【正文】 由式（13）可以得到（k1）次的PID輸出表達(dá)式： （14）由式（13）和（14）可得 （15）該式為增量式PID算法。該算法優(yōu)點(diǎn)：（1）較為安全。因?yàn)橐坏┯?jì)算機(jī)出現(xiàn)故障，輸出控制指令為零時(shí)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置（如閥門(mén)的開(kāi)度）仍可保持前一步的位置，不會(huì)給被控對(duì)象帶來(lái)較大的擾動(dòng)。（2）計(jì)算時(shí)不需進(jìn)行累加，僅需最近幾次誤差的采樣值。增量式算法帶來(lái)的主要問(wèn)題是執(zhí)行機(jī)構(gòu)的實(shí)際位置也就是控制指令全量的累加需要用計(jì)算機(jī)外的其他的硬件(如步進(jìn)電機(jī))實(shí)現(xiàn)。，如圖22。因此，如果系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有這個(gè)功能，采用增量算法是很方便的。圖22 PID增量式計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) Smith預(yù)估控制在工程過(guò)程控制中，許多被控對(duì)象具有純滯后的性質(zhì)。Smith提出了一種純滯后補(bǔ)償模型，其原理為，與PID控制器并接一個(gè)補(bǔ)償環(huán)節(jié)，該補(bǔ)償環(huán)節(jié)稱(chēng)為Smith預(yù)估器。帶有純遲滯的單回路控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：。其特征方程為?？梢?jiàn)，特征方程中出現(xiàn)了純延遲環(huán)節(jié)，是系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。如果足夠大，系統(tǒng)講不穩(wěn)定，這就是大延遲過(guò)程難于控制的本質(zhì)。針對(duì)這種問(wèn)題，Smith提出采用人造模型的方法，構(gòu)造如圖23所示的控制系統(tǒng)：圖23 Smith預(yù)估控制系統(tǒng)五、仿真 位置式PID仿真 MATLAB仿真程序。ts=1。%采樣時(shí)間sys=tf([],[66,1],39。inputdelay39。,5)。%傳遞函數(shù)dsys=c2d(sys,ts,39。z39。)。%離散化[num,den]=tfdata(dsys,39。v39。)。u_1=0。u_2=0。u_3=0。u_4=0。u_5=0。u_6=0。y_1=0。y_2=0。y_3=0。%設(shè)定初值x=[0,0,0]39。error_1=0。for k=1:1:350 time(k)=k*ts。 yout(k)=den(2)*y_1+num(2)*u_6。 %延時(shí)抽樣為5s rin(k)=45。 Kp=。Ki=。Kd=。%PID參數(shù)設(shè)定 u(k)=Kp*x(1)+Kd*x(2)+Ki*x(3)。%位置式PID控制信號(hào) error(k)=rin(k)yout(k)。%誤差 u_6=u_5。u_5=u_4。u_4=u_3。u_3=u_2。u_2=u_1。u_1=u(k)。 y_3=y_2。y_2=y_1。y_1=yout(k)。 x(1)=error(k)。%參數(shù)P x(2)=(error(k)error_1)/ts。%參數(shù)D x(3)=x(3)+error(k)*ts。%參數(shù)I error_1=error(k)。endfigure(1)。plot(time,rin,39。k39。,time,yout,39。b39。)%畫(huà)圖 PID參數(shù)計(jì)算首先用擴(kuò)充臨界比例度法來(lái)選定參數(shù)。按照上面介紹的步驟，增大使系統(tǒng)發(fā)生等幅振蕩。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生等幅振蕩，如下圖所示：圖51 系統(tǒng)等幅震蕩由上圖可以得知：。經(jīng)計(jì)算。故。以此為基礎(chǔ)，結(jié)合試湊法確定PID參數(shù)，進(jìn)行Matlab仿真。 仿真結(jié)果首先令，，仿真結(jié)果如下圖52 水溫控制系統(tǒng)PID 控制仿真曲線圖（Kp＝5，Ki＝，Kd＝）由上圖可知，參數(shù)如此設(shè)置，系統(tǒng)可以達(dá)到穩(wěn)定，但是超調(diào)超過(guò)30%，超調(diào)過(guò)大，調(diào)節(jié)時(shí)間也長(zhǎng)。