廈門(mén)大學(xué)《應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析》第08章_相應(yīng)分析-文庫(kù)吧
2025-04-14 05:07 本頁(yè)面
【正文】 r r c??I D I = I F I =， （ 8. 5 ） c c r??D I F I， 1c c c c r? ? ???I D I I F I， （ 8 . 6 ） 從（ 8. 5 ）式和（ 8. 6 ）式我們清楚地看到，rD和cD中的元素起到了權(quán)重的作用，稱(chēng)其為權(quán)重矩陣。 第三節(jié) 相應(yīng)分析的基本理論 一 原始資料的變換 二 基于矩陣的分析過(guò)程 ? 我們知道相應(yīng)分析的主要目的是尋求列聯(lián)表行因素 A和列因素 B的基本分析特征和它們的最優(yōu)聯(lián)立表示。為了實(shí)現(xiàn)行因素 A與列因素 B最優(yōu)聯(lián)立表示，進(jìn)一步剖析行因素 A內(nèi)部之間，列因素 B內(nèi)部之間，以及因素 A和列因素 B之間的關(guān)系，這里將介紹原始的列聯(lián)資料 K=(kij) r ?c變換成矩陣 Z=(zij) r ?c的具體過(guò)程，這樣使得 zij對(duì)因素 A和列因素 B具有對(duì)等性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)分析。 一、原始資料的變換 ? 設(shè)() i j r ck ??K為一個(gè)rc?的列聯(lián)資料，其轉(zhuǎn)化后的頻率矩陣為() i j r cf ??F。我們針對(duì)因素 A 而言，由（ 8. 3 ）式知，第i個(gè)水 平分布輪廓icc ?fR 1 , 2 , ,ir?為 超平面12 1rx x x? ? ?的一點(diǎn)集。如果我考慮因素 A 中各水平之間的遠(yuǎn)近，引入歐氏距離，那么第i個(gè)水平和第i?個(gè)水平之間的歐氏距離為 221 ..( , )cij i jj iiffD i iff?? ???? ?? ????? （ 8 . 7 ） 這樣定義的距離沒(méi)有考慮到因素B的各水平邊際概率的影響，為了消除因素B各個(gè)水平數(shù)量級(jí)的影響，應(yīng)該對(duì)每一項(xiàng)加一個(gè)權(quán)數(shù).1/ jf，即有 ： 221 . . .1( , )cij i jwj i i jffD i if f f?? ???? ?? ????? 21. . . .cij i jji j i jfff f f f?? ???????????? （ 8 . 8 ） 我們稱(chēng)2 ( , )wD i i ?為因素 A 中第 i 個(gè)水平和第 i? 個(gè)水平之間2?距離。 ? 這里應(yīng)該注意到，（ 8. 8 ）式所定義的距離2 ( , )wD i i ?，也可以看作是點(diǎn)集12. .1 . .2 . ., , ,i i ici i i cf f ff f f f f f???????中兩點(diǎn)i和i?之間的歐氏距離（1 , 2 , ,ir?）。那么，我們從加權(quán)的角度考察這 r 個(gè)點(diǎn)的平均水平，其第j個(gè)分量的平均水平為 ..11. . .1rriji ij jiii j jff f ff f f??? ? ???， , 2 , ,jc? （ 8 . 9 ） 從而，計(jì)算出關(guān)于因素 B 各水平構(gòu)成的協(xié)差陣為 ()c i j c ca ??Σ （ 8 . 10 ） 其中， . . .1. . . .rjii j i jijffa f f ff f f f?????????????? ? ? ??????? ??? ....1. . . .rjjiiijf f ff f ff f f f???????????? ????? ???? ???? ??? 1rijzz??? ???? 這里 . . . . . . . . . .. . . . . . . ./ ( / ) ( / )( / ) ( / )i i i iiiif f f k x k x k xzf f k x k x? ? ? ???????? . . ....( / )iiik k k kkk????? 1 , 2 , , 1 , 2 , ,r i c? ?? 令() i j r cz ??Z，則（ 8. 10 ）式可表示為 c ??Σ ZZ （ 8. 1 1 ） 類(lèi)似地，由（ 8. 4 ）式知，針對(duì)因素B的第j個(gè)水平的分布輪廓jrfr? R ， 它 是 超 平 面12 1cy y y? ? ?的 一 點(diǎn) 集 ，1 , 2 , ,jc?。