【正文】 ( )dt A B? ????? ?x e u? 因此 ,線性定常系統(tǒng)狀態(tài)可控的充要條件為 : ?上述方程對任意的 x(0)有輸入 u(t)的解。 ? 下面將利用該方程證明判別狀態(tài)可控性的充要條件。 ???? ?10)(enkkkAt At?? 由凱萊 哈密頓定理 ,有 因此代入 10(0 ) ( )dt A B? ????? ?x e u11110000( 0 ) ( ) ( ) d ( ) ( )nnttkkkkkkA B d? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?????x u A B u得： 10 ( ) ( )tkkdf? ? ? ? ?? u011101( 0 ) .. .nknkknfff B A B A Bf????????????? ? ? ??? ???????x A B令： 011101( 0 ) .. .nknkknfff B A B A Bf????????????? ? ? ??? ???????x A B 若系統(tǒng)是可控的 ， 那么對于任意給定的初始狀態(tài)x(0)都應(yīng)從上述方程中解出 f0， f1， … ， fn ?1來 。 這就要求系統(tǒng)可控性矩陣的秩為 n， 即 rank[ B AB A2B … A n ?1B ] = n 3 2 100 1 00 0 1 01xa a a? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?xu? 例題： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 解 由狀態(tài)可控性的代數(shù)判據(jù)有 ?????????????????????????????????????212121110100aaaAaA bbb2121 2 10 0 1r a n k r a n k r a n k 0 1 31cQ A A a na a a??????? ? ? ? ?????? ? ???b b b因此 ,該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。 例題： 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 判斷其狀態(tài)可控性。 解：系統(tǒng)的可控性矩陣為 Qc = [ B AB A2B ] = rankQc= 2 ? n 所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。 2 1 1 1 ?1 ? 1 3 2 2 2 ?2 ? 2 5 4 4 4 ?4 ? 4 ux??????????????????????111112310020231x?? 對角規(guī)范型判據(jù)： 對為對角規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)?(A,B), 有： 1) 若 A的所有特征值互異 ,則系統(tǒng)可控的充要條件為： ? B中不包含元素全為 0的行； 2) 若 A有重特征值 ,則系統(tǒng)可控的充要條件為： ? 重特征值對應(yīng)的 B中的行線性無關(guān)。 12( ) ( ) ( )nx t x t B t?????????????u（ 3） 模態(tài)判據(jù) ? 例題： 判斷下述系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 721 5 517( ) ( ) ( ) ( )t t u t?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?xx722 5 019( ) ( ) ( ) ( )t t u t?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?xx7 0 13 5 4 01 7 5( ) ( ) ( ) ( )t t t?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?x x u? 例題： 對于如圖所示的系統(tǒng)，列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程，并判斷該系統(tǒng)的可控性。 1 Q 1 O h 1 h2 Q 2 Q O QO 2 ?????????????ooQAxARxQAxARx11112211??uAAxxARARxx????????????????????????????????????1110012121??? 約旦規(guī)范形判據(jù)： 對為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)?(A,B),有 : 1) 若 A為每個特征值都只有一個約旦塊的約旦矩陣 ,則系統(tǒng)可控的充要條件為 ? 對應(yīng) A的每個約旦塊的 B的分塊的最后一行都不全為零 。 2) 若 A為某個特征值有多于一個約旦塊的約旦矩陣 ,則系統(tǒng)可控的充要條件為 ? 對應(yīng) A的每個特征值的所有約旦塊的 B的分塊的最后一行線性無關(guān) 。 ? 模態(tài)判據(jù)不僅可判別出狀態(tài)可控性 ,而且更進(jìn)一步地指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài) (特征值或極點(diǎn) )和哪一狀態(tài)不可控。 ? 這對于進(jìn)行系統(tǒng)分析和反饋校正是非常有幫助的。 u52x ????????????????5007)1( x?? 解 由對角型判據(jù)可知 ,A為特征值互異的對角線矩陣 ,且 B中各行不全為零 ,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。 ? 例 題： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。 ? 解 A的 每個特征值都只有一個約旦塊 ,但對應(yīng)于特征值 4的約旦塊的 B的分塊的最后一行全為零 ,故狀態(tài) x1和 x2不可控 ,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。 4 1 0 0 0( 2 ) 0 4 0 0 00 0 3 1 1x? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?xu狀態(tài)空間 x1x2x3不完全可控 狀態(tài)子空間 x1x2不完全可控 狀態(tài)變量 x3完全可控 狀態(tài)變量 x2完全不可控 狀態(tài)變量 x1完全不可控 ? 解 由于 A中特征值 4的兩個約旦塊所對應(yīng)的 B的分塊的最后一行線性無關(guān) , ? 且 A中特征值 3的約旦塊所對應(yīng)的 B的分塊的最后一行不全為零 ,故系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。 