為改善調(diào)節(jié)效果，可以減小比例環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)。多次仿真后，當(dāng)，時(shí)，可以可到較好的控制效果，如圖53所示。圖53 水溫控制系統(tǒng)PID 仿真曲線圖（Kp＝3，Ki＝，Kd＝）從上圖可以看出，超調(diào)量小于5%，對(duì)應(yīng)5%誤差度，調(diào)節(jié)時(shí)間約為25s。調(diào)節(jié)效果較好。 Simulink仿真首先利用Simulink的集成模塊來(lái)進(jìn)行仿真。仿真圖如下圖所示：圖55 水溫控制系統(tǒng)Simulink離散PID仿真令，，得到如下仿真結(jié)果。圖56 水溫控制系統(tǒng)PID 控制仿真曲線圖（Kp＝3，Ki＝，Kd＝）但是該離散PID的仿真模型是封裝好的，無(wú)法看清其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此我利用Simulink的Matlab Function模塊，通過(guò)編寫(xiě)M文件的方式實(shí)現(xiàn)位置式PID的方針。圖57 位置式PID仿真圖MATLAB Function中的函數(shù)如下：function [u]=pidsimf(u1,u2)persistent pidmat errori error_1 if u1==0 errori=0 error_1=0end ts=1。kp=3。ki=。kd=0。 error=u2。errord=(errorerror_1)/ts。errori=errori+error*ts。 u=kp*error+kd*errord+ki*errori。error_1=error。若按原參數(shù)仿真，即令，，系統(tǒng)發(fā)散。如下圖所示：圖58 溫度控制系統(tǒng)Simulink仿真圖（Kp=5,Ki=,Kd=）對(duì)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使其穩(wěn)定。當(dāng)，時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，且無(wú)超調(diào)，控制效果好。圖59 溫度控制系統(tǒng)Simulink仿真圖（Kp=3,Ki=,Kd=0） 增量式PID仿真 Matlab仿真程序ts=1。sys=tf([1],[60,1],39。inputdelay39。,5)。dsys=c2d(sys,ts,39。z39。)。[num,den]=tfdata(dsys,39。v39。)。 u_1=0。u_2=0。u_3=0。u_4=0。u_5=0。u_6=0。y_1=0。y_2=0。y_3=0。x=[0,0,0]39。error_1=0。error_2=0。for k=1:1:350 time(k)=k*ts。 yout(k)=den(2)*y_1+num(2)*u_6。 %延遲5s rin(k)=45。 Kp=6。Kd=0。Ki=。 du(k)=Kp*x(1)+Kd*x(2)+Ki*x(3)。%增量式PID u(k)=u_1+du(k)。 error(k)=rin(k)yout(k)。 u_6=u_5。u_5=u_4。u_4=u_3。u_3=u_2。u_2=u_1。u_1=u(k)。 y_3=y_2。y_2=y_1。y_1=yout(k)。 x(1)=error(k)error_1。 x(2)=error(k)2*error_1+error_2。 x(3)=error(k)。 error_2=error_1。 error_1=error(k)。endplot(time,rin,39。r39。,time,yout,39。b39。)xlabel(39。time(s)39。)。ylabel(39。rin,yout39。)。 Matlab仿真結(jié)果首先，按照上回計(jì)算的，令。結(jié)果如下圖。圖510 水溫控制系統(tǒng)PID 仿真曲線圖（Kp＝5，Ki＝，Kd＝）上圖可以看出，系統(tǒng)超調(diào)約為11%，調(diào)節(jié)時(shí)間約為50s，基本滿足要求。為精益求精，進(jìn)一步調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)。