同樣，變換以后所得到的關(guān)于因素 A 各水平構(gòu)成的協(xié)差陣為 r ??Σ ZZ （ 8 . 12 ） 這里我們需要說(shuō)明的是，將原始列聯(lián)表設(shè)() i j r ck ??K中的數(shù)據(jù)變換成矩陣() i j r cz ??Z時(shí)，則因素 A 和因素 B 各個(gè)水平構(gòu)成的協(xié)差陣分別為r ??Σ ZZ和c ??Σ ZZ，矩陣rΣ和cΣ存在簡(jiǎn)單的對(duì)等關(guān)系，這樣如果把原始列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)ijk變換成ijz以后，ijz對(duì)于兩個(gè)因素具有對(duì)等性。 二、基于矩陣的分析過(guò)程 ? 由矩陣的知識(shí)我們知道，r ??Σ ZZ和c ??Σ ZZ有完全相同的非零特征根，記為12 m? ? ?? ? ?，0 m i n { , }m r c??，設(shè)12, , , mu u u為相對(duì)于特征根12, , , m? ? ?的關(guān)于因素B各水平構(gòu)成的協(xié)差陣cΣ的特征向量，則有 c j j j j????Σ u Z Zu u （ 8 . 13 ） 用矩陣 Z 左乘（ 8. 13 ）式兩端得 ( ) ( )j j j?? ?ZZ Zu Zu 即有 ( ) ( )r j j j??Σ Zu Zu （ 8 . 14 ） （ ）式表明 Zuj為相對(duì)于特征值 λ j的關(guān)于因素 A各水平構(gòu) 成的協(xié)差陣 ∑r的特征向量。這樣我們就建立了相應(yīng)分析中 R型因子分析和 Q型因子分析的關(guān)系。也就是說(shuō)，我們可以從R型因子分析出發(fā)而直接得到 Q型因子分析的結(jié)果。 ? 這里需要強(qiáng)調(diào)的是，由于 ∑r和 ∑c有相同的特征根，而這些特征根又表示各個(gè)公共因子所提供的方差。那么，在因素 B的 c維空間 Rc中的第一公共因子，第二公共因子直到第 m個(gè)公共因子與因素 A的 r維空間 Rr中相對(duì)于的各個(gè)主因子在總方差中所占的百分比就完全相同。這樣就可以用相同的因子軸同時(shí)描述兩個(gè)因素各個(gè)水平的情況，把兩個(gè)因素的各個(gè)水平的狀況同時(shí)反映到具有相同坐標(biāo)軸的因子平面上。一般情形，我們?nèi)蓚€(gè)公共因子，這樣就可以在一張二維平面圖上繪出兩個(gè)因素各個(gè)水平的情況，即可以直觀地描述兩個(gè)因素 A和因素 B以及各個(gè)水平之間的相關(guān)關(guān)系。 第四節(jié) 相應(yīng)分析中應(yīng)注意的問(wèn)題 ? 我們知道相應(yīng)分析是分析兩組或多組變量之間關(guān)系的有效方法，在離散情況下，它是從資料出發(fā)通過(guò)建立因素間的二維或多維列聯(lián)表來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。在此我們要問(wèn)，這種分析是否有意義，或者說(shuō)對(duì)于所給的數(shù)據(jù)是否值得做這種相應(yīng)分析。這一節(jié)我們將介紹相應(yīng)分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)的內(nèi)在關(guān)系，以此說(shuō)明應(yīng)用相應(yīng)分析方法在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，避免盲目性。 ? 設(shè)二維列聯(lián)資料為() i j r ck ??K（見(jiàn)表 8. 2 ），其頻率陣為() i j r cf ??F（見(jiàn)表 8. 3 ）。用.ip表示因素A中第i水平發(fā)生時(shí)的概率；. jp表示因素B中第j水平發(fā)生時(shí)的概率，那么其估計(jì)值分別為 ..iikfk? 和 ..jjkfk? 這里我們關(guān)心的是因素 A 和因素 B 是否獨(dú)立，由此提出要檢驗(yàn)的問(wèn)題是 0H：因素 A 和因素 B 是獨(dú)立的 1H：因素 A 和因素 B 不獨(dú)立 由上面的假設(shè)所構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量為 ： 2211?[ ( ) ]? ()rcij ijij ijk E kEk????? ?? 2..11 ..[ / ]/rci j i jij i
黨政相關(guān)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1