4 1 0 0 0 00 4 0 0 0 1( 3 )0 0 3 0 2 00 0 0 4 2 1x?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?xu? 解 由于 A中特征值 4的兩個約旦塊所對應(yīng)的 B的分塊的最后一行線性相關(guān) ,故該系統(tǒng)的狀態(tài) x1,x2和 x4不完全可控 ,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。 4 1 0 0 00 4 0 0 1( 4)0 0 3 0 20 0 0 4 3x?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?xu狀態(tài)空間 x1x2x3x4不完全可控 狀態(tài)子空間 x1x2x4不完全可控 狀態(tài)變量 x3完全可控 ?PBH秩判據(jù)： 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B)狀態(tài)完全可控的充必條件為 :對于所有的 ?i,下式成立 : rank[?iIA B]=n ? 解 由方程 |?iIA|=0,可解得矩陣 A的特征值分別為 1,2和 3。 ? 對特征值 ?1=1,有 ux????????????????????????111112310020231x?? 例 題： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。 nBIA ???????????????????? 3112101101012230r a n k]r a n k [ λ 1? 對特征值 ?2=2,有 nBIA ??????????????????? 3111101100012231r a n k]r a n k [ λ 2? 對特征值 ?3=3,有 nBIA ?????????????????? 2110101101012232r a n k]r a n k [ λ 3? 由 PBH秩判據(jù)可知 , 該系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。 ? 可控性判據(jù)小結(jié) 判定方法 特點(diǎn) 判據(jù) 秩判據(jù) 規(guī)范型判據(jù) PBH秩判據(jù) 可控性矩陣 Qc=[B AB … An1B]滿秩 約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對應(yīng)的 B矩陣分塊的最后一行線性無關(guān) 對于所有特征值 ? , rank[?IA B]=n 1. 計算簡便可行。 2. 缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量 (特征值 /極點(diǎn) )可控 1. 易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值 /極點(diǎn) )可控。 2. 缺點(diǎn)為需變換成標(biāo)準(zhǔn)形 1. 易于分析哪些特征值 (極點(diǎn) )可控。 2. 缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值 二、 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出可控性 ? 在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計中 ,系統(tǒng)的被控制量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài)變量 ,而是系統(tǒng)的輸出變量。 ? 因此 ,有必要研究系統(tǒng)的輸出能否控制的問題。 ? 經(jīng)典控制理論討論的為 SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問題 ,其輸入輸出間動態(tài)關(guān)系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。 ? 因此 ,對給定的期望輸出響應(yīng) ,輸入則唯一地確定 ,不存在輸出能否控制的問題。 ? 但對于 MIMO系統(tǒng) ,由于輸入向量和輸出向量是多維的 ,因此 ,存在 r維的輸入能否控制 m維的輸出的可控性問題。 ? 定義 ： 若線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B,C,D), ? 對初始時刻 t0(t0?T,T為系統(tǒng)的時間定義域 )和任意初始輸出值 y(t0), ? 存在另一有限時刻 t1(t1t0,t1?T),可以找到一個輸入控制向量 u(t), ? 能在有限時間 [t0,t1]內(nèi)把系統(tǒng)從初始輸出 y(t0)控制到原點(diǎn) ,即 y(t1)=0, 則稱系統(tǒng)輸出完全可控 ,簡稱為系統(tǒng)輸出可控。 ? 若系統(tǒng)存在某個初始輸出值 y(t0)不滿足上述條件 ,則稱此系統(tǒng)是輸出不完全可控的 ,簡稱為輸出不可控。 ? 定理 ： 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B,C,D)輸出完全可控的充要條件為輸出可控性矩陣 [CB CAB … CAn1B D] 滿秩 ,即 rank [CB CAB … CAn1B D]=m 其中 m為輸出向量的維數(shù)。 ? 例題： 試判斷如下系統(tǒng)的輸出可控性 uxyux]0[]11[110000????????????????x?? 解 由輸出可控性的代數(shù)判據(jù)有 rank[CB CAB D]=rank[2 0 0]=1=m 故系統(tǒng)輸出完全可控。 ? 對例題中的系統(tǒng) ,因為 2101 01r a n k]r a n k [ ?????????ABB故系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的。 ? 因此 ,由例題可知 ,輸出可控性與狀態(tài)可控性是不等價的兩個不同概念 ,它們之間亦沒有必然的聯(lián)系。 ? 本節(jié)首先從物理直觀性來討論狀態(tài)可觀測性的基本含義 ,然后再引出狀態(tài)可觀測性的定義。 ? 下面將看到 ,這種從直觀到抽象的討論 ,對于理解可觀測性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。 ? 本節(jié)講授順序為 : ? 可觀測性的直觀討論 ? 狀態(tài)可觀測性的定義 ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性判據(jù) 三、 線性連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性 1. 可觀測性的直觀討論 ? 狀態(tài)可觀測性反映系統(tǒng)外部可直接或間接測量的輸出 y(t) 來確定或反映系統(tǒng)