令，，可以達(dá)到系統(tǒng)無(wú)超調(diào)，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差的良好控制效果，如下圖所示：圖511 水溫控制系統(tǒng)PID 仿真曲線圖（Kp＝3，Ki＝，Kd＝） Simulink仿真 增量式PID的Simulink仿真圖如圖512所示：圖512 位置式PID仿真圖MATLAB Function中的函數(shù)如下：function [u]=pidsimf(u1,u2)persistent pidmat errori error_1 error_2 u_1 if u1==0 errori=0 error_1=0 error_2=0 u_1=0end ts=1。kp=3。ki=。kd=5。 error=u2。errord=(errorerror_1)。errori=error2*error_1+error_2。 du=kp*errord+kd*errori+ki*error。u=u_1+du。u_1=u。error_2=error_1。error_1=error。令，時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，且無(wú)超調(diào)，控制效果好。如圖513所示。圖513 溫度控制系統(tǒng)Simulink仿真圖（Kp=3,Ki=,Kd=0） Smith預(yù)估控制系統(tǒng) Smith預(yù)估控制系統(tǒng)Matlab程序Ts=1。kp=。Tp=66。tol=5。sys=tf([kp],[Tp,1],39。inputdelay39。,tol)。dsys=c2d(sys,Ts,39。zoh39。)。[num,den]=tfdata(dsys,39。v39。)。 kp1=kp。Tp1=Tp。tol1=tol。sys1=tf([kp1],[Tp1,1],39。inputdelay39。,tol1)。dsys1=c2d(sys1,Ts,39。zoh39。)。[num1,den1]=tfdata(dsys1,39。v39。)。 u_0=0。u_1=。u_2=。u_3=。u_4=。u_5=。e1_1=0。e2=。e2_1=。ei=0。 xm_1=。ym_1=。y_1=。 for k=1:1:350 time(k)=k*Ts。 rin(k)=。 %輸入信號(hào) xm(k)=den1(2)*xm_1+num1(2)*u_1。ym(k)=den1(2)*ym_1+num1(2)*u_5。 %加入延遲yout(k)=den(2)*y_1+num(2)*u_5。 P=15。 I=。 e2(k)=rin(k)xm(k)。 ei=ei+Ts*e2(k)。 u(k)=P*e2(k)+I*ei。 e2_1=e2(k)。 xm_1=xm(k)。ym_1=ym(k)。 u_5=u_4。u_4=u_3。u_3=u_2。u_2=u_1。u_1=u_0。u_0=u(k)。y_1=yout(k)。endplot(time,rin,39。b39。,time,yout,39。r39。)。xlabel(39。time(s)39。)。ylabel(39。rin,yout39。)。 Matlab仿真結(jié)果圖514 溫控制系統(tǒng)Smith仿真曲線圖（Kp＝15，Ki＝，Kd＝0）如果不加入Smith，在同等PID參數(shù)的情況下，系統(tǒng)完全發(fā)散，如下圖：圖515 加Smith的水溫控制系統(tǒng)仿真曲線圖（Kp＝15，Ki＝，Kd＝0） 由上圖不難看出，Smith對(duì)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用非常明顯。 Smith預(yù)估控制系統(tǒng)Simulink仿真Simulink仿真圖圖516所示：圖516 Smith預(yù)估Simulink仿真當(dāng)，，加入Smith的相應(yīng)和為加入的響應(yīng)如圖517和518所示：圖517 Smith預(yù)估的Simulink仿真結(jié)果圖517 未加入Smith預(yù)估的Simulink仿真對(duì)比圖516和圖517，加入Smith預(yù)估控制的系統(tǒng)要比為加入Smith預(yù)估控制的系統(tǒng)穩(wěn)定的多。 實(shí)際實(shí)驗(yàn)算法選擇從上面的仿真可以看出，系統(tǒng)無(wú)論是用位置式PID、增量式PID亦或是加入Smith預(yù)估的PID，系統(tǒng)都可以穩(wěn)定。但是，增量式算法的控制指令全量的累加需要用計(jì)算機(jī)外