【正文】 ＋ n ≠ 0) ， 那么a ＋ c ＋ ? ＋ mb ＋ d ＋ ? ＋ n＝ab. 5 ． 黃金分割 如圖 ， 點 P 把線段 AB 分成兩條線段 AP 和 PB ， 使 AP PB ，且PBAP＝APAB， 那么稱線段 AB 被點 P 黃金分割 ， 點 P 叫做 AB 的黃金分割點 ， AP 與 AB 的比叫做黃金比 ， 即APAB＝5 － 12≈ 0. 618 . 注意：一條線段有兩個黃金分割點． 考點二 平行線分線段成比例定理 1 ． 平行線分線段成比例定理： 兩條直線被一組平行線 ( 不少于 3 條 ) 所截 ， 所得的對應線段 成比例 ． 2 ． 幾何語言敘述： 如圖 ， 當 l3∥ l4∥ l5時 ， 有ABBC＝DEEF，ABAC＝DEDF，BCAC＝EFDF等． 3 ． 把這個定理應用到三角 形中 ， 會出現(xiàn)下面兩種情況： 在圖 ① 中 ， 把 l4看成平行于 △ ABC 的邊 BC 的直線；在圖 ②中 ， 把 l3看成平行于 △ ABC 的邊 BC 的直線 ， 那么可以得到：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 ( 兩邊的延長線 ) ， 所得的對應線段的比相等． 考點三 相似圖形 1 ． 相似圖形的有關概念 ( 1) 形狀相同的圖形叫做相似圖形； ( 2) 對應角相等 ， 對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形； ( 3) 相似多邊形的對應邊的比稱為相似比． 2 ． 相似多 邊形的性質 ( 1) 對應角相等 ， 對應邊成比例； ( 2) 周長之比等于相似比 ， 面積之比等于相似比的平方． 考點四 相似三角形 1 ． 相似三角形 對應角相等 ， 對應邊 成比例的兩個三角形 ， 叫做相似三角形．相似三角形對應邊的比叫做 相似比 ， 相似用符號 “∽” 表示． 溫馨提示 : 記兩個三角形相似時 ， 表示對應頂點的字 母要寫在對應的位置上 ． 2 ． 相似三角形的性質 ( 1) 對應角相等 ， 對應邊 成比例 ； ( 2) 對應高的比、對應角平分線的比、對應中線的比都等于 相似比 ； ( 3) 周長之比等于 相似比 ， 面積之比等于 相似比的平方 ． 3 ． 相似三角形的判定 ( 1) 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交 ， 所構成的三角形與原三角 形相似．如圖 ， △ A D E ∽△ AB C ． 溫馨提示 : 平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊的延長線相交 ， 結論仍然成立 ， 如圖 ① 、圖 ② . 在上面的兩個圖形中 ， 均存在 △ A D E ∽△ AB C ． ( 2) 兩邊對應 成比例 ， 且夾角 相等 的兩個三角形相似． ( 3) 有兩個角對應相等的兩個三角形相似． ( 4) 三邊對應 成比例 的兩個三角形相似． 溫馨提示 : 直角三角形相似的條件： ( 1) 兩直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似； ( 2) 有一個銳角對應相等的兩個直角三角形相似； ( 3) 有斜邊和一直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似； ( 4) 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似． 4 ． 三角形相似的基本圖形 ( 1) 平行線型 如圖 ① ， 若 CD ∥ AB ， 則有 △ O C D ∽△ OA B ． 圖 ① ( 2) 斜線型 如圖 ② ， 若 ∠ 1 ＝ ∠ A ， 則有 △ O C D ∽△ O A B ；特別是右圖中 ，當 △ O C D ∽△ O A B 時 ， 有 OC2＝ OA O D ． 圖 ② ( 3) 旋轉型 如圖 ③ ， 若 ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， 且 OD ∶ OA ＝ OC ∶ OB ， 或 ∠ 1 ＝ ∠ 2 ，∠ D ＝ ∠ A ， 則有 △ O C D ∽△ OB A ． 圖 ③ 典型考題展示 考點一 成比例線段與比例的基本性質 ( 2 0 1 6 杭州 ) 如圖 ， 已知直線 a ∥ b ∥ c ， 直線 m 分別交直線 a ， b ， c 于點 A ， B ， C ；直線 n 分別交直線 a ， b ， c 于點 D ， E ，F(xiàn) . 若ABBC＝12， 則DEEF＝ ( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ． 1 【思路點撥】 本題考查平行線分線段成比例定理 ． 由DEEF＝ABBC即可求出 ． 【自主解答】 答案： B 如圖 ， 已知直線 l1， l2， l3分別交直線 l4于點 A ， B ，C ， 交直線 l5于點 D ， E ， F ， 且 l1∥ l2∥ l3.若 AB ＝ 4 ， AC ＝ 6 ， DF＝ 9 ， 則 DE ＝ ( B ) A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 考點二 相似多邊形的性質 在長為 8 cm 、寬為 6 cm 的矩形中 ， 截去一個矩形 ， 使留下的矩形與原矩形相似 ， 那么留下的矩形面積是 27 cm2. 【思路點撥 】 相似多邊形的相似比的平方等于面積比 ． 【自主解答】 方法總結： 兩個多邊形相似 ， 如果已知相似比 、周長比、面積比的任何一個 ， 就能求出另外兩個 ． 已知四邊形 ABCD ∽ 四邊形 A ′ B ′ C ′ D ′ ， 四邊形A B C D 與四邊形 A ′ B ′ C ′ D ′的周長分別為 24 ， 36 ， 則它們對角線 AC與 A ′ C ′的比為 ( A ) A ． 2 ∶ 3 B ． 3 ∶ 2 C ． 4 ∶ 9 D ． 9 ∶ 4 考點三 相似三角形的性質與判定 ( 2 0 1 6 杭州 ) 如圖 ， 在 △ ABC 中 ， 點 D ， E 分別在 AB ，AC 上 ， ∠ AED ＝ ∠ B ， 射線 AG 分別交線段 DE ， BC 于點 F ， G ，且ADAC＝DFCG. ( 1) 求證： △ A D F ∽△ ACG ； ( 2) 若ADAC＝12， 求AFFG的值． 【思路點撥】 ( 1) 先利用 ∠ AED ＝ ∠ B 和公共角相等 ， 由內角和可得 ∠ A D F ＝ ∠ C ， 再利用 “ 兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似 ” ， 即可證得 △ A D F ∽△ ACG ； ( 2) 利用上面證明的△ A D F ∽△ ACG ， 得到對應邊成比例 ， 于是ADAC＝AFAG＝12， 從而有AFFG＝ 1. 【自主解答】 ( 1) 證明： ∵∠ AED ＝ ∠ B ， ∠ D A E ＝ ∠ C A B ， ∴∠ A D F ＝ ∠ C ． 又 ∵ADAC＝DFCG， ∴△ A D F ∽△ ACG .