 (2)求點(diǎn) B的坐標(biāo) 。 (3)若存在點(diǎn) P(m,0),使△ PAB的面積為 2,求 m的值 . kx12解析 (1)把點(diǎn) A(1,a)代入 y=2x,得 a=2,∴ A(1,2), 把 A(1,2)代入 y=? ,得 k=2. kx(2)過 B作 BC⊥ x軸于點(diǎn) C, ∵ 在 Rt△ BOC中 ,tan α=? , ∴ 可設(shè) B(2h,h),又點(diǎn) B在 y=? (x0)的圖象上 , ∴ 2h2=2,∴ h=177。1, 122x又 ∵ h0, ∴ h=1,∴ B(2,1). (3)∵ A(1,2),B(2,1), ∴ 直線 AB:y=x+3,設(shè)直線 AB與 x軸交于點(diǎn) D,則 D(3,0), 易知 AB=BD,∴ △ ABP與△ BDP的面積相等 , ∵ △ PAB的面積 =2, ∴ △ BDP的面積 =? |3m|(10)=2, ∴ m1=1,m2=7. 121.(2022金華 ,15,4分 )如圖 ,已知點(diǎn) A(2,3)和點(diǎn) B(0,2),點(diǎn) A在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,作射線 AB,再將射線 AB繞點(diǎn) A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 45176。,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn) C,則點(diǎn) C的坐標(biāo)為 . kx考點(diǎn)三 反比例函數(shù)的應(yīng)用 答案 (1,6) 解析 如圖所示 ,設(shè) AC與 x軸交于點(diǎn) D,過 A作 AE⊥ x軸于 E,以 AE為邊在 AE的左側(cè)作正方形 AE FG,交射線 AB于 P, 根據(jù)點(diǎn) A(2,3)和點(diǎn) B(0,2),可得直線 AB的解析式為 y=? x+2, 由 A(2,3)知 k=23=6, ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? .易得 OF=1,∴ F(1,0), 對(duì)于 y=? x+2,當(dāng) x=1時(shí) ,y=? +2=? ,即 P? , ∴ PF=? , 設(shè)將△ AGP繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。得△ AEH,則 EH=PG=?